筆者在《高效的多維空間點(diǎn)索引算法 — Geohash 和 Google S2》文章中詳細(xì)的分析了 Google S2 的算法實(shí)現(xiàn)思想。文章發(fā)出來以后，一部分讀者對(duì)它的實(shí)現(xiàn)產(chǎn)生了好奇。本文算是對(duì)上篇文章的補(bǔ)充，將從代碼實(shí)現(xiàn)的角度來看看 Google S2 的算法具體實(shí)現(xiàn)。建議先讀完上篇文章里面的算法思想，再看本篇的代碼實(shí)現(xiàn)會(huì)更好理解一些。

一. 什么是 Cell ？

Google S2 中定義了一個(gè)將單位球體分解成單元格層次結(jié)構(gòu)的框架。每個(gè) Cell 的單元格是由四個(gè)測(cè)地線限定的四邊形。通過將立方體的六個(gè)面投影到單位球上來獲得層級(jí)的頂層，通過遞歸地將每個(gè)單元細(xì)分為四個(gè)子層來獲得較低層。例如，下面的圖片顯示了六個(gè) face 中 Cell 的兩個(gè)，其中一個(gè)已經(jīng)細(xì)分了幾次：

注意 Cell 邊緣似乎是彎曲的，這是因?yàn)樗鼈兪乔蛐螠y(cè)地線，即球體上的直線（類似于飛機(jī)飛行的路線）

S2 Level 對(duì)于空間索引和將區(qū)域逼近為單元集合非常有用。Cell 可用于表示點(diǎn)和區(qū)域：點(diǎn)通常表示為葉子節(jié)點(diǎn)，而區(qū)域表示為任何 Level 的 Cell 的集合。例如，下面是夏威夷近似的22個(gè)單元的集合：

二. S(lat,lng) -> f(x,y,z)

緯度 Latitude 的取值范圍在 [-90°,90°] 之間。
經(jīng)度 Longitude 的取值范圍在 [-180°,180°] 之間。

第一步轉(zhuǎn)換，將球面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成三維直角坐標(biāo)

func makeCell() {
    latlng := s2.LatLngFromDegrees(30.64964508, 104.12343895)
    cellID := s2.CellIDFromLatLng(latlng)
}

上面短短兩句話就構(gòu)造了一個(gè) 64 位的CellID。

func LatLngFromDegrees(lat, lng float64) LatLng {
    return LatLng{s1.Angle(lat) * s1.Degree, s1.Angle(lng) * s1.Degree}
}

上面這一步是把經(jīng)緯度轉(zhuǎn)換成弧度。由于經(jīng)緯度是角度，弧度轉(zhuǎn)角度乘以 π / 180° 即可。

const (
    Radian Angle = 1
    Degree       = (math.Pi / 180) * Radian
}

LatLngFromDegrees 就是把經(jīng)緯度轉(zhuǎn)換成 LatLng 結(jié)構(gòu)體。LatLng 結(jié)構(gòu)體定義如下：

type LatLng struct {
    Lat, Lng s1.Angle
}

得到了 LatLng 結(jié)構(gòu)體以后，就可以通過 CellIDFromLatLng 方法把經(jīng)緯度弧度轉(zhuǎn)成 64 位的 CellID 了。

func CellIDFromLatLng(ll LatLng) CellID {
    return cellIDFromPoint(PointFromLatLng(ll))
}

上述方法也分了2步完成，先把經(jīng)緯度轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)系上的一個(gè)點(diǎn)，再把坐標(biāo)系上的這個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)換成 CellID。

關(guān)于經(jīng)緯度如何轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)系上的一個(gè)點(diǎn)，這部分的大體思路分析見筆者的這篇文章，這篇文章告訴你從代碼實(shí)現(xiàn)的角度如何把球面坐標(biāo)系上的一個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)換到四叉樹上對(duì)應(yīng)的希爾伯特曲線點(diǎn)。

func PointFromLatLng(ll LatLng) Point {
    phi := ll.Lat.Radians()
    theta := ll.Lng.Radians()
    cosphi := math.Cos(phi)
    return Point{r3.Vector{math.Cos(theta) * cosphi, math.Sin(theta) * cosphi, math.Sin(phi)}}
}

上面這個(gè)函數(shù)就是把經(jīng)緯度轉(zhuǎn)換成三維坐標(biāo)系中的一個(gè)向量點(diǎn)，向量的起點(diǎn)是三維坐標(biāo)的原點(diǎn)，終點(diǎn)為球面上轉(zhuǎn)換過來的點(diǎn)。轉(zhuǎn)換的關(guān)系如下圖：

θ 即為經(jīng)緯度的緯度，也就是上面代碼中的 phi ，φ 即為經(jīng)緯度的經(jīng)度，也就是上面代碼的 theta 。根據(jù)三角函數(shù)就可以得到這個(gè)向量的三維坐標(biāo)：

x = r * cos θ * cos φ
y = r * cos θ * sin φ 
z = r * sin θ

圖中球面的半徑 r = 1 。所以最終構(gòu)造出來的向量即為：

r3.Vector{math.Cos(theta) * cosphi, math.Sin(theta) * cosphi, math.Sin(phi)}

(x, y, z) 為方向向量，它們并不要求是單位向量。(x, y, z) 的取值范圍在 [-1,+1] x [-1,+1] x [-1,+1] 這樣的立方體三維空間中。它們可以被標(biāo)準(zhǔn)化以使得在單位球上獲得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

至此，已經(jīng)完成了球面上的點(diǎn)S(lat,lng) -> f(x,y,z) 的轉(zhuǎn)換。

三. f(x,y,z) -> g(face,u,v)

接下來進(jìn)行 f(x,y,z) -> g(face,u,v) 的轉(zhuǎn)換

func xyzToFaceUV(r r3.Vector) (f int, u, v float64) {
    f = face(r)
    u, v = validFaceXYZToUV(f, r)
    return f, u, v
}

這里的思路是進(jìn)行投影。

先從 x，y，z 三個(gè)軸上選擇一個(gè)最長(zhǎng)的軸，作為主軸。

func (v Vector) LargestComponent() Axis {
    t := v.Abs()

    if t.X > t.Y {
        if t.X > t.Z {
            return XAxis
        }
        return ZAxis
    }
    if t.Y > t.Z {
        return YAxis
    }
    return ZAxis
}

默認(rèn)定義 x 軸為0，y軸為1，z軸為2 。

const (
    XAxis Axis = iota
    YAxis
    ZAxis
)

最后 face 的值就是三個(gè)軸里面最長(zhǎng)的軸，注意這里限定了他們?nèi)叨荚?[0,5] 之間，所以如果是負(fù)軸就需要 + 3 進(jìn)行修正。實(shí)現(xiàn)代碼如下。

func face(r r3.Vector) int {
    f := r.LargestComponent()
    switch {
    case f == r3.XAxis && r.X < 0:
        f += 3
    case f == r3.YAxis && r.Y < 0:
        f += 3
    case f == r3.ZAxis && r.Z < 0:
        f += 3
    }
    return int(f)
}

所以 face 的6個(gè)面上的值就確定下來了。主軸為 x 正半軸，face = 0；主軸為 y 正半軸，face = 1；主軸為 z 正半軸，face = 2；主軸為 x 負(fù)半軸，face = 3；主軸為 y 負(fù)半軸，face = 4；主軸為 z 負(fù)半軸，face = 5 。

選定主軸以后就要把另外2個(gè)軸上的坐標(biāo)點(diǎn)投影到這個(gè)面上，具體做法就是投影或者坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。

func validFaceXYZToUV(face int, r r3.Vector) (float64, float64) {
    switch face {
    case 0:
        return r.Y / r.X, r.Z / r.X
    case 1:
        return -r.X / r.Y, r.Z / r.Y
    case 2:
        return -r.X / r.Z, -r.Y / r.Z
    case 3:
        return r.Z / r.X, r.Y / r.X
    case 4:
        return r.Z / r.Y, -r.X / r.Y
    }
    return -r.Y / r.Z, -r.X / r.Z
}

上述就是 face 6個(gè)面上的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。如果直觀的對(duì)應(yīng)一個(gè)外切立方體的哪6個(gè)面，那就是 face = 0 對(duì)應(yīng)的是前面，face = 1 對(duì)應(yīng)的是右面，face = 2 對(duì)應(yīng)的是上面，face = 3 對(duì)應(yīng)的是后面，face = 4 對(duì)應(yīng)的是左面，face = 5 對(duì)應(yīng)的是下面。

注意這里的三維坐標(biāo)軸是符合右手坐標(biāo)系的。即 右手4個(gè)手指沿著從 x 軸旋轉(zhuǎn)到 y 軸的方向，大拇指的指向就是另外一個(gè)面的正方向。

比如立方體的前面，右手從 y 軸的正方向旋轉(zhuǎn)到 z 軸的正方向，大拇指指向的是 x 軸的正方向，所以對(duì)應(yīng)的就是前面。再舉個(gè)例子，立方體的下面??，右手從 y 軸的負(fù)方向旋轉(zhuǎn)到 x 軸的負(fù)方向，大拇指指向的是 z 軸負(fù)方向，所以對(duì)應(yīng)的是下面??。

(face,u,v) 表示一個(gè)立方空間坐標(biāo)系，三個(gè)軸的值域都是 [-1,1] 之間。為了使得每個(gè) cell 的大小都一樣，就要進(jìn)行變換，具體變換規(guī)則就在下一步轉(zhuǎn)換中。

四. g(face,u,v) -> h(face,s,t)

從 u、v 轉(zhuǎn)換到 s、t 用的是二次變換。在 C ++ 的版本中有三種變換，至于為何最后選了這種二次變換，原因見這里。

// 線性轉(zhuǎn)換
u = 0.5 * ( u + 1)

// tan() 變換
u = 2 / pi * (atan(u) + pi / 4) = 2 * atan(u) / pi + 0.5

// 二次變換
u >= 0，u = 0.5 * sqrt(1 + 3*u)
u < 0,    u = 1 - 0.5 * sqrt(1 - 3*u)

在 Go 中，轉(zhuǎn)換直接就只有二次變換了，其他兩種變換在 Go 的實(shí)現(xiàn)版本中就直接沒有相應(yīng)的代碼。

func uvToST(u float64) float64 {
    if u >= 0 {
        return 0.5 * math.Sqrt(1+3*u)
    }
    return 1 - 0.5*math.Sqrt(1-3*u)
}

(face,s,t) 表示一個(gè) cell 空間坐標(biāo)系，s，t 的值域都是 [0,1] 之間。它們代表了一個(gè) face 上的一個(gè) point。例如，點(diǎn) (s,t) = (0.5,0.5) 代表的是在這個(gè) face 面上的中心點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)也是當(dāng)前這個(gè)面上再細(xì)分成4個(gè)小 cell 的頂點(diǎn)。

五. h(face,s,t) -> H(face,i,j)

這一部分是坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，具體思想見這里。

將 s、t 上的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)系 i、j 上的點(diǎn)。

func stToIJ(s float64) int {
    return clamp(int(math.Floor(maxSize*s)), 0, maxSize-1)
}

s，t的值域是[0,1]，現(xiàn)在值域要擴(kuò)大到[0,2³⁰-1]。這里只是其中一個(gè)面。

六. H(face,i,j) -> CellID

在進(jìn)行最后的轉(zhuǎn)換之前，先回顧一下到目前為止的轉(zhuǎn)換流程。

func CellIDFromLatLng(ll LatLng) CellID {
    return cellIDFromPoint(PointFromLatLng(ll))
}

func cellIDFromPoint(p Point) CellID {
    f, u, v := xyzToFaceUV(r3.Vector{p.X, p.Y, p.Z})
    i := stToIJ(uvToST(u))
    j := stToIJ(uvToST(v))
    return cellIDFromFaceIJ(f, i, j)
}

S(lat,lng) -> f(x,y,z) -> g(face,u,v) -> h(face,s,t) -> H(face,i,j) -> CellID 總共有5步轉(zhuǎn)換。

經(jīng)過上面5步轉(zhuǎn)換以后，等效于把地球上的經(jīng)緯度的點(diǎn)都轉(zhuǎn)換到了希爾伯特曲線上的點(diǎn)了。

在解釋最后一步轉(zhuǎn)換 CellID 之前，先說明一下方向的問題。

有2個(gè)存了常量的數(shù)組：

    ijToPos = [4][4]int{
        {0, 1, 3, 2}, // canonical order
        {0, 3, 1, 2}, // axes swapped
        {2, 3, 1, 0}, // bits inverted
        {2, 1, 3, 0}, // swapped & inverted
    }
    posToIJ = [4][4]int{
        {0, 1, 3, 2}, // canonical order:    (0,0), (0,1), (1,1), (1,0)
        {0, 2, 3, 1}, // axes swapped:       (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)
        {3, 2, 0, 1}, // bits inverted:      (1,1), (1,0), (0,0), (0,1)
        {3, 1, 0, 2}, // swapped & inverted: (1,1), (0,1), (0,0), (1,0)
    }

這兩個(gè)二維數(shù)組里面的值用圖表示出來如下兩個(gè)圖：

上圖是 posToIJ ，注意這里的 i，j 指的是坐標(biāo)值，如上圖。這里是一階的希爾伯特曲線，所以 i，j 就等于坐標(biāo)軸上的值。posToIJ[0] = {0, 1, 3, 2} 表示的就是上圖中圖0的樣子。同理，posToIJ[1] 表示的是圖1，posToIJ[2] 表示的是圖2，posToIJ[3] 表示的是圖3 。

從上面這四張圖我們可以看出：
posToIJ 的四張圖其實(shí)是“ U ” 字形逆時(shí)針分別旋轉(zhuǎn)90°得到的。這里我們只能看出四張圖相互之間的聯(lián)系，即兄弟之間的聯(lián)系，但是看不到父子圖相互之間的聯(lián)系。

posToIJ[0] = {0, 1, 3, 2} 里面存的值是 ij 合在一起表示的值。posToIJ[0][0] = 0，指的是 i = 0，j = 0 的那個(gè)方格，ij 合在一起是00，即0。posToIJ[0][1] = 1，指的是 i = 0，j = 1 的那個(gè)方格，ij 合在一起是01，即1。posToIJ[0][2] = 1，指的是 i = 1，j = 1 的那個(gè)方格，ij 合在一起是11，即3。posToIJ[0][3] = 2，指的是 i = 1，j = 0 的那個(gè)方格，ij 合在一起是10，即2。數(shù)組里面的順序是 “ U ” 字形畫的順序。所以 posToIJ[0] = {0, 1, 3, 2} 表示的是圖0中的樣子。其他圖形同理。

這上面的四張圖是 ijToPos 數(shù)組。這個(gè)數(shù)組在整個(gè)庫(kù)中也沒有被用到，這里不用關(guān)系它對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

初始化 lookupPos 數(shù)組和 lookupIJ 數(shù)組 由如下的代碼實(shí)現(xiàn)的。

func init() {
    initLookupCell(0, 0, 0, 0, 0, 0)
    initLookupCell(0, 0, 0, swapMask, 0, swapMask)
    initLookupCell(0, 0, 0, invertMask, 0, invertMask)
    initLookupCell(0, 0, 0, swapMask|invertMask, 0, swapMask|invertMask)
}

我們把變量的值都代進(jìn)去，代碼就會(huì)變成下面的樣子：

func init() {
    initLookupCell(0, 0, 0, 0, 0, 0)
    initLookupCell(0, 0, 0, 1, 0, 1)
    initLookupCell(0, 0, 0, 2, 0, 2)
    initLookupCell(0, 0, 0, 3, 0, 3)
}

initLookupCell 入?yún)⒂?個(gè)參數(shù)，有4個(gè)參數(shù)都是0，我們需要重點(diǎn)關(guān)注的是第四個(gè)參數(shù)和第六個(gè)參數(shù)。第四個(gè)參數(shù)是 origOrientation，第六個(gè)參數(shù)是 orientation。

進(jìn)入到 initLookupCell 方法中，有如下的4行：

initLookupCell(level, i+(r[0]>>1), j+(r[0]&1), origOrientation, pos, orientation^posToOrientation[0])
initLookupCell(level, i+(r[1]>>1), j+(r[1]&1), origOrientation, pos+1, orientation^posToOrientation[1])
initLookupCell(level, i+(r[2]>>1), j+(r[2]&1), origOrientation, pos+2, orientation^posToOrientation[2])
initLookupCell(level, i+(r[3]>>1), j+(r[3]&1), origOrientation, pos+3, orientation^posToOrientation[3])

這里順帶說一下 r[0]>>1 和 r[0]&1 究竟做了什么。

    r := posToIJ[orientation]

r 數(shù)組來自于 posToIJ 數(shù)組。posToIJ 數(shù)組上面說過了，它里面裝的其實(shí)是4個(gè)不同方向的“ U ”字。相當(dāng)于表示了當(dāng)前四個(gè)小方格兄弟相互之間的方向。r[0]、r[1]、r[2]、r[3] 取出的其實(shí)就是 00，01，10，11 這4個(gè)數(shù)。那么 r[0]>>1 操作就是取出二位二進(jìn)制位的前一位，即 i 位。r[0]&1 操作就是取出二位二進(jìn)制位的后一位，即 j 位。r[1]、r[2]、r[3] 同理。

再回到方向的問題上來。需要優(yōu)先說明的是下面4行干了什么。

orientation^posToOrientation[0]
orientation^posToOrientation[1]
orientation^posToOrientation[2]
orientation^posToOrientation[3]

再解釋之前，先讓我們看看 posToOrientation 數(shù)組：

posToOrientation = [4]int{swapMask, 0, 0, invertMask | swapMask}

把數(shù)值代入到上面數(shù)組中：

posToOrientation = [4]int{1, 0, 0, 3}

posToOrientation 數(shù)組里面裝的原始的值是 [01，00，00，11]，這個(gè)4個(gè)數(shù)值并不是隨便初始化的。

其實(shí)這個(gè)對(duì)應(yīng)的就是 圖0 中4個(gè)小方塊接下來再劃分的方向。圖0 中0號(hào)的位置下一個(gè)圖的方向應(yīng)該是圖1，即01；圖0 中1號(hào)的位置下一個(gè)圖的方向應(yīng)該是圖0，即00；圖0 中2號(hào)的位置下一個(gè)圖的方向應(yīng)該是圖0，即00；圖0 中3號(hào)的位置下一個(gè)圖的方向應(yīng)該是圖3，即11 。這就是初始化 posToOrientation 數(shù)組里面的玄機(jī)了。

posToIJ 的四張圖我們只能看出兄弟之間的關(guān)系，那么 posToOrientation 的四張圖讓我們知道了父子之間的關(guān)系。

回到上面說的代碼：

orientation^posToOrientation[0]
orientation^posToOrientation[1]
orientation^posToOrientation[2]
orientation^posToOrientation[3]

每次 orientation 都異或 posToOrientation 數(shù)組。這樣就能保證每次都能根據(jù)上一次的原始的方向推算出當(dāng)前的 pos 所在的方向。即計(jì)算父子之間關(guān)系。

還是回到這張圖上來。兄弟之間的關(guān)系是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的關(guān)系。那這4個(gè)兄弟都作為父親，分別和各自的4個(gè)孩子之間什么關(guān)系呢？結(jié)論是，父子之間的關(guān)系都是 01，00，00，11 的關(guān)系。從圖上我們也可以看出這一點(diǎn)，圖1中，“ U ” 字形雖然逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90°，但是它們的孩子也跟著旋轉(zhuǎn)了90°(相對(duì)于圖0來說)。圖2，圖3也都如此。

用代碼表示這種關(guān)系，就是下面這4行代碼

orientation^posToOrientation[0]
orientation^posToOrientation[1]
orientation^posToOrientation[2]
orientation^posToOrientation[3]

舉個(gè)例子，假設(shè) orientation = 0，即圖0，那么：

00 ^ 01 = 01
00 ^ 00 = 00
00 ^ 00 = 00
00 ^ 11 = 11

圖0 的四個(gè)孩子的方向就被我們算出來了，01，00，00，11，1003 。和上面圖片中圖0展示的是一致的。

orientation = 1，orientation = 2，orientation = 3，都是同理的：

01 ^ 01 = 00
01 ^ 00 = 01
01 ^ 00 = 01
01 ^ 11 = 10


10 ^ 01 = 11
10 ^ 00 = 10
10 ^ 00 = 10
10 ^ 11 = 01

11 ^ 01 = 10
11 ^ 00 = 11
11 ^ 00 = 11
11 ^ 11 = 00

圖1孩子的方向是0，1，1，2 。圖2孩子的方向是3，2，2，1 。圖3孩子的方向是2，3，3，0 。和圖上畫的是完全一致的。

所以上面的轉(zhuǎn)換是很關(guān)鍵的。這里就是針對(duì)希爾伯特曲線的父子方向進(jìn)行換算的。

最后會(huì)有讀者有疑問，origOrientation 和 orientation 是啥關(guān)系？

lookupPos[(ij<<2)+origOrientation] = (pos << 2) + orientation
lookupIJ[(pos<<2)+origOrientation] = (ij << 2) + orientation

數(shù)組下標(biāo)里面存的都是 origOrientation，下標(biāo)里面存的值都是 orientation。

解釋完希爾伯特曲線方向的問題之后，接下來可以再仔細(xì)說說 55 的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的問題。前一篇文章《高效的多維空間點(diǎn)索引算法 — Geohash 和 Google S2》里面有談到這個(gè)問題，讀者有些疑惑點(diǎn)，這里再最終解釋一遍。

在 Google S2 中，初始化 initLookupCell 的時(shí)候，會(huì)初始化2個(gè)數(shù)組，一個(gè)是 lookupPos 數(shù)組，一個(gè)是 lookupIJ 數(shù)組。中間還會(huì)用到 i ， j ， pos 和 orientation 四個(gè)關(guān)鍵的變量。orientation 這個(gè)之前說過了，這里就不再贅述了。需要詳細(xì)說明的 i ，j 和 pos 的關(guān)系。

pos 指的是在 希爾伯特曲線上的位置。這個(gè)位置是從 希爾伯特 曲線的起點(diǎn)開始算的。從起點(diǎn)開始數(shù)，到當(dāng)前是第幾塊方塊。注意這個(gè)方塊是由 4 個(gè)小方塊組成的大方塊。因?yàn)?orientation 是選擇4個(gè)方塊中的哪一個(gè)。

在 55 的這個(gè)例子里，pos 其實(shí)是等于 13 的。代表當(dāng)前4塊小方塊組成的大方塊是距離起點(diǎn)的第13塊大方塊。由于每個(gè)大方塊是由4個(gè)小方塊組成的。所以當(dāng)前這個(gè)大方塊的第一個(gè)數(shù)字是 13 * 4 = 52 。代碼實(shí)現(xiàn)就是左移2位，等價(jià)于乘以 4 。再加上 55 的偏移的 orientation = 11，再加 3 ，所以 52 + 3 = 55 。

再說說 i 和 j 的問題，在 55 的這個(gè)例子里面 i = 14，1110，j = 13，1101 。如果直觀的看坐標(biāo)系，其實(shí) 55 是在 (5，2) 的坐標(biāo)上。但是現(xiàn)在為何 i = 14，j = 13 呢 ？這里容易弄混的就是 i ，j 和 pos 的關(guān)系。

注意：
i，j 并不是直接對(duì)應(yīng)的 希爾伯特曲線 坐標(biāo)系上的坐標(biāo)。因?yàn)槌跏蓟枰傻氖俏咫A希爾伯特曲線。在 posToIJ 數(shù)組表示的一階希爾伯特曲線，所以 i，j 才直接對(duì)應(yīng)的 希爾伯特曲線 坐標(biāo)系上的坐標(biāo)。

讀者到這里就會(huì)疑問了，那是什么參數(shù)對(duì)應(yīng)的是希爾伯特曲線坐標(biāo)系上的坐標(biāo)呢？

pos 參數(shù)對(duì)應(yīng)的就是希爾伯特曲線坐標(biāo)系上的坐標(biāo)。一旦一個(gè)希爾伯特曲線的起始點(diǎn)和階數(shù)確定以后，四個(gè)小方塊組成的一個(gè)大方塊的 pos 位置確定以后，那么它的坐標(biāo)其實(shí)就已經(jīng)確定了。希爾伯特曲線上的坐標(biāo)并不依賴 i，j，完全是由曲線的性質(zhì)和 pos 位置決定的。

我們并不關(guān)心希爾伯特曲線上小方塊的坐標(biāo)，我們關(guān)心的是 pos 和 i，j 的轉(zhuǎn)換關(guān)系！

疑問又來了，那 i，j 對(duì)應(yīng)的是什么坐標(biāo)系上的坐標(biāo)呢？

i，j 對(duì)應(yīng)的是一個(gè)經(jīng)過坐標(biāo)變換以后的坐標(biāo)系坐標(biāo)。

我們知道，在進(jìn)行 ( u，v ) -> ( i，j ) 變換的時(shí)候，u，v 的值域是 [0，1] 之間，然后經(jīng)過變換要變到 [ 0, 2³⁰-1 ] 之間。i，j 就是變換以后坐標(biāo)系上的坐標(biāo)值，i，j 的值域變成了 [ 0, 2³⁰-1 ] 。

那初始化計(jì)算 lookupPos 數(shù)組和 lookupIJ 數(shù)組有什么用呢？這兩個(gè)數(shù)組就是把 i，j 和 pos 聯(lián)系起來的數(shù)組。知道 pos 以后可以立即找到對(duì)應(yīng)的 i，j。知道 i，j 以后可以立即找到對(duì)應(yīng)的 pos。

i，j 和 pos 互相轉(zhuǎn)換之間的橋梁就是生成希爾伯特曲線的方式。這種方式可以類比 Z - index 曲線的生成方式。

Z - index 曲線的生成方式是把經(jīng)緯度坐標(biāo)分別進(jìn)行區(qū)間二分，在左區(qū)間的記為0，在右區(qū)間的記為1 。將這兩串二進(jìn)制字符串偶數(shù)位放經(jīng)度，奇數(shù)位放緯度，最終組合成新的二進(jìn)制串，這個(gè)串再經(jīng)過 base-32 編碼以后，最終就生成了 geohash 。

那么 希爾伯特 曲線的生成方式是什么呢？它先將經(jīng)緯度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成了三維直角坐標(biāo)系坐標(biāo)，然后再投影到外切立方體的6個(gè)面上，于是三維直角坐標(biāo)系坐標(biāo) (x，y，z) 就轉(zhuǎn)換成了 (face，u，v) 。 (face，u，v) 經(jīng)過一個(gè)二次變換變成 (face，s，t) ， (face，s，t) 經(jīng)過坐標(biāo)系變換變成了 (face，i，j) 。然后將 i，j 分別4位4位的取出來，i 的4位二進(jìn)制位放前面，j 的4位二進(jìn)制位放后面。最后再加上希爾伯特曲線的方向位 orientation 的2位。組成 iiii jjjj oo 類似這樣的10位二進(jìn)制位。通過 lookupPos 數(shù)組這個(gè)橋梁，找到對(duì)應(yīng)的 pos 的值。pos 的值就是對(duì)應(yīng)希爾伯特曲線上的位置。然后依次類推，再取出 i 的4位，j 的4位進(jìn)行這樣的轉(zhuǎn)換，直到所有的 i 和 j 的二進(jìn)制都取完了，最后把這些生成的 pos 值安全先生成的放在高位，后生成的放在低位的方式拼接成最終的 CellID。

這里可能有讀者疑問了，為何要 iiii jjjj oo 這樣設(shè)計(jì)，為何是4位4位的，谷歌開發(fā)者在注釋里面這樣寫道：“我們?cè)?jīng)考慮過一次組合 16 位，14位的 position + 2位的 orientation，但是代碼實(shí)際運(yùn)行起來發(fā)現(xiàn)小數(shù)組擁有更好的性能，2KB 更加適合存儲(chǔ)到主 cache 中。”

在 Google S2 中，i，j 每次轉(zhuǎn)換都是4位，所以 i，j 的有效值取值是 0 - 15，所以 iiii jjjj oo 是一個(gè)十進(jìn)制的數(shù)，能表示的范圍是 2¹⁰ = 1024 。那么 pos 初始化值也需要計(jì)算到 1024 。由于 pos 是4個(gè)小方塊組成的大方塊，它本身就是一個(gè)一階的希爾伯特曲線。所以初始化需要生成一個(gè)五階的希爾伯特曲線。

上圖是一階的希爾伯特曲線。是由4個(gè)小方格組成的。

上圖是二階的希爾伯特曲線，是由4個(gè) pos 方格組成的。

上圖是三階的希爾伯特曲線。

上圖是四階的希爾伯特曲線。

上圖是五階的希爾伯特曲線。pos 方格總共有1024個(gè)。

至此已經(jīng)說清楚了希爾伯特曲線的方向和在 Google S2 中生成希爾伯特曲線的階數(shù)，五階希爾伯特曲線。

由此也可以看出，希爾伯特曲線的是由 “ U ” 字形構(gòu)成的，由4個(gè)不同方向的 “ U ” 字構(gòu)成。初始方向是開口朝上的 “ U ”。

關(guān)于希爾伯特曲線生成的動(dòng)畫，見上篇《高效的多維空間點(diǎn)索引算法 — Geohash 和 Google S2》—— 希爾伯特曲線的構(gòu)造方法 這一章節(jié)。

那么現(xiàn)在我們?cè)偻扑?5就比較簡(jiǎn)單了。從五階希爾伯特曲線開始推，推算過程如下圖。

首先55是在上圖中每個(gè)小圖中綠色點(diǎn)的位置。我們不斷的進(jìn)行方向的判斷。第一張小圖，綠點(diǎn)在00的位置。第二張小圖，綠點(diǎn)在00的位置。第三張小圖，綠點(diǎn)在11的位置。第四張小圖，綠點(diǎn)在01的位置。第五張小圖，綠點(diǎn)在11的位置。其實(shí)換算到第四步，得到的數(shù)值就是 pos 的值，即 00001101 = 13 。最后2位是具體的點(diǎn)在 pos 方格里面的位置，是11，所以 13 * 4 + 3 = 55 。

當(dāng)然直接根據(jù)方向推算到底，也可以得到 0000110111 = 55 ，同樣也是55 。

七. 舉例

最后舉個(gè)具體的完整的例子：

上面完成了前4步的轉(zhuǎn)換。

最后一步轉(zhuǎn)換成 CellID 。具體實(shí)現(xiàn)代碼如下。由于 CellID 是64位的，除去 face 占的3位，最后一個(gè)標(biāo)志位 1 占的位置，剩下 60 位。

func cellIDFromFaceIJ(f, i, j int) CellID {
  // 1.
    n := uint64(f) << (posBits - 1)
  // 2.
    bits := f & swapMask
  // 3.
    for k := 7; k >= 0; k-- {
        mask := (1 << lookupBits) - 1
        bits += int((i>>uint(k*lookupBits))&mask) << (lookupBits + 2)
        bits += int((j>>uint(k*lookupBits))&mask) << 2
        bits = lookupPos[bits]
    // 4.
        n |= uint64(bits>>2) << (uint(k) * 2 * lookupBits)
    // 5.
        bits &= (swapMask | invertMask)
    }
  // 6.
    return CellID(n*2 + 1)
}

具體步驟如下：

1. 將 face 左移 60 位。
2. 計(jì)算初始的 origOrientation。初始的 origOrientation 是 face 轉(zhuǎn)換得來的，face & 01 以后的結(jié)果是為了使每個(gè)面都有一個(gè)右手坐標(biāo)系。
3. 循環(huán)，從頭開始依次取出 i ，j 的4位二進(jìn)制位，計(jì)算出 ij<<2 + origOrientation，然后查 lookupPos 數(shù)組找到對(duì)應(yīng)的 pos<<2 + orientation 。
4. 拼接 CellID，右移 pos<<2 + orientation 2位，只留下 pos ，把pos 繼續(xù)拼接到 上次循環(huán)的 CellID 后面。
5. 計(jì)算下一個(gè)循環(huán)的 origOrientation。&= (swapMask | invertMask) 即 & 11，也就是取出末尾的2位二進(jìn)制位。
6. 最后拼接上最后一個(gè)標(biāo)志位 1 。

這里說說第二步，origOrientation 的轉(zhuǎn)換。

我們知道 face 是有6個(gè)面的，編號(hào)依次是 000，001，010，011，100，101 。想讓這6個(gè)面都具有右手坐標(biāo)系的性質(zhì)，就必須進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換的規(guī)則其實(shí)進(jìn)行一次位運(yùn)算即可：

000 & 001 = 00
001 & 001 = 01
010 & 001 = 00
011 & 001 = 01
100 & 001 = 00
101 & 001 = 01

經(jīng)過轉(zhuǎn)換以后，face & 01 的值就是初始的 origOrientation 了。

用表展示出每一步（表比較長(zhǎng)，請(qǐng)右滑）：

任意取出循環(huán)中的一個(gè)情況，用圖表示如下：

注意：由于 CellID 是64位的，頭三位是 face ，末尾一位是標(biāo)志位，所以中間有 60 位。i，j 轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制是30位的。7個(gè)4位二進(jìn)制位和1個(gè)2位二進(jìn)制位。4*7 + 2 = 30 。iijjoo ，即 i 的頭2個(gè)二進(jìn)制位和 j 的頭2個(gè)二進(jìn)制位加上 origOrientation，這樣組成的是6位二進(jìn)制位，最多能表示 2⁶ = 32，轉(zhuǎn)換出來的 pos + orientation 最多也是32位的。即轉(zhuǎn)換出來最多也是6位的二進(jìn)制位，除去末尾2位 orientation ，所以 pos 在這種情況下最多是 4位。iiiijjjjpppp，即 i 的4個(gè)二進(jìn)制位和 j 的4個(gè)二進(jìn)制位加上 origOrientation，這樣組成的是10位二進(jìn)制位，最多能表示 2¹⁰ = 1024，轉(zhuǎn)換出來的 pos + orientation 最多也是10位的。即轉(zhuǎn)換出來最多也是10位的二進(jìn)制位，除去末尾2位 orientation ，所以 pos 在這種情況下最多是 8位。

由于最后 CellID 只拼接 pos ，所以 4 + 7 * 8 = 60 位。拼接完成以后，中間的60位都由 pos 組成的。最后拼上頭3位，末尾的1位標(biāo)志位，64位的 CellID 就這樣生成了。

到此，所有的 CellID 生成過程就結(jié)束了。

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高效的多維空間點(diǎn)索引算法 — Geohash 和 Google S2
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