什么是前綴和

簡單來說：我們有一個數(shù)組x和它的前綴和數(shù)組y，他們滿足以下公式。
y ₀ = x ₀
y ₁ = x ₀ + x ₁
y ₂ = x ₀ + x ₁ + x ₂
...
即 y[n]=x[1]+x[2]+...+x[n]。
下面是一個實際例子：

得到的結(jié)果就是一維前綴和

一維前綴和

一維前綴和的得到很簡單，也很好理解，上面的例子就是一維前綴和。
我們只需要遍歷的時候一直把之前計算的和 加上自己就能得到當(dāng)前的和。

 /**
     * 一維前綴和
     *
     * @param src 原數(shù)組
     * @return 一維前綴和
     */
    private int[] oneDimen(int[] src) {
        int[] result = new int[src.length];
        for (int i = 0; i < result.length; i++) {
            if (i == 0) {
                result[i] = src[i];
            } else {
                result[i] = result[i - 1] + src[i];
            }
        }
        return result;
    }

那既然我們了解了一維前綴和，那必然會有二維前綴和

二維前綴和

先上一張圖，看圖就知道是個什么邏輯了。

圖一

前綴和數(shù)組里每一個位置都表示原數(shù)組當(dāng)前index左上方的數(shù)字的和。
比如像圖里面畫的：prefixSum[3, 3] = src[0~2, 0~2]的和;
二維前綴和數(shù)組要怎么計算出來呢？
可以分為四種情況

1. i==0 && j==0，只有一個直接賦值即可：prefixSum[0, 0] = src[0, 0]。
2. i==0，最左邊的一排，圖中黃色部分，prefixSum[0, j] = prefixSum[0, j-1] + src[0, j]；
3. j==0，最上面一排，途中紅色部分，prefixSum[i, o] = prefixSum[i-1, 0] + src[i, 0];
4. i!=0 || j!=0，圖中綠色部分，prefixSum[i][j] = prefixSum[i - 1][j] + prefixSum[i][j - 1] + src[i][j] - prefixSum[i - 1][j - 1];

具體講第四步：

圖二

代碼表示：

    /**
     * 二維前綴和
     *
     * @param src 原數(shù)組
     * @return 二維前綴和
     */
    private int[][] twoDimen(int[][] src) {
        int[][] result = new int[src[0].length][src.length];
        for (int i = 0; i < src.length; i++) {
            for (int j = 0; j < src[0].length; j++) {
                if (i == 0 && j == 0) {//第0個，最左上角
                    result[i][j] = src[i][j];
                } else if (i == 0) {//第一行，最頂部一行
                    result[i][j] = result[i][j - 1] + src[i][j];
                } else if (j == 0) {//第一列，最左邊一列
                    result[i][j] = result[i - 1][j] + src[i][j];
                } else {//其他
                    result[i][j] = result[i - 1][j] + result[i][j - 1] + src[i][j] - result[i - 1][j - 1];
                }
            }
        }
        return result;
    }

前綴和的應(yīng)用

例題1

輸入n個數(shù)的數(shù)列，所有相鄰m數(shù)的和有n-m+1個，求其中的最小值。
比如：
數(shù)組為：[10, 4, 1, 5, 5, 2]
m為：3
結(jié)果為：10

/**
     * 獲取最小值
     *
     * @param src 原數(shù)組
     * @param m   幾個
     * @return 最小值
     */
    private int minM(int[] src, int m) {
        if (m <= 0) {
            return 0;
        }
        int[] prefixSum = new int[src.length];
        for (int i = 0; i < prefixSum.length; i++) {
            if (i == 0) {
                prefixSum[i] = src[i];
            } else {
                prefixSum[i] = prefixSum[i - 1] + src[i];
            }
        }
        int first = prefixSum[m - 1], result = first;
        for (int i = m; i < prefixSum.length; i++) {
            int current = prefixSum[i] - prefixSum[i - m];
            result = current > result ? result : current;
        }

        return result;
    }