分治限界法

以下均轉(zhuǎn)載于：五大常用算法-分支界限,加入了一些我自己的想法

1.基本描述

類(lèi)似于回溯法，也是一種在問(wèn)題的解空間樹(shù)T上搜索問(wèn)題解的算法。但在一般情況下，分支限界法與回溯法的求解目標(biāo)不同。回溯法的求解目標(biāo)是找出T中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出使某一目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到極大或極小的解，即在某種意義下的最優(yōu)解。

分支搜索算法

所謂“分支”就是采用廣度優(yōu)先的策略，依次搜索E-結(jié)點(diǎn)的所有分支，也就是所有相鄰結(jié)點(diǎn)，拋棄不滿足約束條件的結(jié)點(diǎn)，其余結(jié)點(diǎn)加入活結(jié)點(diǎn)表。然后從表中選擇一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)E-結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)搜索。
選擇下一個(gè)E-結(jié)點(diǎn)的方式不同，則會(huì)有幾種不同的分支搜索方式。
1.FIFO搜索
2.LIFO搜索
3.優(yōu)先隊(duì)列式搜索

2.分支限界法的一般過(guò)程

由于求解目標(biāo)不同，導(dǎo)致分支限界法與回溯法在解空間樹(shù)T上的搜索方式也不相同。回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)T，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)T。

1.分支限界法的搜索策略是：
在擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處，先生成其所有的兒子結(jié)點(diǎn)（分支），然后再?gòu)漠?dāng)前的活結(jié)點(diǎn)表中選擇下一個(gè)擴(kuò)展對(duì)點(diǎn)。為了有效地選擇下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，以加速搜索的進(jìn)程，在每一活結(jié)點(diǎn)處，計(jì)算一個(gè)函數(shù)值（限界），并根據(jù)這些已計(jì)算出的函數(shù)值，從當(dāng)前活結(jié)點(diǎn)表中選擇一個(gè)最有利的結(jié)點(diǎn)作為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，使搜索朝著解空間樹(shù)上有最優(yōu)解的分支推進(jìn)，以便盡快地找出一個(gè)最優(yōu)解

2.分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問(wèn)題的解空間樹(shù)。
問(wèn)題的解空間樹(shù)是表示問(wèn)題解空間的一棵有序樹(shù)，常見(jiàn)的有子集樹(shù)和排列樹(shù)。在搜索問(wèn)題的解空間樹(shù)時(shí)，分支限界法與回溯法對(duì)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所使用的擴(kuò)展方式不同。在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。活結(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，那些導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被子加入活結(jié)點(diǎn)表中。此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一直持續(xù)到找到所求的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。

3.回溯法和分支界限法的一些區(qū)別

回溯法和分支限界法的一些區(qū)別：

  1. 方法對(duì)解空間樹(shù)的搜索方式
  2. 存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)的常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
  3. 結(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)特性常用應(yīng)用
  4. 回溯法深度優(yōu)先搜索堆棧活結(jié)點(diǎn)的所有可行子結(jié)點(diǎn)被遍歷后才被從棧中彈出找出滿足約束條件的所有解
  5. 分支限界法廣度優(yōu)先或最小消耗優(yōu)先搜索隊(duì)列、優(yōu)先隊(duì)列每個(gè)結(jié)點(diǎn)只有一次成為活結(jié)點(diǎn)的機(jī)會(huì)找出滿足約束條件的一個(gè)解或特定意義下的最優(yōu)解

4.舉個(gè)例子

還是上文回溯算法中的例子，給定一組數(shù)組nums，再給定一個(gè)目標(biāo)值target,找出集合nums的所有子集使其之和剛好為目標(biāo)值，nums中的數(shù)只能使用一次。不過(guò)我們稍作修改，現(xiàn)在只需要找到一個(gè)子集即可。雖然這個(gè)例子不算優(yōu)化問(wèn)題，但是卻很好的展示了只要滿足條件即可。

下面按照思路進(jìn)行求解。

4.1構(gòu)造解空間樹(shù)

這里和回溯算法中解空間樹(shù)其實(shí)相同，我們采用子集樹(shù)

4.2確定搜索方式

這里我使用的FIFO的隊(duì)列形式，使用該隊(duì)列維護(hù)一張活節(jié)點(diǎn)表，隊(duì)首為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。

4.3利用剪枝函數(shù)進(jìn)行界限分割

假定我們給出的數(shù)組為nums = {1,1,2,3,4,5,6},target=9,那么現(xiàn)在有一種情況是1+1+2=4,當(dāng)前節(jié)點(diǎn)為第3層（從第0層開(kāi)始），那么其左子樹(shù)則為1+1+2+3=7滿足條件，那么需不需要進(jìn)入其右子樹(shù)呢？其右子樹(shù)表示為1+1+2+0+xxx,即不加入第3層，下面還有3層為4,5,6。計(jì)算上界為1+1+2+4+5+6>9的，這樣說(shuō)明第3層的右子樹(shù)可能存在解，我們需要遍歷，但是考慮另一種情況，如果我把nums改為{1,1,2,3,1,1,1},則右子樹(shù)上界為1+1+2+0+1+1+1=7<9,顯然就算下面所有都加完，都不能達(dá)到9，不需要搜索右子樹(shù)。

以圖的形式再次說(shuō)明


image.png

下面是整體代碼

import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;

public class Main {
    /**
     * 分支限界法
     */
    static int[] nums = {1,1,2,3,4,5,6};
    static int target = 9;
    static int n = nums.length;
    public static void main(String[] args) {
        solve();
    }

    private static void solve() {
        boolean[] currentX = new boolean[n];
        //這里采用FIFO隊(duì)列存儲(chǔ)活節(jié)點(diǎn)
        Queue<Node> queue = new LinkedList<Node>();
        int i = 0;
        int currentValue = 0;
        int up;

        do {
            //檢查左子樹(shù)可行性
            if(currentValue+nums[i] < target) {
                //進(jìn)入左子樹(shù)
                currentX[i] = true;
                queue.add(new Node(currentX.clone(),currentValue+nums[i] ,i+1));
            }else if (currentValue+nums[i]  == target) {
                //如果產(chǎn)生可行解
                currentX[i] = true;
                System.out.println(Arrays.toString(currentX));
                break;
            }
            up = bound(i);
            if(currentValue+up >= target) {
                //進(jìn)入右子樹(shù)
                currentX[i] = false;
                queue.add(new Node(currentX.clone(),currentValue,i+1));
            }
            //取得擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)
            Node currentNode = queue.poll();

            currentX = currentNode.x;
            currentValue = currentNode.vlaue;
            i = currentNode.level;
        }while(!queue.isEmpty());
    }

    private static class Node{
        boolean[] x;//用于恢復(fù)現(xiàn)場(chǎng)，記錄其父節(jié)點(diǎn)及其以上加入情況
        int vlaue;//當(dāng)前累加值
        int level;//當(dāng)前是第幾層
        public Node(boolean x[],int vlaue, int level) {
            super();
            this.x = x;
            this.vlaue = vlaue;
            this.level = level;
        }

    }

    //剪枝函數(shù)
    private static int bound(int i) {
        int sum = 0;
        i++;
        for(;i<n;i++) {
            sum+=nums[i];
        }
        return sum;
    }
}

運(yùn)行結(jié)果如下：

[true, true, false, true, true, false, false]

即：1+1+3+4=9

下面在給出0-1背包問(wèn)題的分支限界解法。
0-1背包問(wèn)題：給定一些物品，每個(gè)物品均有其價(jià)格和重量，現(xiàn)有一個(gè)有限容量的背包，問(wèn)如何選擇物品才能使得所獲價(jià)值最大，物品不能分塊裝。

物品:
weight = {2, 2, 6, 5, 4};
value = {6, 3, 5, 4, 6};
容量:
c = 10;

代碼如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;

public class Main {
    /**
     * 分支界限法，解決0-1背包問(wèn)題
     */

    static int bestValue = 0;
    static int[] weight = {2, 2, 6, 5, 4};
    static int[] value = {6, 3, 5, 4, 6};
    static int c = 10;
    static int n = weight.length;
    static boolean[] bestX = new boolean[n];

    public static void main(String[] args) {
        //對(duì)物品進(jìn)行按照性?xún)r(jià)比預(yù)排序，因?yàn)榭偸瞧谕詢(xún)r(jià)比高的先存放（當(dāng)然也可以自定義規(guī)則）
        int[] oldIndex = selSort();
        solve();
        //恢復(fù)原序列
        boolean[] realX = new boolean[n];
        int valueS =0;
        for (int i = 0; i < bestX.length; i++) {
            realX[oldIndex[i]] = bestX[i];
            if(bestX[i]){
                valueS+=value[i];
            }
        }
        System.out.println(Arrays.toString(realX));
        System.out.println("vlaue:"+valueS);
    }

    /*
     * 使用簡(jiǎn)單選擇排序，數(shù)據(jù)量大時(shí)可選擇快速排序，堆排，歸并排序等高效排序算法
     */
    private static int[] selSort() {
        float[] p = new float[weight.length];
        int[] oldeIndex = new int[p.length];
        for (int i = 0; i < p.length; i++) {
            p[i] = (float) value[i] / weight[i];
            oldeIndex[i] = i;
        }
        //用來(lái)存儲(chǔ)排序后，元素在原來(lái)數(shù)組中的位置，方便后續(xù)恢復(fù)信息,不要求按原數(shù)組輸出可不用這一步

        for (int i = 0; i < p.length - 1; i++) {
            for (int j = i + 1; j < p.length; j++) {
                if (p[i] < p[j]) {
                    float tempP = p[i];
                    p[i] = p[j];
                    p[j] = tempP;

                    int tempW = weight[i];
                    weight[i] = weight[j];
                    weight[j] = tempW;

                    int tempV = value[i];
                    value[i] = value[j];
                    value[j] = tempV;

                    int tempI = oldeIndex[i];
                    oldeIndex[i] = oldeIndex[j];
                    oldeIndex[j] = tempI;
                }
            }
        }
        return oldeIndex;
    }

    private static void solve() {
        int i = 0;
        int currentValue = 0;
        int currentWeight = 0;
        boolean[] currentX = new boolean[weight.length];
        //申請(qǐng)活節(jié)點(diǎn)FIFO隊(duì)列
        Queue<Node> queue = new LinkedList<Node>();

        do {
            //判定左子樹(shù)可行性
            if (currentWeight + weight[i] <= c) {
                currentX[i] = true;
                queue.add(new Node(currentX.clone(), currentValue + value[i], currentWeight + weight[i], i + 1));
                //判斷是否需要更新最優(yōu)解
                if (currentValue + value[i] > bestValue) {
                    bestValue = currentValue + value[i];
                    bestX = currentX.clone();
                }
            }
            //計(jì)算上界
            if (currentValue + bound(i, currentWeight) >= bestValue) {
                //可以進(jìn)入右子樹(shù)
                currentX[i] = false;
                queue.add(new Node(currentX.clone(), currentValue, currentWeight, i + 1));
            }
            //更新擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)
            Node currrentNode = queue.poll();
            currentValue = currrentNode.currentValue;
            currentWeight = currrentNode.currentWeight;
            currentX = currrentNode.x;
            i = currrentNode.level;
        } while (!queue.isEmpty() && i != n);
    }

    private static float bound(int i, int currentWeight) {
        i++;
        float p = 0;
        while (currentWeight <= c && i < n) {
            p += value[i];
            currentWeight += weight[i];
        }
        if (i < n) {
            //刪除多裝的一個(gè)
            p -= value[i];
            currentWeight -= weight[i];
            p += (c - currentWeight) * ((float) (value[i]) / (weight[i]));
        }
        return p;
    }

    private static class Node {
        boolean[] x;//保存背包中以存放的物品信息
        int currentValue;
        int currentWeight;
        int level;

        public Node(boolean[] x, int currentValue, int currentWeight, int level) {
            this.x = x;
            this.currentValue = currentValue;
            this.currentWeight = currentWeight;
            this.level = level;
        }
    }
}

執(zhí)行結(jié)果:

[true, true, false, false, true]
vlaue:15
即：第1,2,5個(gè)物品，價(jià)值6+3+6=15，重量2+2+4 = 8
最后編輯于 ：
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