約瑟夫問題
故事
39個猶太人與Josephus以及他的朋友躲到一個洞里，決定寧愿死也不要被敵人抓到。于是決定了自殺方式，41個人圍成一圈，又第1個人開始報數，每報到第3個人就必須自殺。然后下一個重新報數，直到所有人都自殺身亡為止。然而Josephus和他的朋友并不像遵從，Josephus讓朋友想假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，結果逃過了這場死亡游戲。
約瑟夫環
- 第1輪 開始為0 循環為3 剔除為2
- 第2輪 開始為3 循環為3 剔除為5
- 第3輪 開始為6 循環為3 剔除為8
- 第4輪 開始為9 循環為3 剔除為1
- 第5輪 開始為3 循環為3 剔除為6
- ...
數學推導
有n個數，編號從0到n-1，從0開始數到m則剔除，下一位繼續從0開始數，依此類推只剩下最后一個，求最后那個的編號。
每剔除一個就重新開始，相當于減少了問題的規模，解n個規模為n、n-1、n-2,n-3...3,2,1。
假如第2輪（n-1規模）中剔除編號為x，此編號是第1輪剔除后從新從0開始編排的，可推導出，此數在第1輪人數為n時中的編號為 (x+m)%n。
n-2中剔除的數在n-1中的編號為 (x+m)%(n-1)
n-3中剔除的數在n-1中的編號為(x+m)%(n-2)
...
$n = 100;
$m = 3;
$s = 0;//表示從第0個開始數
for($i=2; $i<=$n; $i++){
$x = ($x + $m) % $i;
}
$result = ($x+$s)%n;
約瑟夫環應用：猴子大王
一群猴子排成一圈，按1,2,3,...,n依此編號，從第1只開始數，數到第m只將它踢出圈。再從它的后面開始數，再數到第m只，再把它踢出去...直到最后剩下的一直猴子，那只猴子就叫大王。
// 使用線性表求解約瑟夫
function josephus($n, $m){
$result = 0;
for($i=2; $i<=$n; $i++){
$result = ($result + $m) % $i;
}
return $result + 1;
}
每只猴子出列后，剩下的猴子又組成另一個子問題。只是它們的編號變化了。第1個出列的猴子肯定是arr[1] = m%n。
踢出第1只猴子后剩余的猴子是arr[1]+1、arr[1]+2、arr[1]+3,....,n,1,2,3,...,arr[1]-2、arr[1]-1，對應新的編號為1,2,3,...,n-1。
假設此時某只猴子的新編號為i，原來的編號就是(i+a[1])%n。于是，便形成了一個遞歸問題。
假設知道子問題（n-1只個猴子）的解為x，那么原問題(n只猴子)的解就是(x+m%n)%N=(x+m)%n。問題的起始條件，若n=1那么結果就是1。
約瑟夫環：丟手帕
設編號為自然序號的1,2,3...n的n個人圍坐一圈，約定編號為k（1<=k<=n）的人從1開始報數，數到m的那個人出列，他的下一位又從1開始報數，數到m的那個人又出列，以此類推，直到所有人出列為止，由此產生一個出隊編號的序列。
使用環形鏈表解決約瑟夫問題
可使用一個不帶頭節點的循環鏈表來處理約瑟夫問題，首先構造一個含有n個節點的單循環鏈表，然后由k節點起從1開始計數，計數到m時，對應節點從鏈表中刪除，然后再從被刪除節點的下一個節點從1開始計數，直到最后一個節點從鏈表中刪除。
鏈表
鏈表，最靈活的數據結構。鏈表是有序的列表，而在內存中是分散存儲的。
鏈表是一種在邏輯上連續且有序的數據存儲結構，而在物理存儲單元上是非連續且非有序的。
使用鏈表可解決類似約瑟夫問題、排序問題、搜索索引、廣義表...
鏈表的類型可分為
- 單向鏈表
- 雙向鏈表
- 單向循環鏈表
- 雙向循環鏈表
- 十字鏈表/有向圖
單向鏈表
單向鏈表又稱為單鏈表，是一個鏈式存儲結構，擁有一個表頭head，除了最后一個節點外，所有節點都有后繼節點。
單鏈表的每個節點都保存其數據域和后繼指針。
案例：排行榜
內存分區
一個程序運行時，內存分成5個區域：棧區、堆區、全局區/靜態存儲區、常量存儲區、代碼區/自由存儲區。
- 棧區
由編譯器需要時分配，不需要時自動清除的變量存儲區，其中存儲的變量通常是局變量、函數參數等。 - 堆區
使用new分配的內存塊，它們的釋放是由應用程序控制，而非編譯器控制。一般而言，一個new就會對應一個delete。如果程序員沒有釋放掉，在程序結束后，會由操作系統自動回收。 - 自由存儲區
由malloc等分配的內存塊，與堆區十分類似，不過它是用free來結束自己的生命的。 - 全局/靜態存儲區
全局變量和靜態變量被分配到同一塊內存中，C語言中全局變量又分為初始化和未初始化的，在C++中沒有這個區分，他們共同占用同一塊內存區域。 - 常量存儲區
比較特殊的存儲區，存放著不允許修改的常量。
PHP的內存模型
內存從邏輯上可分為4段，程序中不同的聲明存放在不同的內存段中。
- 數據段
data segment
又稱為初始化靜態段，用來存放程序中已被初始化且不為0的全局變量，如靜態變量和常量。 - 代碼段/文本段
code segment/text segment
用于存放程序執行代碼的內存區域，如函數和方法。 - 棧空間段
存儲占用相同空間長度，且占用空間小的數據類型。如整形在內存中占用的空間是等長的，都是64bit(4byte)。常有int、float、bool... - 堆內存
數據長度不定長，且占用空間很大的數據類型的存儲區域。如string、array、class...
棧空間段是可以直接存取的，而堆內存不可以直接存取。對于對象而言，是一種很大且占用不定長的數據類型，所以對象是存放在堆中。但對象名是存放在棧中的，因此通過對象名就可以訪問使用對象。
PHP的內存管理
PHP的內存管理是分層的，由上到下分為接口層、堆層、存儲層
- 接口層
接口層是PHP對外提供的可調用的方法，通過宏封裝了內部實現。這些宏定義了一個高層次的接口，使得調用更加容易，它隔離了外部調用和PHP內存管理的內部實現，實現了一種松耦合關系。
- 堆層
在接口層下面是PHP內存管理的核心實現，稱之為heap層。堆層控制整個PHP內存管理的過程。
PHP中的內存管理主要工作就是維護3個列表：小塊內存列表free_buckets、大塊內存列表large_free_buckets、剩余內存列表rest_buckets。這里每個bucket也對應一定大小的內存塊列表，這些列表都包含雙向鏈表的實現。
對于小塊內存是最常用的，所以追求高性能。對于大塊內存則追求的是穩妥，盡量避免內存浪費。對于小塊內存，PHP引入了cache機制，ZendMM希望通過cache盡量做到一次定位就能查找分配。
- 存儲層
存儲層的作用是將內存分配的方式對堆層透明化。
存儲層通常申請的內存都比較大，這里申請的內存大小并不是指storage層結構所需要的大小，只是堆層通過調用存儲層的分配方法時，以大塊大塊的方式申請的內存。
存儲層通過malloc()、mmap()等函數向系統真正的申請內存，并通過free()函數釋放掉所申請的內存。
