矩陣實(shí)際上是二維數(shù)組的另一個(gè)名字：而維度(Dimension of matrix)就是矩陣的行數(shù)乘以列數(shù)（一般分開說，比如4行2列，不說8維矩陣，只說4X2的矩陣，意思就是維度是4X2維，即4X2matrix,）。
但是矩陣在書寫上也有些不同,如下：
也被稱為集合R4X2的元素(an element of the set R 4 by 2)
A32代表的是第3行第2列的元素
向量（Vector）
向量是特殊的矩陣,一個(gè)向量是只有一列的矩陣(An n x 1 martix)
所以我們一般直接把向量的行數(shù)當(dāng)作維數(shù)，一個(gè)4行的向量我們就稱他為一個(gè)4維(4 dimension)的向量。即
另外，矩陣通常是使用大寫字母來表示的。
回顧一下矩陣乘法（矩陣跟向量相乘）
一個(gè)小技巧：（很重要，尤其是在寫程序的時(shí)候）
假設(shè)我有四間房子，這些房子有四種大小，現(xiàn)在有一個(gè)假設(shè)函數(shù)用于預(yù)測房子的價(jià)格，我需要計(jì)算四間房子的大小作為h(x)的大小，即預(yù)測的房價(jià)。
這里有一種簡單的方法：可以同時(shí)計(jì)算四間房子的預(yù)測價(jià)格，將它簡單地利用矩陣向量相乘的思想來計(jì)算，首先我要構(gòu)建一個(gè)，如下所示的矩陣，第一列是是4個(gè)1， 然后把四個(gè)房子的大小寫在第二里，再構(gòu)造一個(gè)向量，一個(gè) 二維向量，即 40 和 0.25 這是預(yù)測函數(shù)的兩個(gè)系數(shù) θ0 和 θ1
接下來將構(gòu)造好的矩陣和向量相乘，就是預(yù)測的結(jié)果矩陣了
這個(gè)例子的一個(gè)小技巧是：當(dāng)你在程序中實(shí)現(xiàn)這個(gè)過程的時(shí)候，當(dāng)你有四間房子，你想使用自己的預(yù)測函數(shù)，來預(yù)測房子的價(jià)格，完成這些工作，你可以用一行代碼搞定，我們后面會(huì)談到Octave 以及編程語言，你可以只寫一行代碼就完成整個(gè)過程，你可以這樣寫
prediction = DataMatrix × Parameters
在程序中即為，（注意這里，這個(gè)h是一個(gè)矩陣，求得的是所有訓(xùn)練集的預(yù)測值，不同于Note 5中多元的那個(gè)h，那個(gè)h求得是一個(gè)訓(xùn)練集的預(yù)測值，這兩個(gè)h代表的數(shù)據(jù)是不一樣的，不要搞混了。）
matrix_h = matrix_X * matrix_Theta
分別是預(yù)測結(jié)果矩陣、數(shù)據(jù)矩陣、參數(shù)矩陣。
這就是一個(gè)矩陣向量乘法，如果你這么做了，這個(gè)變量prediction
只需要實(shí)現(xiàn)這一行代碼 如果你有一個(gè)做矩陣向量相乘的函數(shù)庫的話 ，右側(cè)的prediction變量就會(huì)形成 一個(gè)4維向量從而給你所有的預(yù)測價(jià)格。
另一種計(jì)算方式是：
作為一種矩陣向量相乘的方式 實(shí)際上就是一種 通過for循環(huán) for 1 to 4 。
如果說你有一千間房子 就將是 for 1 to 1000 或者別的任何數(shù) 然后如果i等于的話 你必須有一個(gè)假設(shè)條件I相等，然后需要做比矩陣向量相乘多得多的工作，當(dāng)你有大量的房子的時(shí)候如果你試圖預(yù)測不只是四座，或許是一千座房子的時(shí)候：
事實(shí)證明，當(dāng)你使用矩陣向量相乘的方法時(shí)，在計(jì)算機(jī)中，使用任何語言，不僅僅是Octave，還有C++，Java ，Python 等高級(jí)語言， 以及其他語言， 都可以很快的實(shí)現(xiàn)。
** 事實(shí)證明：像用矩陣相乘這樣子寫代碼，不僅可以簡化代碼，現(xiàn)在只需要寫一行代碼，而不是一堆代碼，而且還有一個(gè)微妙的好處，我們后面將會(huì)了解到，就是基于你所有的房子，這樣做計(jì)算效率將會(huì)更高，比你像for循環(huán)那樣，用代碼實(shí)現(xiàn)公式的方式效率將會(huì)高很多 。后面在討論向量化的時(shí)候，會(huì)詳細(xì)地討論這個(gè)問題，**
所以，通過這種方式計(jì)算預(yù)測值。 不僅代碼更加簡潔 而且效率更高
矩陣跟矩陣相乘
核心： 討論如何將兩個(gè)矩陣相乘是因?yàn)槲覀円脕碓诰€性回歸中解決參數(shù)計(jì)算的問題
由上一部分的小技巧的啟發(fā)，我們可以把把θ0、θ1等參數(shù)都放在一起來計(jì)算，也就是說，我們不需要一個(gè)迭代的梯度下降算法，
更加實(shí)用的技巧：（在矩陣和矩陣的乘法中使用）
比方說，在這之前我們有四間房子預(yù)測其價(jià)格，但是現(xiàn)在我們有三個(gè)不同的競爭假設(shè)集，因此如果想要去把這三個(gè)競爭假設(shè)集用來適應(yīng)這4個(gè)房屋的數(shù)據(jù)，我們可以使用這里的矩陣乘法來計(jì)算。
左邊是我通常使用的矩陣，這與我上個(gè)視頻 一樣，這些值就是 我的住房價(jià)格 我把這些值也放在左邊 那么 我要去做的就是，構(gòu)造另一個(gè)矩陣
這個(gè)矩陣的第一列 是-40 0.25 第二列是 （200.0.1） 以此類推。
那么 實(shí)際上通過 構(gòu)建這兩個(gè)矩陣 你就可以 快速的把這三個(gè)假設(shè)集 應(yīng)用到所有四個(gè) 房子的尺寸中來計(jì)算價(jià)格了。
所有的12種預(yù)測到的價(jià)格都是通過你的假設(shè)集以及你的四個(gè)房屋數(shù)據(jù)集得到的。所以一次矩陣乘法操作就使你做出了12種預(yù)測。
更好的是，事實(shí)證明：為了做到矩陣間的乘法，有很多很好的線性代數(shù)庫函數(shù)，都是為了做到這一點(diǎn)，為你實(shí)現(xiàn)矩陣乘法，當(dāng)下最流行的 編程語言中的前十名都有很棒的線性代數(shù)函數(shù)庫。這是很好的事情，我們能夠在高度優(yōu)化下，做到矩陣和矩陣間高效的乘法，包括采取了一些優(yōu)化處理的方式。如并行計(jì)算，如果你的電腦支持的話，當(dāng)你的計(jì)算機(jī)有多個(gè)調(diào)度或者多個(gè)處理器。一個(gè)處理器內(nèi)有時(shí)存在并行的計(jì)算我們稱之為**SIMD Parallelism **。
在計(jì)算機(jī)管理機(jī)制下。你應(yīng)該有非常不錯(cuò)的免費(fèi)類庫，可以用來做 效的矩陣間的乘法計(jì)算，因此你就能方便地計(jì)算有很多假設(shè)集時(shí)的預(yù)測數(shù)據(jù)。
特性
- 矩陣乘法不滿足交換律：很簡單，首先維度就會(huì)發(fā)生變化（但是當(dāng)一方是單位矩陣的時(shí)候是滿足交換律的）
- 滿足結(jié)合律。
- 對(duì)于一個(gè)矩陣I，如果1 x I = Z x I = I，那么這個(gè)I就是一個(gè)單位矩陣（Identity matrix）
4. 如果A是一個(gè)方陣(mxm)，那么它乘以它的逆，等于單位矩陣.(另外，如果一個(gè)方陣的元素都是0，那么它沒有逆矩陣)，事實(shí)上，只有方陣才有逆矩陣
Paste_Image.png - 逆矩陣不存在的矩陣，一個(gè)專有名詞是退化矩陣或者奇異矩陣（singular或者degenerate）
