歷史尋根復變函數的前世今生：

歷史上第一個遇到‘虛數’即復數的人是印度的數學家Bhaskara Achary(約114-1185)他在解方程時候認為 $x^2=-1?$ 是沒有意義的。1484年法國數學家N.ChuQuest(約1445-1500)在解方程 $x^2-3x+4=0?$ 時候得到的根是 $x=\frac 12 \pm\sqrt{\frac 49-4} ?$ ,他被這個"怪數"弄的不知所措。1545年，意大利數學家G.Cardano(1501-1576)在解方程 $x(10-x)=40?$ 時候，把這個方程的兩個根 $5\pm\sqrt{(-15)}?$ ，從而引進了復數。與他同時期的另一位意大利數學家Rafael Bombelli(1526-1572) 在其《代數》一書中從已知的實數運算法則類推出了復數的四則運算。
1629年，荷蘭科學家A.Girard(1595-1632)在其《代數新發明》一書中引入了符號 $\sqrt {(-1)}?$ 來表示虛數單位。稍后，法國科學家R.Descartes(1596-1632)用 $i?$ 來記 $\sqrt{(-1)}?$ ，并且第一次使用“復數”，“虛數”這些概念。1843年，瑞士科學家L.Euler(1707-1783)發現了著名的歐拉公式 $e^{i\varTheta}=cos\vartheta+isin\vartheta?$ 。1797年，丹麥數學家C.Wessel在坐標平面上引進了實軸與虛軸，使得復數 $a+bi?$ 與平面上的點一一對應，從而使得“復數”有了“立足之地”。
此后，愛爾蘭數學家W.R.Hamilton(1805-1965)發展了復數的一個代數解釋：每個復數都可以用一個實數對 $(a,b)?$ 表示。18世紀以后，以歐拉為首的數學家們發展起來了一門新的數學分支—復變函數論。19世紀以后，法國數學家柯西，德國數學家黎曼，威爾士特拉斯等人使復變函數論得到巨大的發展，并且廣泛地應用到空氣動力學，流體力學，電學，熱學等等方面

寫到這里我要說點題外話了，情不知所起，科學家真的很偉大我真的很佩服他們，無數的科學家嘔心瀝血前赴后繼才有了科學技術才有了人類文明的繁榮昌盛，才讓我們人類擁有了改造大自然，利用大自然的能力，我想在這里向偉大的數學家，偉大的物理學家，偉大的生物學家，一切為人類社會做貢獻的人致敬！

（筆者大學專業是信息與計算機科學，學了一半數學也學了一半計算機，個人認為我還是對計算機更加的感興趣，當然數學也感興趣但是總體而言我對計算機的熱情要高過數學，因此筆者學數學主要在吸收數學思想知道如何使用數學工具，不會去像其他人一樣把每一個證明過程都牢牢的記在心里，我只注重實用，會忽略到許多細枝末節文章有淺薄之處還請各位高抬貴手放小弟一馬！）

復變函數知識樹如下：

復變函數與積分變換.png

復數與復變函數

淺談復數：

復數的一般形式為 $z=x+iy$ 具有性質 $i^2=-1$ 顯然復數由實部（x）和虛部（y）構成實部和虛部（x,y）很自然的對應著直角坐標系上的一點因此我們就可以把復數與向量聯系起來，如此復數的加法和減法都可以類比向量的運算，復平面上的一個向量的模長就是其對應復數的模設若負向量與x軸的夾角為 $\varTheta$ 則有 $\begin{cases} x=rcos\vartheta\\y=rsin\vartheta\\\end{cases}$ 于是復數又可以表示成 $z = x + iy=r(cos\vartheta+isin\vartheta)$ 又由Euler公式 $e^{i\vartheta}=cos\vartheta+isin\vartheta$ 可得 $z=re^{i\vartheta}$ 這種形式稱為復數的指數表達式

何為復變函數？

所謂復變函數形如 $\omega=f(z)$ , $z=x+iy$ 復數的函數 $\omega=u+vy$ ,復變函數的英文拼寫為(Complex Variables)，所謂復變函數即為變量為復數的函數。實際上 $\omega$ 的實部 $u$ 和 $v$ 往往可以表示為一個含 $x,y$ 的二元函數即 $z=u(x,y)+iv(x,y)$ ,這樣我們研究復變函數就只要分別研究復變函數所對應的實部函數 $u(x,y)$ 和虛部函數 $v(x,y)$ 。

研究復變函數的tools

在數學分析或者高等數學中我們研究實變函數式通過研究函數的可導性，連續性，和極限來刻畫實變函數的性質的，于是我們偉大的數學家們希望這些成熟的工具拿過來刻畫復變函數，實踐證明這是可行的，實際上我認為數學家們研究復變函數并不僅僅是因為數學游戲好玩興趣使然才驅使數學家絞盡腦汁的去研究這么個東西，而是因為19世紀-20世紀物理學的蓬勃發展因為當時的科學技術需要才催生出的這么一門學科，如果解決了復數問題，那么生活中的許多問題都可以迎刃而解了。數學本就是和藝術一樣源于生活又高于生活但是卻與生活息息相關的一門科學，而不是什么披著宗教外衣的偽科學。

解析函數的概念與解析的充要條件

毫無疑問要想把復變函數像實變函數那樣研究并且希望找到實變函數與復變函數橋梁把二者聯系起來，那么復變函數的連續性與可導性，復變函數的積分性質以及復變函數在級數上的表實就必須弄清

復變函數的連續性和可導性質

上文已經提到過了要研究復變函數的性質只需要研究復變函數的虛部函數 $u(x,y)$ 和虛部函數 $v(x,y)$ 的性質。
復變函數在某一點可導的充要條件:
虛部函數 $v(x,y)$ 與實部函數 $u(x,y)$ 在某一點可微且滿足Cauchy-Rieman方程： $\frac {\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} and \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac {\partial v}{\partial x}$
復變函數解析的概念：
如果復變函數在一點可導且在這點的一個領域內處處可導，則稱復變函數在這一點解析（注意復變函數在一點可導未必解析即可導是解析的必要不充分條件），如果復變函數在區域D內處處可導則稱復變函數在區域D內解析。
復變函數在區域D解析的充要條件：
如果復變函數的實部函數與虛部函數在D內處處可微且滿足柯西—黎曼方程那么稱復變函數 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 為區域D內的解析函數。
Laplace方程的導出：
因為解析函數滿足Cauchy-Rieman條件，由于解析函數可以求N階導數，把柯西-黎曼方程:
$\begin{cases} \frac {\partial u}{\partial x} =\frac {\partial v}{\partial y}\\ \frac {\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$
兩式分別關于 $x,y$ 求導后可以導出Laplace： $\frac {\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac {\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ 同理 $\frac {\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac {\partial^2 v}{\partial y^2}=0$ ，我們把滿足Laplace方程的函數稱為調和函數，顯然解析函數的實部函數和虛部函數是調和函數，于是數學家們把滿足C-R條件的一對調和函數稱為共軛調和函數，事實上一對共軛調和函數也可以構成一個解析函數，于是我們又得到復變函數在區域D內解析的一個充要條件即：復變函數的實部函數和虛部函數是一對共軛調和函數。于是我們只要知道一個調和函數我們就可以根據這個調和函數由柯西-黎曼條件我們就可以求出與已知的調和函數共軛的另一個調和函數，并且可以把這一對共軛調和函數組合成一個解析函數。
復初等函數：
因為實變函數與復變函數的主要差別就在與復變函數的變量為復數事變函數的為實數，總所周知在實變函數中許多的函數都是由初等函數復合而成，由此我們不難想象許多的復變函數也是由復初等函數復合而成的，因此認識清楚復變函數的初等函數也是由必要的，下面我只列舉出復初等函數的形式，因為比較簡單，在這里不做過多的敘述。
$\begin{cases} 指數復函數：e^z\\ 對數復函數：z=e^{\omega},\omega=lnz\\ 冪復函數：\omega=z^\alpha,\omega=e^{\alpha lnz}\\ 三角復函數：e^{iy}=cosy+isiny,cosy=\frac 12(e^{iy}+e^{-iy}),siny=\frac {1}{2i}(e^{iy}+e^{-iy}) \end{cases}$
上面研究的復變函數的可導性與解析性讓我們對復變函數有了一個初步的了解，本質上就是把實變函數的性質在復變函數上推廣，數學家們研究復變函數也是為了解決實際問題的，許多在實變函數上面問題用現有的實變函數上面的性質解決的話要么就是過于復雜計算困難，要么就是用實變函數根本無法啊解決，因此數學家門希望從復變函數上面找到突破口，成為解決實際問題的一種新的方法，實際上實變函數于復變函數有著很自然的聯系，這正好從哲學上應驗了萬事萬物或多或少都存在著聯系
上面的知識都只是把實變函數的某些性質實在復變函數上面做簡單的推廣只是簡單的從函數的角度來刻畫復變函數，下面將展示如何從數的角度來刻畫復變函數

復變函數的積分性質

積分公式的推導：
容易 $f(z)=u(x,y)+i(x,y)$ 是C上的連續函數，且復積分 $\int_c f(z)dz$ 存在，則： $\int_cf(z)dz=\int_cu(x,y)dx-v(x,y)dy+i\int_cv(x,y)dx+u(x,y)dy$
設曲線C的參數方程是 $x=x(t),y=y(t),(a\leqslant t \leqslant b)$
將參數方程帶入導出可得 $\int_Cf(z)dz=\int^b_af[z(t)]z^\prime(t)dt$
單連通區域的柯西積分公式：
如果函數 $f(z)$ 在單連通區域D解析，則 $f(z)$ 在D內沿任一簡單曲線C的積分： $\oint_Cf(z)dz=0$
證由格林公式： $\oint_Cf(z)dz=\oint_Cudx-vdy+i\oint vdx+udy=-\underset{D}\iint(\frac {\partial v}{\partial x}+\frac {\partial u}{\partial y})dxdy+i\underset{D}\iint(\frac {\partial u}{\partial x}-\frac {\partial v}{\partial y})$
又由C-R條件則得： $\oint_Cf(z)dz=0$
柯西積分公式是在單連通區域內才滿足，如果是多連通區域又怎么計算簡單曲線的積分？如果不是單連通區域我們只需要做輔助線把多連通區域變成單連通區域即可，由此就得到在多連通區域上的復合閉路定理： $\oint_Cf(z)dz=\sum\limits_{k=1}^{n}{\oint_{C_k}f(z)dz}$ ,特別的如果D是由內外兩條閉路 $C$ , $C_1$ 圍成的環形區域，而 $f(z)$ 在D內及其邊界上是解析的，則有 $\oint_Cf(z)dz=\oint_{C_1}f(z)dz$
柯西積分公式：
設函數 $f(z)$ 在簡單閉曲線C上及其D內部是解析的， $z_0$ 是D內的任意一點則： $f(z_0)=\frac {1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$ (1)
這個公式是由復合閉路定理推導而來，其思想是以 $z_0$ 為中心做一個小圓周K其半徑為r，由復合閉路定理有： $\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\oint_K \frac{f(z)}{z-z_0}dz$ ,當小圓周K的半徑 $r \rightarrow 0$ 時候 $\oint_K \frac{f(z)}{z-z_0}dz \rightarrow \oint_K \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz$ 而 $\oint_K \frac{1}{z-z_0}dz=2\pi i$ 即求得一式，當然這只是思想，證明還需要嚴格的推理，這里不做敘述。
高階導數公式
$f^{(n)}(z_0)=\frac {n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}$ ,證略
復數冪級數：
解析函數的泰勒展開定理：
函數 $f(z)$ 在區域D內解析， $z_0$ 是區域內一點R為 $z_0$ 到D邊界的最短距離則當 $|z-z_0|\lt R$ 時候有
$f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n,a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\frac {f^n(z_0)}{n!}$
復冪級數 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ 如果收斂，一定在某一個圓域內收斂于一個解析函數，解析函數在解析域內也能夠展開成一個復冪級數，由此可見復冪級數于解析函數之間有著天然的聯系
洛朗級數:
解析函數可以展開成冪級數這是一個不爭的事實，但是在現實生活中的問題往往是函數在某個點不解析但是在這個點附近的圓盤區域內解析，此時 $f(z)$ 不能用含有 $z-z_0$ 的冪級數展開。
我們稱形如 $\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ 的級數稱之為洛朗級數。數學家們證明了洛朗級數的收斂區域為圓環而且 $f(z)$ 在圓環區域D： $R_1 \lt |z-z_0| \lt R_2$ 內解析則 $f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ ,其中 $a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz,(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots)$ 這里的C為圓環區域內的任意的圓周: $|z-z_0|=R,R_1 \lt R \lt R_2$
留數：
解析函數可以在圓環域內展開為冪級數，可以在圓環域內展開為洛朗級數。圓環的一種退化形式是一點的去心領域，當函數在一點的去心領域內解析而在這點不解析的時候這一點就是復變函數的一個孤立奇點，所以洛朗級數就成為研究復變函數孤立奇點的一個有力工具，而解析函數在孤立奇點處的留數是解析函數論中的重要概念之一，且留數在計算上有著巧妙的運用，復變函數在閉曲線上的積分問題可以轉化求其孤立奇點的留數問題。
孤立奇點的分類：

如果一個復變函數的在其孤立奇點處的洛朗展開式中不包含 $z-z_0$ 的負冪項，那么就稱這個奇點為孤立奇點，如果負冪項次數絕對值的最大值為m我們就稱這個奇點為m級級點，如果有無窮多個負冪項那么就稱這個奇點為本性奇點。
留數的定義及計算：
函數 $f(z)$ 在 $z_0$ 的去心領域內解析但是在 $z_0$ 不解析，則函數在 $z_0$ 點可以洛朗展開， $f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_n(z-z_0)^n$ 其中 $C_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$ , $C_{-1}=\frac {1}{2\pi i} \oint_C f(z)dz$ ,相當于知道了 $C_{-1}$ 就等于知道了積分 $\oint_C f(z)dz$ 的值由此就有了留數的概念，若 $z_0$ 是 $f(z)$ 的孤立奇點記 $f(z)$ 在 $z_0$ 處的留數為 $Res[f(z),z_0]=\frac {1}{2\pi i}\oint_Cf(z)dz=C_{-1}$
留數定理:
C是一條正向的簡單閉曲線，若 $f(z)$ 在C上及其C的內部D除去有限個孤立奇點 $z_1,z_2,\cdots,z_n$ 外處處解析，那么 $\oint_Cf(z)dz=2\pi i \sum\limits_{k=1}^{n}Res[f(z),z_k]$ 定理證明由復合閉路定理。
極點處的留數：
如果 $z_0$ 為函數 $f(z)$ 的m級級點則：
$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z=z_0}\frac {d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)]$
如果 $z_0$ 為函數 $f(z)$ 的一級級點則:
$Res[f(z),z_0]=\lim_{z=z_0}(z-z_0)f(z)$
上面的知識點分別從函數性質以及數的角度刻畫了復變函數，如果想要更加形象更加直觀的刻畫復變函數毫無疑問必須從集合的角度出發，我們可以從變換和映射的角度去考慮復變函數

復變函數的幾何特性

在研究許多實際問題中，往往會遇到區域的復雜性，給問題的研究帶來困難，那么我們該怎么辦嘞？在空間解析幾何中我們學習過極坐標變換，橢球面變換，球面變換，這都可以簡化問題的難度從而更好的解決問題，在復變函數中我們可以利用解析函數所構成的變換——共形映射來把復雜的問題簡單化
共形映射的概念：
共形映射顧名思義，就是經過映射后能夠保留之前圖形的特性的映射，那么我們如何來描敘原像經過映射后像保留了原像的特性嘞？偉大的數學家們想出了用保持角度不變和伸縮率的不變性（即像與原像的比例）來刻畫“共形”這一精妙絕倫的概念，所謂保角性就是原像中有交與一點A的兩條曲線，這兩條曲線經過映射后任然交于一點，且兩條像曲線過交點的夾角與原像曲線中的夾角一致（注意是一致不是相等，一致包括方向大小一樣）那么就稱這種映射在A是保角的，所謂伸縮率的不變性就是原像經過映射之后像在某一點的長度與原像在某一點的長度的極限值為一個定值與原像無關。綜合以上兩種特性就有了共形映射的概念：
如果 $\omega=f(z)$ 在 $z_0$ 的領域內是一一的，在 $z_0$ 處具有保角性和伸縮率的不變性那么稱映射在 $z_0$ 是共形的如果映射在D的沒一點都共形即原像與像的相對位置保持不變，圖形的比列保持不變則稱 $\omega=f(z)$ 在區域D內是共形的。
解析函數與共形映射：
如果函數 $\omega=f(z)$ 在 $z_0$ 解析且 $f^\prime (z_0)\neq0$ 那么映射 $\omega=f(z)$ 在 $z_0$ 處是共形狀的，如果解析函數的導數處處不為零那么映射在D內是共形映射。
幾個初等函數所構成的映射：
冪函數： $\omega=z^n$ 此映射在將角形域映射成一個角形域，且在z=0處不保角。
指數函數： $\omega=e^z$ 吃映射將X=常數直線映射成圓周，將Y=常數映射成射線，將水平帶形域映射成角形域
研究復變函數的原本目的在于解決實變函數所解決不了的問題或者是簡化實變函數的問題，上面的知識都只是把復變函數的基礎體系建立起來，而Fourier變換和Laplace變換才是把實變函數與復變函數聯系起來的接口

傅里葉變換與拉普拉斯變換

傅里葉變換

我們曾經在數學分析和高等代數中學過Fourier級數，一個以L為周期的函數 $f_L(t)$ ,如果在區間 $[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]$ 上面連續那么在 $[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]$ 上可以展開成傅里葉級數：

$f_L(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_ncosn\omega t+b_nsinn\omega t)$

$\omega=\frac{L}{2\pi}$ , $a_0=\frac L2\int_{-\frac L2}^{\frac L2}f_L(t)dt$ , $a_n=\frac L2\int_{-\frac L2}^{\frac L2}f_L(t)cosn\omega tdt,n=1,2,3,\cdots$ ?

$b_n=\frac L2\int_{-\frac L2}^{\frac L2}f_L(t)sinn\omega tdt,n=1,2,3,\cdots$

由歐拉公式： $cost=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2},sint=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$ 將兩個式子帶入 $f_L(t)$ 可以導出：

$f_L(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in\omega t},c_n=\frac1L\int^{\frac2L}_{-\frac2L}f_L(t)e^{-in\omega t}dt,n=0,\pm1,\pm2,\cdots$

上面研究的是周期函數事實上對于任何一個非周期函數 $f(t)$ 都可以看成是一個由某個周期函數L的函數 $f_L(t)$ 當周期 $L\rightarrow + \infty$ 時候轉化而來的，當 $L\rightarrow +\infty$ 時候可以導出一個等式：

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal{F}[f(t)](\omega)e^{i\omega t}d\omega,\mathcal{F}[f(t)](\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$

$\mathcal F[f(t)](\omega)$ 稱為函數 $f(t)$ 的傅里葉變換， $f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal{F}[f(t)](\omega)e^{i\omega t}d\omega$ 稱為傅里葉逆變換

傅里葉變換的的四個性質：線性性質，位移性質，微分性質，積分性質。

卷積的傅里葉變換：

卷積的定義：設 $f,g$ 定義在 $(-\infty,\infty)$ 上，若任意的 $x\in(-\infty,+\infty)$ ,積分

$\int^{+\infty}_{-\infty}f(y)g(x-y)dy$ 收斂。則稱改積分為函數 $f,g$ 的卷積記為 $f*g$ ,卷積滿足交換律與乘法對加法的分配律

卷積傅里葉定理：

$\mathcal F[f*g](\omega)=\mathcal F[f](\omega)\bullet\mathcal F[g](\omega),\mathcal F^{-1}[\mathcal F[f](\omega)\bullet\mathcal F[g](\omega)](t)=f*g(t)$

拉普拉斯變換：

如果想要求一個函數的傅里葉變換還需要函數在區間上滿足狄氏條件，以及函數在無限區間上絕對可積，但是事實上這個條件很強很多的函數都不滿足，因此傅里葉變換的應用范圍受到的限制很大，為了然積分變換更具一般性，數學家們就引入了一個新的概念Laplace變換，實際上Laplace變換是一種特殊的傅里葉變換，他只不過是把一個不滿足傅里葉條件的函數通過乘上一個衰減因子（使得函數收斂）以及乘上一個躍階函數（控制收斂區間）來使得函數滿足傅里葉變換的條件，然后把經過改造后的函數在實行傅里葉變換于是就得到了Laplace變換的概念：

函數 $f(t)$ 當 $t\geqslant 0$ 時候由定義而且積分 $\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$ 在復數s的某一個區域內收斂則此積分所確定的函數記為 $F(s)=\mathcal L[f(t)](s)=\int^{+\infty}_{0}f(t)e^{-st}dt$ 稱為函數 $f(t)$ 的拉普拉斯變換， $f(t)=\mathcal L^{-1}[F(s)](t)$ 為拉普拉斯逆變換

利用留數求拉普拉斯的逆變換：

其思想大致為將乘以躍階函數與衰減函數之后的改造函數進行傅里葉變換逆變換之后就導出式子：

$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int^{\sigma+i\infty}_{\sigma-i\infty}F(s)e^{st}ds\cdots$ (1)

將 $f(t)$ 的積分區域變成閉曲線積分區域然后將 $f(t)$ 在新的閉曲線積分區域上積分，此時可以將積分分為兩部分，一部分為原有的積分區間積分，另一部分為新增的使得積分區間變成閉曲線的積分曲線的積分，然后在證明第二部分當積分區間趨于無窮時候極限為零，再由函數 $f(t)$ 在簡單閉曲線上的積分等于其奇點的留數值由此我們可以導出式子：

$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int^{\sigma+i\infty}_{\sigma-i\infty}F(s)e^{st}ds=\sum\limits_{k=1}^{n}Res[F(s)e^{st},s_k],s_k為f(t)在閉曲線內部的全部奇點$

Laplace變換的性質：

記 $F(s)=\mathcal L[f(t)](s),G(s)=\mathcal L[g(t)](s)$

線性性質: $\mathcal L[\alpha f(t)+\beta f(t)](s)=\alpha F(s)+\beta G(s)$

? $\mathcal L^{-1}[\alpha F(s)+\beta F(s)](t)=\alpha f(t)+\beta g(t)$

延遲性質：對 $t_0 \gt0$ 有 $\mathcal L[f(t-t_0)](s)=e^{-st_0}F(s)$

? $\mathcal L^{-1}[e^{-st_0}F(s)](t)=f(t-t_0)$

位移性質： $\mathcal L [e^{s_0t}f(t)](s)=F(s-s_0)$

微分性質： $\mathcal L[f^{\prime}(t)](s)=sF(s)-f(0^+)$

? $F^{(n)}(s)=\mathcal L[(-t)^nf(t)](s)$

? $\mathcal L[f^{(n)}](s)=s^nF(S)-s^{n-1}f(0^+)-s^{n-2}f^{\prime}(0^+)-\cdots-f^{n-1}(0^+)$

積分性質： $\mathcal L[\int^t_0f(t)dt](s)=\frac 1sF(s)且若積分\int^{\infty}_sF(s)ds收斂則\frac{f(t)}{t}的拉普拉斯變換存在且\mathcal L[\frac{f(t)}{t}](s)=\int^{\infty}_sF(s)ds$

初值定理:若 $\lim\limits_{s\rightarrow+\infty}sF(s)$ 存在則有 $f(0^+)=\lim\limits_{s\rightarrow+\infty}sF(s)$

卷積定理和傅里葉變換一致。

利用Laplace求變系數線性常微分方程的解

用Laplace變換求變系數微分方程

$ty^{\prime\prime}-(1+t)y^{\prime}+2y=t-1,y(0)=0,y^{\prime}(0)=0$ 的解

解：對微分方程兩邊求拉式變換可得

$\mathcal L[ty^{\prime\prime}]-\mathcal L[(1+t)y^{\prime}]+\mathcal L[2y]=\mathcal L[t-1]$ 令 $\mathcal L[y(t)]=Y(s)$ ,并且利用微分性質可得

$-[s^2Y(s)-sy(0)-y^{\prime}(0)]^{\prime}-sY(s)+y(0)+[sY(s)-y(0)]^{\prime}+2Y(s)=\dfrac{1}{s^2}-\dfrac 1s$

將條件帶入可得：

$-[s^2Y(s)]^{\prime}-sY(s)+[sY(s)]^{\prime}+2Y(s)=\dfrac {1}{s^2}-\dfrac 1s$

方程整理可得：

$Y^{\prime}(s)(s-s^2)+3(1-s)Y(s)=\dfrac {1-s}{s^2}$

可解得： $Y^{\prime}(s)+\dfrac 3sY(s)=\dfrac {1}{s^3},利用一階線性非齊次微分方程公式，得$

$Y(s)=e^{-\int\frac{3}{s}ds}[\int\frac {1}{s^3}e^{\frac 3s}ds+c]=\frac{1}{s^2}+\frac{c}{s^3}$

顯然 $Y(s)只有一個三級極點s=0$

對方程求拉普拉斯逆變換可得：

$y(t)=\sum\limits_{k=1}^{n}Res[Y(s)e^{st},s_k]=Res[Y(s)e^{st},s=0]=\dfrac {1}{2!}\lim\limits_{s\rightarrow0}\dfrac{d^2}{ds^2}[\dfrac {1}{s^2}+\dfrac {c}{s^3}]e^{st}(s-0)^3=t+\dfrac c2t^2$