</br> <a>背包問題(Knapsack problem)</a>是一種組合優(yōu)化的NP完全問題。問題可以描述為：給定一組物品，每種物品都有自己的重量和價(jià)格，在限定的總重量?jī)?nèi)，我們?nèi)绾芜x擇，才能使得物品的總價(jià)格最高。
01背包問題就是背包問題中最經(jīng)典的題目之一，常被程序設(shè)計(jì)競(jìng)賽選為母題，是每個(gè)選手必須掌握的重要知識(shí)點(diǎn)。
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<a>01背包問題</a>
<pre></br>有n個(gè)質(zhì)量和價(jià)值分別為w1，vi的物品。從這些物品中挑選出總質(zhì)量不超過W的物品，求所有挑選方案中價(jià)值總和的最大值</br></pre>
<a>解題思路</a>
首先嘗試用最樸素的方法：枚舉每一種可能來比較最大值。
所以，第一步，運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想列出本題的動(dòng)規(guī)方程：
1.設(shè) f (i , j) 為計(jì)算從i到n這n-i個(gè)物品質(zhì)量總和不大于j的價(jià)值最大值。
2.那么對(duì)于每一個(gè)物品，都有取或不取兩種狀態(tài)，所以很快就可以列出遞歸方程：<pre>f (i, j) = max{f(i + 1, j - w[i]) + v[i], //取此物品</br> f(i + 1, j)} //不取此物品</pre>
3.So,就可以據(jù)此寫出遞歸代碼
<pre>
<code>#define MAXN 1000</code>
<code>
int n, W;//物品總數(shù)和最大質(zhì)量
int w[MAXN+1], v[MAXN+1];//物品質(zhì)量和價(jià)值
int f(int i, int j)//前i個(gè)物品，價(jià)格不超過j的最大值
{
int ret;
if (i >= n)//沒有多余物品了
return 0;
if (v[i] > j)//要求質(zhì)量不夠拿此物品
ret = f(i+1, j);
else
//比較那或不拿那個(gè)價(jià)值大
ret = max(f(i+1, j-v[i])+(v[i]*w[i]), f(i+1, j));
return ret;
}
</code></pre>
但是，如果你對(duì)時(shí)間復(fù)雜度有一些了解，就很快會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：</br>如果這樣寫代碼，時(shí)間復(fù)雜度就是O(2^n)。明顯會(huì)超出時(shí)間限制。[關(guān)于時(shí)間復(fù)雜度可以到http://blog.csdn.net/flyyyri/article/details/5154618做一下了解]
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所以，再次利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的重要思想：記憶化搜索，來優(yōu)化算法：
<pre>
<code>#define MAXN 1000</code>
<code>
int n, W;//物品總數(shù)和最大質(zhì)量
int w[MAXN+1], v[MAXN+1];//物品質(zhì)量和價(jià)值
int dpmem[MAXN+1][MAXN+1];//記憶數(shù)組
int f(int i, int j)//前i個(gè)物品，價(jià)格不超過j的最大值
{
int ret;
if(dpmem[i][j] != -1)//是否已經(jīng)計(jì)算過此結(jié)果
return dpmem[i][j];//返回已計(jì)算結(jié)果
if (i >= n)//沒有多余物品了
return 0;
if (v[i] > j)//要求質(zhì)量不夠拿此物品
ret = f(i+1, j);
else
//比較那或不拿那個(gè)價(jià)值大
ret = max(f(i+1, j-v[i])+(v[i]*w[i]), f(i+1, j));
dpmem[i][j] = ret;//記錄結(jié)果
return ret;
}
</code></pre>需要注意的是，在使用前，需要對(duì)dpmem數(shù)組初始化（我這里是全初始化成-1來代表還未計(jì)算），可以用memset實(shí)現(xiàn)。
順便附一組測(cè)試數(shù)據(jù)以供參考：
測(cè)試數(shù)據(jù)：
n = 4, m = 10
w[i] = {2, 3, 2, 1};
v[i] = {4, 8, 10, 5};
結(jié)果：
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引用：
1.百度百科
2.《挑戰(zhàn)程序設(shè)計(jì)競(jìng)賽》
