動態規劃

動態規劃與貪心法的關系

基本歸納法：對于A_{i+1} ，只需要考察前一個狀態A_{i} 即可完成整個推理過程，它的特點是只要狀態A_{i} 確定，則計算A_{i+1} 時不需要考察更前序的狀態，我們將這一模型稱之為馬爾科夫模型

基本歸納法

高階歸納法：相應的，對于A_{i+1} ，需要考察前i個狀態集{{x_{1}，x_{2}，x_{3}......x_{i} }}才能完成整個推理過程，往往稱之為高階馬爾科夫模型

高階歸納法

在計算機算法中，高階馬爾科夫模型的推理，叫做“動態規劃”，而馬爾科夫模型的推理，對應“貪心法”。


最長遞增子序列LIS

? ? 給定長度為N的數組A，計算A的最長的單調遞增的子序列（不一定連續）

? ? 如：給定數組A{5,6,7,1,2,8}，則A的LIS為{5,6,7,8}，長度為4

? ? ? ? 長度為N的數組記為A={a_{0}, a_{1}, a_{2}...... a_{n-1}}

? ? ? ? 記A的前i個字符構成的前綴串為A_{i}=a_{0}, a_{1}, a_{2}...... a_{n-1} ，以a_{i} 結尾的最長遞增子序列記為L_{i} ，其長度為b[i]；

? ? ? ? 假定已經計算得到了b[0,1,......,i-1]，如何計算b[i]?

? ? ? ? ? ? 已知L_{0} L_{1} ......L_{i-1} 的前提下如何求L_{i}

? ? ? ? ? ? ? ? 根據定義，L_{i}必須以a_{i}結尾；

? ? ? ? ? ? ? ? 如果將a_{i}分別綴到L的后面，是否允許呢？

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如果a_{i}\geq a_{j} ，則可以將a_{i}綴到L_{j}后面，得到比L_{j}更長的字符串

? ? ? ? ? ? ? ? 從而：b[i]={max(b[j]+1,0<=j<i且a_{j}<=a_{i})}

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 計算b[i]：遍歷在i之前的所有位置j，找出滿足條件a_{j}\leq a{i}的最大的b[j]+1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 計算得到b[0......n-1]后遍歷b[i]，找出最大值即為最大遞增子序列的長度。

? ? 時間復雜度為O（n^2）


O(NlogN)的最長遞增子序列算法（貪心法）

? ? 對于數組A={1,4,5,2,8,9,7}

? ? 將A中的數字依次遍歷做壓棧操作，當遇到數組中的數字比棧中某個數字大，比某個數字小的情況下，進行替換操作，最后棧中數字個數即為最大遞增子序列的長度。

貪心法


? ? 股票最大收益

? ? ? ? 給定數組A[0......N-1]，其中A[i]表示某股票第i天的價格。如果允許最多只進行一次交易（先買一次，再賣一次），請計算合適買賣達到最大收益，返回最大收益值。

? ? ? ? 如：[7,1,5,3,6,4]，則最大收益為6-1=5

? ? ? ? 如：[7,6,4,3,1]，則最大收益為0

? ? ? ? ? ? ? ? 一路下跌，則最好的方法是不進行交易。

解法


? ???????給定數組A[0......N-1]，其中A[i]表示某股票第i天的價格。如果允許最多只進行K次交易（先買一次，再賣一次，算一次交易），請計算合適買賣達到最大收益，返回最大收益值。

? ? ? ? ? ? 規定買賣不能嵌套，及買入后要先賣出才可再買

? ? ? ? ? ? 如：A=[7,1,5,3,6,4]，k=3，則在1,3處買入，5,6處賣出，最大收益為7

? ? ? ? ?分析：

? ? ? ? ? ? dp[k,i]表示最多k次交易在第i天的最大收益。

? ? ? ? ? ? 在第i天，有倆種選擇：要么賣出股票，要不賣出股票，從而得到狀態轉移方程。

狀態轉移方程
核心代碼

? ? ? ? ? ? 進一部分析

狀態轉移方程轉變

? ? ? ? ? ? ? ??

核心代碼



? ? 任務安排

? ? ? ? 給定一臺有m個存儲空間的單進程機器，現有n個請求：第i個請求計算時需要占用R[i]個空間，計算完成后，存儲計算結果需要占用O[i]個空間（其中O[i]<R[i]）。問如何安排這n個請求的順序，使得所有請求都能完成。

? ? ? ? 如：m=14，n=2，R[1,2]=[10,8]，o[1,2]=[5,6]?？梢韵冗\行第一個任務，計算時占用10個空間，計算完成后占用5個空間，剩余9個空間執行第二個任務；單如果先運行第二個任務，則計算完成后僅剩余8個空間，第一個任務的計算空間就不夠了。

? ? ? ? 算法分析：

? ? ? ? ? ? 第K個任務的計算占用空間加上前面k-1個任務空間占用量之和，越小越好。從而：

算法分析

? ? ? ? ? ? 得：將按照R[i]-O[i]降序排列即可


? ? 操作最小次數

? ? ? ? 變量x從1開始變化，規則是：要么變成x+1，要么變成2*x，問：若想將x變成整數2015，最少需要多少次變化？

? ? ? ? 一種可行的操作變化：

? ? ? ? 1,2,3,6,7,14,15,30,31,62,124,125,250,251,502,503,1006,1007,2014,2015

? ? ? ? ? ? 如何思考：

? ? ? ? 任何一個數字都可以，如：20161006

? ? ? ? 1001100111010000111101110

二進制操作

? ? ? ? 設dp(n)表示從1到n的最少操作數

? ? ? ? ? ? 若n為奇數，則n的前一步只能是n-1

? ? ? ? ? ? 若n為偶數，則n的前一步是n-1和n/2的操作步數的小者

n是如何得到

? ? ? ? ? ? ? ??

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