“如果用3個蠟燭臺乘5個馬車夫，得數該是多少？”——伽莫夫，《我的世界線》，pp19
只有同類的量才能相加。
比如：
1蘋果 + 1鴨梨
是沒有意義的。
說
1蘋果=1鴨梨
也是沒意義的。
我們這里對相等的規定是數字和數字相同，而單位要和單位一樣。
（在物理中，我們經常使用“表示為”——$\to$或$\doteq$——這個概念，這是和等于不同的概念。我們可以用一個二分量的列向量去表示自旋的狀態，但自旋、自旋的狀態、二分量的列向量并不是一類的東西。如果是建立表示的話，我們是可以用蘋果去表示鴨梨的。）
但
1水果 + 1水果 = 2水果
就有意義。
我們管1叫數字，蘋果叫單位，[蘋果]叫量綱。
英文的量綱是dimension，dimension有尺寸和維度的意思。
乘法的定義是這樣的：
1蘋果 x 2鴨梨 = 2 蘋果·鴨梨
即數字和數字乘，單位和單位乘，所謂單位和單位乘就是把蘋果和鴨梨并列，得到新的類，或新的單位——“蘋果·鴨梨”，蘋果·鴨梨的量綱是：
[蘋果·鴨梨] = [蘋果] x [鴨梨]
舉例而言，物理里面功的定義是：
$W = F_l \cdot l$
功是力$F$乘位移$l$，功的單位是焦耳，功的量綱是：
[功] = [力] x [長度]
我們希望把任意物理量的量綱都表示為幾個基本物理量的量綱的表達，在力學中我們選：長度、質量和時間。
那么力的量綱是什么呢？
由牛頓第二定律：
$F = m a$
力的量綱是：
[力] = [質量] x [加速度]
加速度的定義是：
$a = \frac{d v}{d t} = \frac{d^2 x}{dt^2}$
加速度的量綱是：
[加速度] = [長度] [時間]^{-2}
因此功的量綱是：
[功] = [質量] [長度] [時間]^{-2} [長度] = [質量] [長度]^2 [時間]^{-2}
我們可以證明功的量綱和動能的量綱是一樣的，它們是同一類的物理量。
動能的定義是：
$K = \frac{m v^2}{2}$
動能的量綱是：
[動能] = [質量] [長度]^2 [時間]^{-2}
弧度是沒有量綱的，這與我們對弧度的定義有關。
考慮一段圓弧，圓弧所對的角度是$\theta$，或說我們由角度$\theta$，半徑$R$，得到一段圓弧，假設圓弧的長度是$L$。
圓弧長度$L$正比于角度$\theta$，也正比于半徑$R$，
我們定義：
$L = R \theta$
圓弧$L$和半徑$R$的量綱都是長度。
這樣定義的角度$\theta$是無量綱的。
一些例子：
（1）
5米 x 6米 = 30 米·米
“米·米”和“米”不是一類的，我們管“米·米”叫面積，而“米”叫長度。
（2）
0.1 元 x 0.1 元 = 0.01 元·元
“元”是貨幣單位，“元·元”和“元”不是一類的，0.01自然不是對貨幣多少的度量。
（3）
請證明量子普適電導率$\frac{e^2}{h}$的量綱是電導率的量綱，這里$e$是電子的電荷，$h$是普朗克常數。
（4）
在物理中還會出現這樣的表達，比如：
$A e^{i (kx - \omega t)}$
這里在$e$指數里面，$kx - \omega t$ 解釋為角度，是無量綱的。
$x$的量綱是[長度]，$k$波矢的量綱是[長度]^{-1}
波矢的定義是：
$k = \frac{2 \pi}{ \lambda}$
即空間上每增加長度份額$\lambda$，相位（無量綱）會增加$2 \pi$，即重復一周期重回起點。
（5）
對包含$e$指數的物理公式，考慮到：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + …$
$x$只能是無量綱的，$ex$也是無量綱的，否則就會造成$ex$有不確定的量綱，這是不可能的。
比如（放射性）衰減公式：$A = A_0 e^{- t / \tau}$，$t$的量綱是[時間]，$\tau$的量綱也是[時間]，我們把$\tau$解讀為“壽命”。
