先從一個有趣的事例說起吧，這個事例是很多年前我親身經歷的，為了便于說明主題，我做了一番簡化和虛構。
某天，十幾個喜歡讀書的網友發起了一個主題為“讀什么書，如何讀書”的線下活動。這些人雖然都喜歡閱讀，但興趣偏好卻各不相同，有的喜歡文學類，有的喜歡實用類，有的則關注學術類。活動一開始就產生了很大的分歧。經過一番激烈爭論，也沒能達成一致的意見。
三種偏好之間的差異很大，事實上這三類閱讀偏好的人幾乎沒有多少共同語言。討論無果，最終他們決定進行投票，選擇得票最多的作為活動的主題。眾所周知，多數決定的民主原則是現代社會普遍采用的決策手段。用民主投票的方式，最終由簡單多數決定最優偏好也是常見的做法。
然而，奇怪的事情發生了！
為簡化起見，我們把三個選項分別用α（文學類）、β（實用類）、γ（學術類）表示。他們最終投票的偏好排序是這樣的：1/3的人（簡稱為甲）α>β>γ，，另1/3（簡稱為乙）是β>γ>α，剩下的1/3（簡稱為丙）則是γ>α>β。如下圖所示：
通過這一偏好排序，訴諸少數服從多數原則，我們可以推出下列結論：
1、在α和β的較量之中，因為有甲和丙兩類人認為α比β好，所以集體決策為：α>β
2、在β和γ的較量之中，因為有甲和乙兩類人認為β比γ好，所以集體決策為：β>γ
3、在γ和α的較量之中，因為有乙和丙兩類人認為γ比α好，所以集體決策為：γ>α
綜合以上1、2、3的結論，可以得到這樣的結果：α>β>γ>α。由傳遞性可知，α>α，這怎么可能？！由多數決定原則進行投票，居然得到一個自相矛盾的結果！
好了，彎子繞完了，其實這就是著名的『投票悖論』。
這個悖論最早由18世紀的孔多賽發現，因而又稱為『孔多賽悖論』。對其進行嚴格的數學證明，則是著名經濟學家肯尼斯.阿羅（1972年諾貝爾經濟學獎得主）的偉大貢獻。所以，此理論又稱『阿羅不可能定理』。
『阿羅不可能定理』的結論是這樣的：要得到集中個人偏好并由此推出偏好排序的合理的、公正的程序，必須滿足一些條件。而在滿足這些合理條件的前提下，要想經由個人偏好排序推導出社會的或集體的偏好排序，一般來說是不可能的。
【感興趣的讀者可以參考阿瑪蒂亞.森的分析，阿羅所說的這些條件如下：1、無限制領域條件；2、帕累托條件；3、無關備選對象的獨立性條件；4、非獨裁性條件。】
投票悖論的發生也非必然，而是具有偶然性，存在一定的概率。到底有多大呢？對其采取數學手段進行計算的學者指出，隨著備選方案的增加，這一概率會急劇增大。譬如，有這樣的數據：當投票者為15人，備選項為3時，產生投票悖論的概率為8.2％。當人數不變，備選方案變為4時，產生投票悖論的概率則增加了一倍，為16.4%。詳見下圖：
不過阿羅也說：“如果對社會事件所持觀點分布較為均勻，以及社會事件的空間維數（備選項）大大地小于個人的人數，那么在真誠基礎上的多數決定就具有傳遞性”。另一位研究投票問題的專家戈登.圖洛克（公共選擇理論的奠基人之一）認為，在現實世界中，投票者的個數總是大大超過供投票選擇的社會狀態的個數。這時，出現投票悖論的概率是如此之小，以至于在實際上可以不考慮它。
但在不符合這個條件的情況下，投票悖論的產生就難以消除么？事實上，有很多經驗可以證明，投票悖論在投票人存在基本共識的情況下是可以消除的。
將上述事例稍作修改，比如三類人都同意γ并非最佳，于是我們可以將丙的偏好排序做一個改動，使γ不為最佳。可以將γ與α或β互換皆可，進行重新投票。新的投票結果如下圖所示：
即：甲：α>β>γ ? ?乙：β>γ>α ? ?丙：β>α>γ
通過這一偏好排序，訴諸少數服從多數原則，可以推出以下結論：
1、在α和β的較量之中，因為有乙和丙兩個人認為β比α好，所以集體決策為：β>α
2、在β和γ的較量之中，因為有甲和丙兩個人認為β比γ好，所以集體決策為：β>γ
3、在γ和α的較量之中，因為有甲和丙兩個人認為α比γ好，所以集體決策為：α>γ
綜合以上1、2、3的結論，可以得到這樣的結果：β>α>γ，即多數決定的集體決策是β、實用類最佳，α、文學類次之，γ、學術類最差。根據多數決定規則，最終獲勝的將是β、實用類。投票悖論消失了！
要知道，這僅僅是稍微改動了丙的偏好排序，使γ與β互換了一下位置的結果。這一簡單而有效地解決辦法是阿瑪蒂亞·森（1998年諾貝爾經濟學獎得主）提出來的。他發現，一般來看，當所有投票人都同意一備選項并非最佳的情況下，投票悖論就可化解。
阿瑪蒂亞.森把這個發現加以延伸和拓展，得出了解決投票悖論的三種選擇模式：(1)所有人都同意其中一項選擇方案并非最佳；(2)所有人都同意其中一項選擇方案并非次佳；(3)所有人都同意其中一項選擇方案并非最差。森認為，在上述三種選擇模式下，投票悖論將消失，多數決定的民主原則所可能產生的矛盾就此化解。
由森的解決方式可以看出，所有人存在某種基本共識的情況下，投票悖論會消失。有研究證明，隨著社會同質性的增強，投票悖論發生的可能性會降低。投票悖論的發生與意見的統一程度似乎呈一種反比關系。這意味著，如果一個社會在基本理念上缺乏一致性，缺乏基本的社會共識，民主制度將不起作用。民主是好東西，而培養一國公民之基本共識，正是民主大廈得以穩固的基石。
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參考書目：
1、肯尼斯.阿羅：《社會選擇與個人價值》，陳志武、崔之元譯，四川人民出版社，1987年。
2、阿瑪蒂亞.森：《理性與自由》，李風華譯，中國人民大學出本社，2006年。
3、漢斯.德爾、本.韋爾瑟芬：《民主與福利經濟學》，陳剛等譯，中國社會科學出版社，1999年。
