概要

• 可以通過對每個結點運行一次上一章中的最短路徑算法，來解決所有結點對的最短路徑問題，但效率較低，本章考慮的是用新的算法更高效的解決此問題
• 本章使用鄰接矩陣來表示圖，邊的權重也存儲在一個矩陣 W 中，算法的輸出存儲在矩陣 D 中，還有一個精妙的前驅結點矩陣用于存放路徑結果
• 前驅結點矩陣的位置 ij 中存儲的是，由 i 到 j 的一條最短路徑中，j 的前驅結點
• 由前驅結點矩陣的第 i 行可以誘導出，由結點 i 出發的最短路徑樹

最短路徑和矩陣乘法

這一節是使用動態規劃的方法解決所有結點對的最短路徑問題，按動態規劃的設計方法，有四個步驟

步驟一：分析最優解結構

• 最優解必定是由子問題的最優解構成的，讓本章的問題符合這一性質的是引理 24.1，一條最短路徑的所有子路徑都是最短路徑

步驟二：所有結點對最短路徑的遞歸解

• 這一段的分析過程基本沒看明白，主要的目的是給出一個遞歸式，指明由子問題的解如何組成問題的解
• 公式給了兩個，第一個公式 25.2 指出了如何由子問題的解組成問題的解，第二個公式 25.3 結合路徑權重的場景具體分析，指出大于 n-1 條邊的權重矩陣中的權重值都等于 n-1 條邊的權重矩陣

步驟三：自底向上計算最短路徑權重

• 計算的算法并不出奇，三層 for 循環遍歷，利用公式 25.2 進行遞歸計算（遞歸應該算作第四次循環）
• 神奇的是這里計算的時候將公式 25.2 轉成了矩陣乘法（沒明白是如何轉換的，數學功力不夠），轉成矩陣乘法之后算法的表述就變得更簡單了，里面的三層 for 循環就是矩陣相乘的過程，外面的遞歸變成了不斷的與同一個矩陣做乘法

步驟三改進：重復平方

• 結合路徑權重的場景分析，我們只需要最終的權重矩陣，對計算的中間結果不感興趣，利用 25.3 給出的性質，遞歸計算改為平方計算，即中間結果的矩陣與自己相乘，這樣找出一個大于 n-1 階的結果即可
• 這個改進可以將遞歸中的 O(n) 優化到 O(lgn)

步驟四：構建最優解

• 書中沒有給出這一步驟，我思考就是利用概要中給出的方法，由前驅結點矩陣誘導出最短路徑樹

Floyd-Warshall 算法

• Floyd-Warshall 算法的運行時間為 V 的三次方

Floyd-Warshall 算法也是基于動態規劃的思想，但是是從另一個角度思考問題，下面的結構還是按照動態規劃的思路組織的

最短路徑結構（步驟一）

• Floyd-Warshall 算法考慮的是一條最短路徑上的中間結點（實話說從這句話里完全看不清算法的思路）
• 據我的理解，這里的問題和子問題分別是：
  【問題】結點 i 到結點 j 的一條包含的中間結點全部取自 1 ~ k 號結點的最短路徑
  【子問題】結點 i 到結點 j 的一條包含的中間結點為全部取自 1 ~ k-1 號結點的最短路徑
  通俗一點講就是，i 到 j 的路徑的中間結點只能從 1 ~ k（或者 k-1）號結點中選擇，所形成的最短路徑

所有結點對最短路徑問題的一個遞歸解（步驟二）

• 給出的遞歸解是這樣的：關于問題 i 到 j 的最短路徑，k 階的 d 表示中間結點全部取自 1 ~ k 號結點的最短路徑的權重，遞歸解說明了如何從 k-1 階的 d 計算 k 階的 d，最后計算到 n 階的 d 就是在整個圖中 i 到 j 的最短路徑權重

自底向上計算最短路徑權重（步驟三）

• 這一段比較好理解，按照遞歸式進行計算即可，算法非常緊湊，運行時間為 n 的三次方

構建一條最短路徑（步驟四）

• 按照概述中的描述，構建最短路徑需要通過前驅矩陣進行誘導（生成最短路徑樹）
• 那么問題就變成了如何構建前驅矩陣，書中說明了兩種方法：
  【方法一】由上述算法的計算結果 D 矩陣（由 n 階的 d 組成的矩陣），來構造前驅矩陣
  【方法二】在計算 D 矩陣的同時計算前驅矩陣，說是同時其實關聯并不緊密，只是用到了 D 矩陣的中間結果，即 1 ~ n 階的 D 矩陣

有向圖的傳遞閉包

• 傳遞閉包是這樣定義的：定義帶權重的有向圖 G，如果 G 中的結點 i 到 j 存在可以到達的路徑，則（i，j）為 G 的傳遞閉包中的一條邊
• 可以利用 Floyd-Warshall 算法計算圖的傳遞閉包：給 G 的每條邊賦予權重 1，運行 Floyd-Warshall 算法，結果矩陣 D 中小于 n 的 d 值就代表一條閉包中的邊（或許書中的表述更易理解：如果存在一條 i 到 j 的路徑，則有 d(ij）< n）
• 還有另外一種方法，用邏輯或 & 邏輯與操作替代 Floyd-Warshall 算法中的 min 和 + 操作（至于為什么可以這樣替換我已經放棄思考了，應該是一個不太復雜的數學轉換），這樣改造后的算法運行會更快，因為邏輯或 & 邏輯與操作要比算法運算更快
• 我們可以利用 Floyd-Warshall 算法在 V 的三次方時間內計算出圖的傳遞閉包

用于稀疏圖的 Johnson 算法

• Johnson 算法可以在 O(V2lgV+VE) 內找到所有結點對的最短路徑，對于稀疏圖，E 比較小，則 Johnson 算法性能優于本章的前兩節的算法
• Johnson 算法的思路是對每個結點運行一次 Dijkstra 算法
• Dijkstra 算法要求權重都為非負值，所以這里可能需要（如果所有權重都為非負值則不需要）為每條邊重新賦予一個非負值權重，再對帶有新的權重的圖運行 Dijkstra 算法。其中重新賦予權重要求，新的圖的最短路徑結果集與原圖相同。

重新賦予權重來維持最短路徑

• 這一小段講的是如何計算一組與原圖的最短路徑相同的新權重
• 引理 25.1（重新賦予權重并不改變最短路徑）中的公式 25.9 給出了新權重的計算方法，通過選擇一個函數 h，利用公式 25.9 就能夠計算出一組最短路徑相同的新權重

通過重新賦值來生成非負權重

• 這一小段講的是如何選擇一個合適的函數 h，使得通過公式 25.9 計算出來的新權重都為非負值
• 選擇 h 的方法為：向圖 G 中添加一個新結點 s，定義 s 到其它所有結點的邊的權重都為 0，然后計算由 s 結點出發的單源最短路徑結果，函數 h(v) 定義為 s 到 v 的最短路徑權重
• 書中同時給出了這樣選擇函數 h 的正確性的證明，利用三角不等式，簡單明了

計算所有結點對之間的最短路徑

這一小段給出了 Johnson 算法的具體過程：

• 先插入新結點 s 生成新的圖 G‘ 并初始化
• 運行 Bellman-Ford 算法得到 s 的單元最短路徑結果，構造函數 h
• 由函數 h 計算新的權重（非負值），形成新的權重矩陣
• 對每個結點運行 Dijkstra 算法（使用新的權重矩陣），得到一個結果矩陣 D’
• 由 D‘ 根據公式 25.9 反向計算出原圖 G 的最短路徑結果矩陣 D
• 此外，如果還需要構建最短路徑，則可以在 D’ 的計算過程中保留前驅矩陣（將 Dijkstra 算法中生成前驅子圖記錄為前驅矩陣中的一行），這個前驅矩陣也可以作為原圖 G (舊的權重矩陣)的前驅矩陣