線性混合模型基礎

線性混合模型（LMM）是遺傳評估中必用的統計模型，用以將群體中每個個體的觀測值按照潛在影響因素進行分解。決定觀測值的大小和幅度受2個參數（均值和方差）控制，反過來說也可以。一般我們更關注方差，圍繞方差的運算與處理也更為復雜，所以能夠將LMM中涉及的方差們的關系搞明白，就大體能理解這些沒什么親和力的模型們了。通常在介紹這一部分內容時，很容易讓人發蒙，因為太抽象了，全是符號，所以前提是必須對數學這門外語有一定了解，就是一門外語啊。比如告訴我一個矩陣的維度是4×5，我頭腦里有概念，這是小學的數學知識學得好，但你告訴我它的維度是n×p，我的CPU和GPU就不太夠用了，所以得像學習英語一樣，方法+重復才是硬道理。

如果知道了這些方差們的具體數值，求算各個因素的系數（我們最終要的是這個）就相對容易多了。但這些方差是怎么計算的？一般會告訴采用了什么方法（REML用的多），但這又是什么我想很多人想知道但沒人教，所以一直糊涂著，只停留在會用的地步，當然會處理數據也夠用。我很有興趣，但到今天我也不全會，也沒有能力在R中實現，原因是沒那個功底，不會矩陣求導，盼望有一天誰來引領一下，但這不是剛需，因此參數求解就停在這里了。下面就我了解的知識對LMM做2部分的介紹，主要目的是自我梳理，學識有限，錯誤難免。

1. LMM的形式

這是基本形式，更復雜的都是在其基礎上演變出來的。

式子里一共有6個字母，4個小寫，2個大寫。小寫是向量（1維矩陣），大寫是矩陣。這幾個字母的意思分別是：

字母	名稱	維度
y	觀測值	n×1
	固定效應（p個水平）	p×1
a	隨機效應（q個水平）	q×1
e	隨機殘差	n×1
X	固定效應設計矩陣	n×p
Z	隨機效應設計矩陣	n×q

有幾個假設

意思是和這2個向量的參數（均值和方差），均值都是0，方差分別是G和R，協方差是0（彼此獨立，沒有線性關系）。G和R具體又是什么？，。是隨機效應中q個水平之間的關系矩陣（分子關系矩陣），如果水平間不相關（獨立），那么就等同于單位矩陣。這里只假設是1個效應，也可以是含有多個效應的列向量；同樣，在某些情況下，也可以繼續分解R（如AR模型）。此外，觀測值的期望是，方差（marginal）。期望比較容易理解，方差為何是這個形式？G左右為何乘以Z？很多材料沒有給詳細的推導式子。Mrode（2014，p35^[1]）中：

總之，一個普通LMM中的元素就這么多，了解了這些內容，才有可能看懂后續的似然函數以及參數具體的ML或REML過程。

2. BLUP最佳線性無偏預測

BLUP是預測隨機效應的方法，對應的固定效應值的方法是BLUE【統計上，擬合模型階段叫估計，預測階段稱預測；在LMM中，則分別指固定和隨機參數的計算，目的是一樣的——求解方程組】。
BLUP是上世紀50年代由Henderson提出，按照最佳線性無偏的原則求解混合模型方程組中固定和隨機效應。混合模型方程組的形式如下：

如果我們假設殘差方差是IID（對于所有觀測值是相同和獨立的，獨立同分布），則可以將R矩陣作為因子。 在大多數應用中用下面的方程式會更方便：

于是：

其中，。
用REML等方法估計出方差，代入上面的方程組即可。

1. Mrode RA (2014) Linear models for the prediction of animal breeding values. CABI ?