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寫在前面：強(qiáng)烈推薦閱讀此文提到的思考問題。

相關(guān)定義

對(duì)數(shù)幾率分布

設(shè) $X$ 是連續(xù)隨機(jī)變量， $X$ 服從對(duì)數(shù)幾率分布是 $X$ 具有以下分布函數(shù)和密度函數(shù)(分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù))：

$F(x)=P(X\leq x)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/\gamma}}$

$f(x)=F^‘(x)=\frac{e^{-(x-\mu)/\gamma}}{\gamma(1+e^{-(x-\mu)/\gamma})^2}$

其中， $\gamma$ 稱為形狀參數(shù)，值越小，在臨界點(diǎn)附近增長的越快。

下圖（來自《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》-李航）為密度函數(shù)和分布函數(shù)的示意圖：

logistic_2.png

條件概率

來源：https://blog.csdn.net/u014722627/article/details/70332459

對(duì)于一組隨機(jī)變量，其中某些變量取特定值時(shí)，其余變量的分布稱為條件概率分布。

假設(shè)數(shù)據(jù)集共有 $N$ 個(gè)樣本，記第 $i$ 個(gè)樣本輸入（ $m$ 維向量）和樣本標(biāo)簽分別為 $x_i=[x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{im}]^T$ , $y_i \in\{0,1\}$ ,條件概率與參數(shù) $w$ 有關(guān)，正確分類的條件概率可以寫為 $P(y=y_i|x=x_i;w)$ ，簡寫為 $P(y_i|x_i;w)$ 。

正確分類概率：

$P(y_i|x_i;w)=\begin{cases} P(y=1|x_i;w), y_i=1\\P(y=0|x_i;w)=1-P(y=1|x_i,w), y_i=0\end{cases}\tag{s.1}$

對(duì)正確分類概率取對(duì)數(shù)可以得到：

$lnP(y_i|x_i;w)=\begin{cases} lnP(y=1|x_i;w), y_i=1\\lnP(y=0|x_i;w)=ln(1-P(y=1|x_i,w)), y_i=0\end{cases}\tag{s.2}$

公式(s.2)等價(jià)于 $lnP(y_i|x_i;w)=\{y_i=1\}lnP(y=1|x_i;w)+\{y_i=0\}ln(1-P(y=1|x_i,w))$

$\{y_i=1\}$ 稱為示例函數(shù)，當(dāng)條件滿足時(shí)取1，條件不滿足時(shí)取 0.

在二分類問題中， $y_i$ 表示滿足 $\{y_i=1\}$ ， $1-y_i$ 表示滿足{y_i=0}，因此可以寫為：

$lnP(y_i|x_i;w)=y_ilnP(y=1|x_i;w)+(1-y_i)ln(1-P(y=1|x_i,w))$

兩邊都取指數(shù)，可以得到：

$P(y_i|x_i;w)=P(y=1|x_i;w)^{y_i}(1-P(y=1|x_i,w))^{1-y_i}$

極大似然估計(jì)法

參考：
https://baike.baidu.com/item/%E6%9E%81%E5%A4%A7%E4%BC%BC%E7%84%B6%E4%BC%B0%E8%AE%A1/3350286
https://wenku.baidu.com/view/0d9af6aa172ded630b1cb69a.html

極大似然估計(jì)法（the Principle of Maximum Likelihood ）由高斯和費(fèi)希爾（R.A.Figher）先后提出，是被使用最廣泛的一種參數(shù)估計(jì)方法，該方法建立的依據(jù)是直觀的極大似然原理。

重要前提

訓(xùn)練樣本的分布能夠代表樣本的真實(shí)分布（滿足VC邊界），每個(gè)樣本集的樣本都是獨(dú)立同分布(iid)的隨機(jī)變量，且有充分多的訓(xùn)練樣本。

極大似然原理

在一次抽樣中，若得到觀測值 $x_1,\cdots,x_n$ ，則選擇 $\hat \theta(x_1,\cdots,x_n)$ 作為 $\theta$ 的估計(jì)值。使得當(dāng) $\theta=\hat \theta(x_1,\cdots,x_n)$ 時(shí)，樣本出現(xiàn)的概率最大。即利用已知的樣本結(jié)果，反推最有可能（最大概率，可以認(rèn)為實(shí)驗(yàn)一次就出現(xiàn)的結(jié)果概率最大）導(dǎo)致這樣結(jié)果的參數(shù)。

極大似然估計(jì)法(MLE)

若總體 X 為離散型

X 取值的概率分布律為：

$P(X=x)=p(x,\theta)$

其中， $\theta$ 為未知參數(shù)，設(shè) $(X_1,\cdots,X_n)$ 是取自總體的樣本容量為 $n$ 的樣本，這組樣本的一組觀測值為 $(x_1,\cdots,x_n)$ ，可以得到樣本 $X_1,\cdots,X_n$ 取到觀測值 $x_1,\cdots,x_n$ 的概率為：

$L(\theta)=L(x_1,\cdots,x_n;\theta)= \Pi_{i=1}^n p(x_i;\theta)$

這一概率隨 $\theta$ 的取值而變化，稱 $L(\theta)$ 為樣本的似然函數(shù)。

若總體X為連續(xù)型

X 的概率密度函數(shù)為 $f(x;\theta)$ ,其中， $\theta$ 為未知參數(shù)，設(shè) $(X_1,\cdots,X_n)$ 是取自總體的樣本容量為 $n$ 的樣本，這組樣本的一組觀測值為 $(x_1,\cdots,x_n)$ ，可以得到樣本 $X_1,\cdots,X_n$ 落到點(diǎn) $x_1,\cdots,x_n$ 的臨邊（邊長分別為 $dx_1,\cdots,dx_n$ 的n維立方體)內(nèi)的概率近似為 $\Pi_{i=1}^n f(x_i;\theta)dx_i$ ，則函數(shù)：

$L(\theta)=\Pi_{i=1}^n f(x_i;\theta)dx_i$

這一概率隨 $\theta$ 的取值而變化，稱 $L(\theta)$ 為樣本的似然函數(shù)。

極大似然估計(jì)值
如果 $L(x_1,\cdots,x_n;\hat\theta)=max L(x_1,\cdots,x_n;\theta)$ ，則 $\hat \theta$ 為參數(shù) $\theta$ 的極大似然估計(jì)值。

形式變換

由于 $L$ 與 $lnL$ 有相同的極大值點(diǎn)，連乘操作很容易由于數(shù)據(jù)量較大導(dǎo)致數(shù)據(jù)溢出，因此可以考慮對(duì)似然函數(shù)求對(duì)數(shù)，由原來的乘法操作轉(zhuǎn)換為加法操作。

求解步驟

寫出似然函數(shù)， $L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)$
對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，并整理； $ln L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)$
對(duì)似然函數(shù)的對(duì)數(shù)對(duì) $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_n$ 求導(dǎo)，建立方程組：

$\frac{\partial lnL}{\partial \theta_i}=0,i=1,2,\cdots,k$
求解方程組得到 $\hat\theta_i(i=1,2,\cdots,k)$

類別不平衡

不平衡問題是指分類任務(wù)中不同類別的訓(xùn)練樣本數(shù)目相差很多的情況。

缺少高階連續(xù)凸函數(shù)、梯度下降法、牛頓法的定義

模型推導(dǎo)

對(duì)數(shù)幾率回歸解決的是二分類問題。對(duì)于二分類問題，其輸出標(biāo)記為 $y \in \{0,1\}$ 。

線性回歸模型產(chǎn)生的預(yù)測值為實(shí)值，因此，將實(shí)值轉(zhuǎn)換為 0/1 值即可通過線性回歸實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)幾率回歸。

最理想的轉(zhuǎn)換方法為"單位階躍函數(shù)"，即：預(yù)測值大于 0 則取 1 ，預(yù)測值小于 0 則取 0，預(yù)測值等于 0 可以任意判別。

![屏幕快照 2018-09-08 下午8.32.20.png](https://upload-images.jianshu.io/upload_images/3735998-8837149850838f27.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240)

但是由于“單位階躍函數(shù)”不連續(xù)，因此選擇近似“單位階躍函數(shù)”的對(duì)數(shù)幾率函數(shù)進(jìn)行“替代”，對(duì)數(shù)幾率函數(shù)連續(xù)并且單調(diào)可微，其表達(dá)式為：

$y=\frac{1}{1+e^{-z}} \tag{1.1}$

將 $z=w^Tx+b$ 代入，可以得到：

$y=\frac{1}{1+e^{-(w^Tx+b)}} \tag{1.2}$

式(1.2)可以整理為：

$ln \frac{y}{1-y}=w^T+b \tag{1.3}$

式(1.3)即為對(duì)數(shù)幾率回歸模型，其中， $\frac{y}{1-y}$ 稱為“幾率”，其中， $y$ 表示樣本 $x$ 作為正例的可能性， $1-y$ 表示樣本 $x$ 作為反例的可能性。對(duì)“幾率”取對(duì)數(shù)，稱為“對(duì)數(shù)幾率”（log odds，也稱作 logit ），即式(1.3)等號(hào)左側(cè)的部分。

因此，式(1.3)中可以看做使用線性回歸模型的預(yù)測結(jié)果逼近真實(shí)標(biāo)記的“對(duì)數(shù)幾率”。

由于式(1.3) $y$ 表示樣本 $x$ 作為正例的可能性， $1-y$ 表示樣本 $x$ 作為反例的可能性。如果將 $y$ 看做后驗(yàn)概率估計(jì) $P(y=1|x)$ ，則有：

$ln \frac{P(y=1|x)}{P(y=0|x)}=w^T+b \tag{1.4}$

為了便于討論，另 $\beta=(w;b)$ ， $\hat x=(x;1)$ ，那么， $w^Tx+b = \beta^T \hat x$ ，結(jié)合 $p(y=1|\hat x)+p(y=0|\hat x)=1$ ,我們可以得到：

$P(y=1|x)=\frac{e^{\beta^T\hat x}}{1+e^{\beta^T\hat x}} \tag{1.5}$

$P(y=0|x)=\frac{1}{1+e^{\beta^T\hat x}} \tag{1.6}$

這里我們采用“極大似然法”來估計(jì) $\beta$ 值。

給定數(shù)據(jù)集 ${(x_i,y_i)}_{i=1}^m$ ，我們的目標(biāo)是最大化“對(duì)數(shù)似然”：

$l(\beta)=lnL(\beta)=ln \Pi_{i=1}^n p(y_i| x_i;\beta)=\sum_{i=1}^n ln p(y_i| x_i;\beta) \tag{1.7}$

即令每一個(gè)樣本屬于真實(shí)樣本的概率越大越好。

式(1.7)可以進(jìn)一步寫為：

$\begin{split}l(\beta)&=\sum_{i=1}^nlnp(y_i|x_i;\beta)\\&=\sum_{i=1}^n\{y_iln[P(y=1|x_i;\beta)]+(1-y_i)ln[1-p(y=1|x_i;\beta)]\} \\&=\sum_{i=1}^n\{y_i\{ln[p(y=1|x_i;\beta)]-ln[1-p(y=1|x_i;\beta)]\}+ln[1-p(y=1|x_i;\beta)]\}\\&=\sum_{i=1}^n\{y_iln\frac{p(y=1|x_i;\beta)}{1-p(y=1|x_i;\beta)} +ln[1-p(y=1|x_i;\beta)]\}\\&=\sum_{i=1}^n\{y_iln(e^{\beta^T\hat x})+ln\frac{1}{1+e^{\beta^T\hat x}}\}\\&=\sum_{i=1}^n\{y_i\beta^T\hat x-ln(1+e^{\beta^T\hat x}) \}\end{split}\tag{1.8}$

因此，我們的目標(biāo)可以寫為：

$\beta^*=argmax [l(\beta)] = argmin [-l(\beta)] = argmin[\sum_{i=1}^N(-y_i\beta^T\hat x+ln(1+e^{\beta^T\hat x}))]\tag{1.9}$

式(1.9)即為對(duì)數(shù)幾率回歸的目標(biāo)函數(shù)，我們對(duì)該目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解即可得到最優(yōu)參數(shù)。

由于式(1.9)是關(guān)于 $\beta$ 的高階可導(dǎo)連續(xù)凸函數(shù)，根據(jù)凸優(yōu)化理論，經(jīng)典的數(shù)值優(yōu)化算法如梯度下降法，牛頓法都可以對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)。

softmax 回歸

來源：http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92

參考：https://www.cnblogs.com/Deep-Learning/p/7073744.html

	logistic回歸模型	softmax回歸模型
解決問題	二分類問題	多分類問題
類別	$y^{(i)}\in{\{0,1\}}$	$y^{(i)}\in{\{1,2,...,k\}}$ 注意：從1開始

logistic回歸模型是 softmax回歸模型 k=2 的特例。

對(duì)于給定的測試輸入 x，假設(shè)函數(shù)針對(duì)每個(gè)類別 j 估算的概率為 $p(y=j|x)$ 。即我們假設(shè) 函數(shù)輸出一個(gè) $k$ 維向量（和為 1 ）表示這 $k$ 個(gè)估計(jì)的概率。用公式表示為：

屏幕快照 2018-09-08 下午8.32.20.png

其中， $\theta_1$ , $\theta_2$ ,..., $\theta_k$ $\in$ $\mathtt{R}^{n+1}$ ， $\frac{1}{\sum_{j=1}^{k}e^{\theta_{j=1}^T}x^{(i)}}$ 為歸一化系數(shù)。

softmax的代價(jià)函數(shù)為：

屏幕快照 2018-09-08 下午8.43.25.png

其中：

屏幕快照 2018-09-08 下午8.46.32.png

該代價(jià)的函數(shù)的特點(diǎn)為有一個(gè)"冗余"的數(shù)據(jù)集，為了解決 softmax 回歸參數(shù)冗余帶來的數(shù)值問題，我們添加一個(gè)權(quán)重衰減項(xiàng)目 $\frac{\lambda}{2}\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^n\theta_{ij}^2$ 來修改代價(jià)函數(shù)，這個(gè)衰減項(xiàng)可以懲罰過大的參數(shù)，現(xiàn)在代價(jià)函數(shù)變?yōu)椋?/p>

屏幕快照 2018-09-08 下午8.54.37.png

對(duì)于 $\J(\theta)$ 的最小化問題，目前還沒有閉式解法。因此，使用迭代的優(yōu)化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。經(jīng)過求導(dǎo)，可以得到梯度公式如下：

屏幕快照 2018-09-08 下午8.55.29.png

softmax 回歸 vs k個(gè)二元分類器

如果類別之間相互排斥，使用 softmax 回歸。

如果類別之間并不相互排斥，使用 k 個(gè)二元分類器。

類別不平衡的基本處理方法

基本策略--再縮放：

$\frac{y^{'}}{1-y^{'}}=\frac{y}{1-y}*\frac{m^-}{m^+}$

這里的 $m^+$ 表示訓(xùn)練集的正例數(shù)量， $m^-$ 表示訓(xùn)練集的反例數(shù)量， $\frac{m^-}{m^+}$ 表示觀測幾率。

但是我們從訓(xùn)練集的觀測幾率推斷真實(shí)幾率，現(xiàn)在技術(shù)上大體有三類做法：

直接對(duì)訓(xùn)練集里的反類樣例進(jìn)行“欠采樣”，即去除一些反例使正、反例數(shù)目接近，再學(xué)習(xí)；代表算法 EasyEnsemble；
對(duì)訓(xùn)練集里的正類樣例進(jìn)行‘過采樣’，即增加一些正例使正、反例數(shù)目接近，再學(xué)習(xí)；代表算法 SMOTE；
直接基于原始訓(xùn)練集進(jìn)行學(xué)習(xí)，在用訓(xùn)練好的分類器進(jìn)行預(yù)測時(shí)，將再縮放公式嵌入決策過程，稱為“閾值移動(dòng)”

sklearn 相關(guān)參數(shù)

原文：http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.LogisticRegression.html#sklearn.linear_model.LogisticRegression

sklearn.linear_model.LogisticRegression

Logistic Regression(又稱為 logit, MaxEnt) 分類器。

對(duì)于多分類的情況，如果 “multi_class” 選項(xiàng)設(shè)置為‘ovr’，訓(xùn)練算法將使用 one-vs-rest(OvR)策略；如果 “multi_class” 選項(xiàng)設(shè)為 ‘multinormial’，則使用交叉熵?fù)p失（cross-entropy loss)(目前，只有‘lbfgs’、'sag' 和 'newton-cg' 算法支持“multinormial”)。

這個(gè)類使用 'liblinear' 庫、'newton-cg' 、‘lbfgs’、'sag' 求解器實(shí)現(xiàn)了正則化 logistic 回歸。既可以處理密集輸入也可以處理稀疏輸入。程序使用 64 位浮點(diǎn)型 C-ordered 序列或 CSR 矩陣以獲得最佳性能，任何其他格式的輸入都將轉(zhuǎn)化為這種格式（并復(fù)制）。

'newton-cg' 、‘lbfgs’、'sag' 求解器只支持原始公式的 L2 正則化。 'liblinear' 求解器支持 L1 和 L2 正則化，并且只為 L2 懲罰提供對(duì)偶公式的求解。

更多內(nèi)容見用戶指南。

參數(shù)	意義	備注
penalty	str,'l1' 或'l2' 用于指定正則化函數(shù)，'newton-cg' 、‘lbfgs’、'sag' 僅支持 l2	0.19版本新增加了支持 l1 懲罰的SAGA 求解器
dual	bool，默認(rèn) False 對(duì)偶或原始公式。對(duì)偶公式只用于使用 liblinear 求解器的 l2 懲罰。	當(dāng)n_samples>n_features （樣本較多）時(shí)最好設(shè)置 dual = False
tol	float，默認(rèn) 1e-4 停止迭代的最小誤差。
C	float，默認(rèn) 1.0 正則項(xiàng)系數(shù)的倒數(shù)，與支持向量機(jī)相似，值越小正則化影響越大。	必須為正浮點(diǎn)數(shù)
fit_intercept	bool，默認(rèn) True 決策函數(shù)是否需要添加常數(shù)（偏差或截距)。
intercept_scaling	float，默認(rèn) 1 只有使用 liblinear 算法并且 fit_intercept 設(shè)為True 時(shí)才有用，在這種情況下，x變?yōu)閇x,self.intercept_scaling]，即將值為 intercept_scaling 的“合成”特性添加到實(shí)例向量中，截距變?yōu)?intercept_scaling*synthetic_feature_weight。	合成特性權(quán)重與其它特性一樣受 l1/l2 正則化影響。為了減少正則化對(duì)合成特性權(quán)重（以及截距）的影響，需要增大intercept_scaling。
class_weight	dict 或者 'balanced'，默認(rèn)為 None。 {class_label:weight}格式的類別權(quán)重。如果沒有給定，所有類別的權(quán)重都為1。 "balanced"模式使用 y 值自動(dòng)校正權(quán)重，使其為輸入數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻率的倒數(shù)，即 n_samples/(n_classes * np.bincount(y))。	如果指定了 sample_weight 則這些權(quán)重將與 sample_weight 相乘。
random_state	int, RandomState 實(shí)例或 None，可選，默認(rèn)：None 偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器打亂數(shù)據(jù)時(shí)使用的種子(seed) 。如果為 int，random_state 表示隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的 seed 。如果為 RandomState 實(shí)例，random_state 表示隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。如果為 None，則使用 np.random 使用的RandomState 實(shí)例作為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。	用于 solver 為”sag“或 ”liblinear“的情況。
solver	str , {‘newton-cg’, ‘lbfgs’, ‘liblinear’, ‘sag’, ‘saga’}默認(rèn)：'liblinear' 求解優(yōu)化問題使用的算法。小數(shù)據(jù)集使用”liblinear“是個(gè)不錯(cuò)的選擇，但是”sag“和”saga“對(duì)于較大的數(shù)據(jù)集速度更快多分類問題只能使用”newton-cg“,"sag","saga"和”lbfgs“處理多分類損失，”liblinear“限于 one-versus-rest方案。 "newton-cg","lbfgs"和”seg"只支持 L2 正則，“l(fā)iblinear"和”saga“只支持 L1正則。	"sag"和"saga"快速卷積只有在特征規(guī)模大致相同時(shí)才能保證快速收斂。可以使用sklearn.preprocessing的縮放器對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。
max_iter	int，默認(rèn) 100 只用于 newton-cg 、sag 和 lbfgs 算法。用于算法收斂的最大迭代次數(shù)。
multi_class	str,{‘ovr’, ‘multinomial’,'auto'},默認(rèn): ‘ovr’ 如果選擇'ovr'，將對(duì)每個(gè)標(biāo)簽進(jìn)行二分類擬合。對(duì)于‘multinomial’，最小化損失為擬合整體概率分布的多分類損失（即使數(shù)據(jù)為二分類）。liblinear 算法不能使用 ‘multinomial’。設(shè)置為'auth'時(shí)，如果數(shù)據(jù)為二分類或者 solver='liblinear'，選擇"ovr"，其它情況使用’multinomial'
verbose	int，默認(rèn)：0 將 verbose 設(shè)置為正數(shù)來表示 liblinear 和 lbfgs 的冗余。
warm_start	bool，默認(rèn) False 設(shè)置為 True 時(shí)，使用上一次調(diào)用的解來作為擬合的初始值，否則，只釋放上次的解決方案。這項(xiàng)設(shè)置對(duì) liblinear 算法不起作用。
n_jobs	int，默認(rèn) 1。如果 multi_class='ovr'時(shí)并行計(jì)算類別時(shí)使用的處理器數(shù)量。如果“solver"設(shè)置為 ”liblinear“，則無論是否設(shè)置了”multi_class“，這個(gè)參數(shù)都將被忽略。除了 joblib.parallel_backend 之外 None 表示 1，如果值為 -1，則使用所有的處理器。詳細(xì)內(nèi)容見Glossary.

屬性：

屬性	意義	備注
coef_	array，格式：(1,n_features) 或(n_classes,n_features) 決策函數(shù)中特征的系數(shù)，二分類問題的 coef_ 格式為 (1,n_features)
intercept_	array，格式：(1,) 或(n_classes,) 決策函數(shù)的截距，如果 fit_intercept 設(shè)置為 False，截距為 0，二分類問題的 intercept_ 格式為(1,)
n_iter_	array，格式：(n_classes,)或（1,) 所有類的實(shí)際迭代次數(shù)。對(duì)于二分類或多分類，只返回1個(gè)元素。 liblinear算法只返回所有類的迭代值的最大值。

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對(duì)數(shù)幾率回歸（logistic 回歸)

對(duì)數(shù)幾率回歸（logistic 回歸)

相關(guān)定義

對(duì)數(shù)幾率分布

條件概率

極大似然估計(jì)法

重要前提

極大似然原理

極大似然估計(jì)法(MLE)

求解步驟

類別不平衡

模型推導(dǎo)

softmax 回歸

softmax 回歸 vs k個(gè)二元分類器

類別不平衡的基本處理方法

sklearn 相關(guān)參數(shù)

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對(duì)數(shù)幾率回歸（logistic 回歸)

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對(duì)數(shù)幾率分布

條件概率

極大似然估計(jì)法

重要前提

極大似然原理

極大似然估計(jì)法(MLE)

求解步驟

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模型推導(dǎo)

softmax 回歸

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