? ? ? ? ? ? ? 2018與數學解題共跨新年
? ? ? ? 數學是一門培養學生思維能力、解決問題能力的學科，解題方法與策略的滲透教學尤為重要，尤其在涉及到課堂教學中如何培養初中學生數學學科素養，如何站在高度去把握，是一線教師尤為需要加強的地方，基于這點，2018年1月1日，北師大長春附屬學校派出初中數學組黃曉龍、趙強、周文君和宋瑩四位老師參加了由南京師大附中承辦的名師課堂初中數學解題研討活動。聆聽了特級教師于新華、黃金聲等多位專家學者深入淺出的專題報告。
于新華老師作為江蘇省數學特級教師從“追尋題目生成過程”的角度為我們做了解題方面的專題報告，于老師擔任過初、高中各個年級的數學教學工作，在多年的教學實踐中，逐步形成了“視野開闊，情趣交融；居高臨下，深入淺出”的教學風格。在交流中于老師就如何應用初中方法解決中考壓軸題和競賽題做了精彩的解析和演示，比如他常用的橫縱比模型、“12345模型”、轉化與化歸思想的“斜化直”解題策略等，都給老師們深受啟發。特別是于老師的確定性思考更是高屋建瓴。
比如，他提出：學習數學，固然要重視已有的結論，但更要重視結論的來龍去脈過程，在過程中汲取思維營養。只有這樣，在解題時才會觸類旁通，左右逢源，解決問題的方法也就具有···········更大的靈活性。同時，他指出在解三角形的問題時，要考慮圖形確定性，關注圖形生成過程，這樣就可以發現自然合理的解題思路。另外，于老師還強調，在數學教學中，要盡可能展示數學美與數學趣味性的內容，充分調動學生的積極性，讓學生喜歡數學，熱愛數學，讓學習數學過程成為一種文化享受過程。
他還在應用中為我們生動的詮釋了這一思想，若兩個角互余，則他們的正切值互為倒數，在此基礎上可以寫出很多結論；
以上結論中，出現了：1/2/3/4/5，所以稱為12345模型。
黃金聲老師是江西省特級教師中國數學奧林匹克競賽高級教練員，華東理工大學碩士生導師也一直任教初中實驗班數學，是真正參加一線教學名師和專家，他立足“四維理念的初中數學主題教學”為我們帶來了一場題為“從學生的角度出發——與45°角有關的問題探究策略”的專題報告。其中不乏“鬼斧神工”的構造、“動人心魄”的推演和“感人至深”的詩意總結，不光讓我們領略的黃老師的解題思維更為他的文采所折服。
例如：如圖，（題根）在正方形ABCD中，∠EAF=45°（即為直角∠BAD的一半，“半角”之名由此而來），則BE+DF=EF（三條線段滿足和關系）.
方法一（旋轉：繞點A逆轉90度）：
第一步：如下第一圖所示，旋轉變換；
第二步：如下第二圖圖所示，全等變換（SAS），由此得BE+DF=EF；
既然可以逆轉90度，當然也可以順轉90度，在這里就不再贅述；
值得一提的是，證明出AEF≌AE’F（SAS）后，容易得出系列“副產品”：
(1)在下圖中，∠1=∠2，即∠AFE=∠AFE’；
(2)得出∠1=∠2后，“見角平分線，作雙垂”，如下第二圖所示，此時再過點A作AG⊥EF于點G，則易證明出RtAGF≌RtADF（AAS），這樣立即可得到AG=AD；
也就是說，AEF的高AG與正方形ABCD的邊長相等；
這個結論的由來是非常有趣的！若是一開始就過點A作AG⊥EF，想要通過全等去證明AG=AD，進而證明BE+DF=EF成立，是一件很麻煩或者說不可能的事情（雖然可以通過同一法或者共線法等方式說明，但這對于學生而言已經不太適合）。峰回路轉，我們上面先通過旋轉方法，證明出BE+DF=EF后，竟然神奇般地又得到了AG=AD這個有趣的結論；
(3)得到AG=AD=AB后，容易證明RtAGE≌RtABE（HL），這樣又有∠3=∠4，即∠AEB=∠AEG成立；
上面這三個有關邊與角相等的結論，是在證明BE+DF=EF的過程中，幾乎一氣呵成自然生成的“附產結論”。
方法二（對稱：將點E關于AF對稱）：
未說明清晰，這里先隱去一些干擾線條，防止同學們受這里最麻煩的“共線”干擾，具體分析如下：
第一步：如下圖所示，對稱變換，將點E關于邊AF對稱；
第二步：如下第二圖所示，連接DE’，全等變換（SAS）；
第三步：如下第三圖所示，還原線段CD，容易推出∠FDE’=180°，故點E’、D、F、C四點共線，由此易得BE+DF=EF；
既然可以將點E關于邊AF對稱，當然也可以將點F關于AE對稱，學生自行探究，不再贅述；
類比方法二與方法一，相當于第一步與第二步顛倒了個順序，但前者可用旋轉的眼光看問題，而后者卻可以用翻折（對稱）的眼光看圖形，本質上還是有一定的差異的，而且這個差異產生了第三步中證明“四點共線（或三點共線）”的麻煩，值得深思，“共線”的證明一直是學生的軟肋，容易被忽略！
方法三（兩次對稱：同時將點B關于AE對稱，點D關于AF對稱）：
第一步：對稱變換，如下圖所示，將點B關于AE對稱；
第二步：對稱變換，如下第二所示，將點D關于AF對稱；
值得一提的是，這里的兩個對稱點D’與B’恰好重合，主要原因就是“半角”所致，即∠EAF=45°，為直角∠BAD的一半導致的；
當然第一次對稱點A后，也可以證明RtDAF≌B’AF（SAS），這樣也可以達到同樣的目的；
由此易得BE+DF=EF；
? ? ? ? 數學教學中，開發思維能力是培養能力的核心。一位教師，他若要采用同樣的方法去教他所有的學生和未來學數學的人，那么，他在解題時應當教三分之一的數學，三分之二的常識，即思想方法和思維模式。雖然大多數學生未來參加工作，許多數學知識用不上，但數學對于學生養成良好的思維習慣以及理性思維和創新才能的發展，從而提高全體學生未來素質，是極為重要的，這才是把教學理念扎進學生根的具體體現。
? ? ? “扎根”的教學模式，北師大長春附屬學校數學組，正在努力踐行......? 歡迎加入。
