D - 最短路徑·一

HihoCoder - 1081

描述
萬圣節(jié)的早上，小Hi和小Ho在經(jīng)歷了一個(gè)小時(shí)的爭論后，終于決定了如何度過這樣有意義的一天——他們決定去闖鬼屋！
在鬼屋門口排上了若干小時(shí)的隊(duì)伍之后，剛剛進(jìn)入鬼屋的小Hi和小Ho都頗饑餓，于是他們決定利用進(jìn)門前領(lǐng)到的地圖，找到一條通往終點(diǎn)的最短路徑。
鬼屋中一共有N個(gè)地點(diǎn)，分別編號為1..N，這N個(gè)地點(diǎn)之間互相有一些道路連通，兩個(gè)地點(diǎn)之間可能有多條道路連通，但是并不存在一條兩端都是同一個(gè)地點(diǎn)的道路。那么小Hi和小Ho至少要走多少路程才能夠走出鬼屋去吃東西呢？
提示：順序！順序才是關(guān)鍵。×Close
提示：順序！順序才是關(guān)鍵。

小Ho想了想說道：“唔……我覺得動態(tài)規(guī)劃可以做，但是我找不到計(jì)算的順序，如果我用f[i]表示從S到達(dá)編號為i的節(jié)點(diǎn)的最短距離的話，我并不能夠知道f[1]..f[N]的計(jì)算順序。”
“所以這個(gè)問題不需要那么復(fù)雜的算法啦，我就稍微講講你就知道了！”小Hi道：“路的長度不可能為負(fù)數(shù)對不對？”
“那是自然，畢竟人類還沒有發(fā)明時(shí)光機(jī)器……”小Ho點(diǎn)點(diǎn)頭。
于是小Hi問道：“那么如果就看與S相鄰的所有節(jié)點(diǎn)中與S最近的那一個(gè)S'，并且從S到S'的距離為L，那么有可能存在另外的道路使得從S到S'的距離小于L么？”
“不能，因?yàn)镾'是與S相鄰的所有節(jié)點(diǎn)中與S最近的節(jié)點(diǎn)，那么從S到其他相鄰點(diǎn)的距離一定是不小于L的，也就是說無論接下來怎么走，回到L點(diǎn)時(shí)總距離一定大于L?！毙o思考了一會，道。
“也就是說你已經(jīng)知道了從S到S'的最短路徑了是么？”小Hi繼續(xù)問道。
“是的，這條最短路徑的長度是L?！毙o答道。
小Hi繼續(xù)道：“那么現(xiàn)在，我們不妨將S同S'看做一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)？稱作S1，然后我就計(jì)算與S相鄰或者與S'相鄰的所有節(jié)點(diǎn)中，與S最近的哪一個(gè)節(jié)點(diǎn)S''。注意，在這個(gè)過程中，與S相鄰的節(jié)點(diǎn)與S的距離在上一步就已經(jīng)求出來了，那么我要求的只有與S'相鄰的那些節(jié)點(diǎn)與S的距離——這個(gè)距離等于S與S'的距離加上S'與這些結(jié)點(diǎn)的距離，對于其中重復(fù)的節(jié)點(diǎn)——同時(shí)與S和S'相鄰的節(jié)點(diǎn)，取兩條路徑中的較小值?！?br> 小Ho點(diǎn)了點(diǎn)頭：“那么同之前一樣，與S1（即S與S'節(jié)點(diǎn)）相鄰的節(jié)點(diǎn)中與S'距離最近的節(jié)點(diǎn)如果是S''的話，并且這個(gè)距離是L2，那么我們可以知道S到S''的最短路徑的長度便是L2，因?yàn)椴豢赡艽嬖诹硗獾牡缆繁冗@個(gè)更短了。”
于是小Hi總結(jié)道：“接下來的問題不就很簡單了么，只需要以此類推，每次將與當(dāng)前集合相鄰（即與當(dāng)前集合中任意一個(gè)元素）的所有節(jié)點(diǎn)中離S最近的節(jié)點(diǎn)（這些距離可以通過上一次的計(jì)算結(jié)果推導(dǎo)而出）選出來添加到當(dāng)前集合中，我就能夠保證在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)被添加到集合中時(shí)所計(jì)算的離S的距離是它與S之間的最短路徑！”
“原來是這樣！但是我的肚子更餓了呢！”言罷，小Ho的肚子咕咕叫了起來。

Close

輸入
每個(gè)測試點(diǎn)（輸入文件）有且僅有一組測試數(shù)據(jù)。
在一組測試數(shù)據(jù)中：
第1行為4個(gè)整數(shù)N、M、S、T，分別表示鬼屋中地點(diǎn)的個(gè)數(shù)和道路的條數(shù)，入口（也是一個(gè)地點(diǎn)）的編號，出口（同樣也是一個(gè)地點(diǎn)）的編號。
接下來的M行，每行描述一條道路：其中的第i行為三個(gè)整數(shù)u_i, v_i, length_i，表明在編號為u_i的地點(diǎn)和編號為v_i的地點(diǎn)之間有一條長度為length_i的道路。
對于100%的數(shù)據(jù)，滿足N<=10^3，M<=104, 1 <= length_i <= 10^3, 1 <= S, T <= N, 且S不等于T。
對于100%的數(shù)據(jù)，滿足小Hi和小Ho總是有辦法從入口通過地圖上標(biāo)注出來的道路到達(dá)出口。
輸出
對于每組測試數(shù)據(jù)，輸出一個(gè)整數(shù)Ans，表示那么小Hi和小Ho為了走出鬼屋至少要走的路程。

Sample Input
5 23 5 4
1 2 708
2 3 112
3 4 721
4 5 339
5 4 960
1 5 849
2 5 98
1 4 99
2 4 25
2 1 200
3 1 146
3 2 106
1 4 860
4 1 795
5 4 479
5 4 280
3 4 341
1 4 622
4 2 362
2 3 415
4 1 904
2 1 716
2 5 575

Sample Output
123

解法：Dijkstra算法，計(jì)算從一個(gè)確定結(jié)點(diǎn)到所有其他結(jié)點(diǎn)的最小距離，設(shè)源點(diǎn)為k，數(shù)組a用來存放所有節(jié)點(diǎn)到k的距離，如果k和i之間有邊則a[i]為邊長，否則設(shè)置成無窮大。再找與k相鄰的結(jié)點(diǎn)，找到這些結(jié)點(diǎn)相鄰的結(jié)點(diǎn)j，如果a[j]>a[i]+b[i][j]則a[j]的值更新，直到找到目的結(jié)點(diǎn)。

代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<limits.h>
using namespace std;
int a[1005];
int b[1005][1005];
bool vis[1005];
int main()
{
    int n,m,s,t;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    for(int i=0;i<m;i++){
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        if(b[x][y]==0){
            b[x][y]=z;
            b[y][x]=z;
        }
        else if(b[x][y]>z){
            b[x][y]=z;
            b[y][x]=z;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(i==s)
            a[i]=0;
        else if(b[s][i]!=0)
            a[i]=b[s][i];
        else
            a[i]=INT_MAX;
    }
    vis[s]=1;
    while(1){
        int dis=INT_MAX,now;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(vis[i]==0&&a[i]<dis){
                dis=a[i];
                now=i;
            }
        }
        vis[now]=1;
        if(now==t){
            cout<<dis<<endl;
            break;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(b[now][i]!=0&&b[now][i]+dis<a[i])
                a[i]=b[now][i]+dis;
        }
    }
}