前綴和

什么是前綴和

簡單來說:我們有一個數(shù)組x和它的前綴和數(shù)組y,他們滿足以下公式。
y 0 = x 0
y 1 = x 0 + x 1
y 2 = x 0 + x 1 + x 2
...
即 y[n]=x[1]+x[2]+...+x[n]。
下面是一個實際例子:

\ 0 1 2 4 5 6 ...
x 1 2 3 4 5 6 ...
y 1 3 6 10 15 21 ...

得到的結(jié)果就是一維前綴和

一維前綴和

一維前綴和的得到很簡單,也很好理解,上面的例子就是一維前綴和。
我們只需要遍歷的時候一直把之前計算的和 加上自己就能得到當(dāng)前的和。

 /**
     * 一維前綴和
     *
     * @param src 原數(shù)組
     * @return 一維前綴和
     */
    private int[] oneDimen(int[] src) {
        int[] result = new int[src.length];
        for (int i = 0; i < result.length; i++) {
            if (i == 0) {
                result[i] = src[i];
            } else {
                result[i] = result[i - 1] + src[i];
            }
        }
        return result;
    }

那既然我們了解了一維前綴和,那必然會有二維前綴和

二維前綴和

先上一張圖,看圖就知道是個什么邏輯了。


圖一

前綴和數(shù)組里每一個位置都表示原數(shù)組當(dāng)前index左上方的數(shù)字的和。
比如像圖里面畫的:prefixSum[3, 3] = src[0~2, 0~2]的和;
二維前綴和數(shù)組要怎么計算出來呢?
可以分為四種情況

  1. i==0 && j==0,只有一個直接賦值即可:prefixSum[0, 0] = src[0, 0]。
  2. i==0,最左邊的一排,圖中黃色部分,prefixSum[0, j] = prefixSum[0, j-1] + src[0, j];
  3. j==0,最上面一排,途中紅色部分,prefixSum[i, o] = prefixSum[i-1, 0] + src[i, 0];
  4. i!=0 || j!=0,圖中綠色部分,prefixSum[i][j] = prefixSum[i - 1][j] + prefixSum[i][j - 1] + src[i][j] - prefixSum[i - 1][j - 1];

具體講第四步:

圖二

我們要得到prefixSum[2,2],我們知道應(yīng)該是圖一中箭頭指向的區(qū)域。也就是9個方框加起來的和,也就是54。
看圖二,我們可以利用prefixSum[1, 2]和prefixSum[2, 1],但是他倆的區(qū)域是重合的,如圖二所示,重合的區(qū)域又恰好是prefixSum[1, 1]負(fù)責(zé)的區(qū)域,相當(dāng)于加了兩份,需要減掉一份。
所以prefixSum[2,2] = prefixSum[1, 2] + prefixSum[2, 1] - prefixSum[1, 1] + src[2, 2];
也就是54 = 33 + 21 -12(這個是prefixSum[1, 1]) +12(這是src[2, 2])

代碼表示:

    /**
     * 二維前綴和
     *
     * @param src 原數(shù)組
     * @return 二維前綴和
     */
    private int[][] twoDimen(int[][] src) {
        int[][] result = new int[src[0].length][src.length];
        for (int i = 0; i < src.length; i++) {
            for (int j = 0; j < src[0].length; j++) {
                if (i == 0 && j == 0) {//第0個,最左上角
                    result[i][j] = src[i][j];
                } else if (i == 0) {//第一行,最頂部一行
                    result[i][j] = result[i][j - 1] + src[i][j];
                } else if (j == 0) {//第一列,最左邊一列
                    result[i][j] = result[i - 1][j] + src[i][j];
                } else {//其他
                    result[i][j] = result[i - 1][j] + result[i][j - 1] + src[i][j] - result[i - 1][j - 1];
                }
            }
        }
        return result;
    }

前綴和的應(yīng)用

例題1

輸入n個數(shù)的數(shù)列,所有相鄰m數(shù)的和有n-m+1個,求其中的最小值。
比如:
數(shù)組為:[10, 4, 1, 5, 5, 2]
m為:3
結(jié)果為:10

/**
     * 獲取最小值
     *
     * @param src 原數(shù)組
     * @param m   幾個
     * @return 最小值
     */
    private int minM(int[] src, int m) {
        if (m <= 0) {
            return 0;
        }
        int[] prefixSum = new int[src.length];
        for (int i = 0; i < prefixSum.length; i++) {
            if (i == 0) {
                prefixSum[i] = src[i];
            } else {
                prefixSum[i] = prefixSum[i - 1] + src[i];
            }
        }
        int first = prefixSum[m - 1], result = first;
        for (int i = m; i < prefixSum.length; i++) {
            int current = prefixSum[i] - prefixSum[i - m];
            result = current > result ? result : current;
        }

        return result;
    }
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