關鍵詞：價值/損失函數 | 決策 | 偏好系統 | 最優解
糾結、選擇與價值函數
糾結是什么？讓我們回歸字面：一個糾纏打結的復雜線團，拆也不是、剪也不是，胡亂嘗試之下甚至纏得更緊。
很不幸的是，我們面對問題時幾乎總是會進入這樣一種狀態。原因有兩個，比如問題本身就很復雜，我們很難找到可行解。但或許更多的情況是，諸多可行解已擺在面前，我們要從中選擇出最優解。糾結的其實是如何選擇。
先讓我們來看一個令人糾結的經典問題：有軌電車難題
假設你看到一輛剎車壞了的有軌電車，即將撞上前方軌道上的5個人，而旁邊的備用軌道上只有1個人，如果你什么都不做，5個人會被撞死。你手邊有一個按鈕，按下按鈕，車會駛入備用軌道，只撞死1個人。你會選擇怎樣做？
糾結了嗎？讓我們先來分析這個問題中的最明顯的關鍵條件：一邊是5個人，一邊是1個人。這時，僅從數字上來看，當然選擇5個人，沒問題吧？
讓我們補充點佐料，那么一大波問題來了:
- 那5個人都是你不認識的人，那1個人則是你的親人
- 1000000個你不認識的人，1個你的親人
- 一邊5人一邊1人，你都不認識，但是你知道如果按了按鈕，你相當于主動殺掉5個無辜的人，會一輩子良心不安，反之如果什么都不做，至少你沒有主動選擇殺死誰，雖然也很難受但似乎可以承受
- （還可以繼續細思恐極下去...）
糾結了嗎？
為什么糾結呢？因為我們顯然不如我們自己通常認為的那樣理性。
是救人多的那邊（功利）？是救親人（道德/情感）？是避免主動選擇造成的傷害（自我保護）？...
然而這道問題，在絕對的理性面前，其實沒有絲毫難度。讓我們嘗試一下。
假設對于此問題你的價值函數是一個簡單的多元線性函數：
f(x1, x2, x3) = a1x1 + a2x2 +a3x3
其中：
x1: 所有軌道上最后存活的人數
x2: 軌道上存活你的親人數
x3: 軌道上你主動殺死的人數
那么好啦，你只需要提供心儀的參數值a1，a2，a3給這個價值函數，就建立起了你自己的模型，使用這個模型，以上所有的問題都能輕松算得最優解。
舉例而言，假如你的參數是1, 100, -2，那么就問題1而言，選擇救那5個路人的價值是1*5 + 100*0 + (-2*1) = 3，選擇救1個親人的價值是1*1 + 100*1 + (-2*5) = 91，91>3，毫無疑問選擇救你的那個親人。
你還可以設置更復雜的價值函數，比如更多自變量，比如非線性：
模型2. 你救的人數存在邊際效益遞減，救2人和救1人差別或許很大，但救10000人和救9000人的差別或許就沒那么強的實感了，隨便來個log來示意一下：
f(x1, x2, x3) = a1logx1 + a2x2 + a3x3
模型3. 你救的親人越多，你越會因為主動殺死別人的行為產生痛苦：
f(x1, x2, x3) = a1x1 + a2x2 + a3x1x3
或許這個例子太過血淋淋了，我們很難做到絕對理性。但我想要講的應該很清楚了，許多糾結的問題，糾結的根源是非理性，解決辦法則是，建立形式化、量化的模型，使用價值函數去評估各種選擇。
偏好系統
接下來讓我們放松一點。
我們有了一個決策模型（Model of Decision），里面有各種選擇，也有價值函數。我們知道價值函數的值當然越大越好，最大的那個對應的自然是最優解。也有反過來的情況，那函數就可以叫做Loss / Cost Function了。這種大與小、可比較，反映的是可行解之間的相對優劣關系，即偏好（Preference）。為什么我們需要價值函數？根本而言我們需要的其實是選擇之間的可比較。
但可比較，其實是一個很有趣的坑。讓我們來看一個例子：
剪刀石頭布相信大家都玩過，剪刀>布，布>石頭，石頭>剪刀，簡單明確的偏好不是嗎？然并然。這個設定存在致命的缺陷。
假設這個偏好系統（System of Preferences / Preference Structure）具有可傳遞性（Transitivity），即：
(石頭>剪刀) AND (剪刀>布) -> 石頭>布
現在我們有了這樣兩條偏好：布>石頭 與 石頭>布。它們都成立使得一致性（Consistency）：
布>石頭 -> NOT (石頭>布)
受到了破壞。
這意味著這個系統中可傳遞性與一致性不可共存，進一步可以推知在剪刀石頭布這個環狀結構（cycle）之中，永遠找不到最優解。事實上我們早就認識到了這一點，當三人以上玩這個游戲的時候，我們將會拋棄可傳遞性，如果同時出現剪刀、石頭和布，就會直接進入下一局，直至只出現兩種的某局，從而分出勝負（這好像又變成了一個二分類問題，interesting）。
這種類似的環狀偏好系統還有很多，比如五行相克；在游戲設計中其實也經常用到，比如火焰紋章的劍斧槍，或者夢幻西游里的門派相克，但之所以不會有問題，是因為這種設計目的就是為了消除最優解，從而平衡游戲中的選擇，而且大部分游戲里都不會出現三方混戰的情形（即使很多多人游戲看起來很即時），根本不用考慮可傳遞性。
所以說環，真是一個非常有趣的結構啊，突然又聯系起PageRank（還有我之前參與的英雄聯盟英雄強弱ranking...）之類的東西，走遠了趕緊剎住。
一致性和可傳遞性以外，偏好系統其實還需要一個完整性（Completeness）。也就是說系統內任何選擇之間都是可比的：
石頭，布 -> (石頭>= 布) OR (石頭<=布)
沒有滿足這個基本的完整性，意味著無法確定某些選擇間的相對次序關系，最優解根本無法存在。偏好系統其實還可具有更多的性質，比如連續性（Continuity）和凸性（Convexity），從而支持各種更嚴格的決策模型。
以復雜對抗糾結
像是剪刀石頭布這樣的糾結是可怕的，可怕在于你以為自己已經很理性，對各種選擇有明確的偏好，但其實這些偏好無法同時具有可傳遞性和一致性，有限的理性，有時整體而言其實是不理性的。這種不理性在現實中的根源又在何處？
知乎上有一篇文章討論了單因素模型這種思維模式的危害。人們在面對人生中大大小小的問題時，常常在抓住一個因素的同時，錯誤地忽略了許多其他的重要因素，打敗了一種盲從的同時，又建立了一種新的盲從。看似簡單粗暴毫不費力，實際上事倍功半。
我們常常交替地用不同的“單因素模型”去套用當前面臨的問題，而一旦想綜合考慮多個因素，腦子就覺得不夠用了，補了東墻又拆了西墻。石頭大于剪刀是因為石頭可以把剪刀破壞，剪刀大于布也是因為剪刀可以破壞布，然而布可以破壞石頭嗎？不能，布戰勝石頭靠的是它能把石頭包。。起。。來。。明顯的兩個單因素交替，雙重標準。
沒有通過形式化、通過足夠復雜的模型對整個思考過程、對多個因素進行記錄與審視。因而對于重要的問題，特別是將影響人生大方向的問題，我們隔三差五都在不自覺地重復同樣的怪圈，甚至在一圈內死循環、不斷隨機goto到某一步。我們永遠在建立新的偏好系統，但永遠沒有建立起一個同時具有完整性、可傳遞性和一致性的系統，從而，永遠找不到最優解。
我們的大腦是喜好簡單的，假如有一個方法、一種因素可以解釋萬事萬物，解決所有疑問（42？），為何要細致入微地、艱苦卓絕地考慮所有細枝末節呢？簡化并不是一件壞事，比如上一篇里提到的抓大放小，是非常有用的策略（特別是對于開放問題）。但是正如本篇想要嘗試表達的，過于簡化是錯誤的，是對理性的逃避，只會使糾結更糾結。
當然，每個問題都有其比較適合的模型復雜度，太大太小均非好事，最佳莫過于剛剛好，這一點我將在接下來的文章里繼續進一步的思考。
到此，這個系列已經從心理學教材硬生生扯到了決策/學習的基本概念，所以扯到游戲設計也算設計吧，我這樣安慰自己:)
