1.轉(zhuǎn)自：離散余弦變換(DCT)的定義_小火車_新浪博客
已知離散傅里葉變換（DFT）為：
由于許多要處理的信號都是實信號，在使用DFT時由于傅里葉變換時由于實信號傅立葉變換的共軛對稱性導致DFT后在頻域中有一半的數(shù)據(jù)冗余。
離散余弦變換（DCT）是對實信號定義的一種變換，變換后在頻域中得到的也是一個實信號，相比DFT而言,DCT可以減少一半以上的計算。DCT還有一個很重要的性質(zhì)（能量集中特性）：大多書自然信號（聲音、圖像）的能量都集中在離散余弦變換后的低頻部分，因而DCT在（聲音、圖像）數(shù)據(jù)壓縮中得到了廣泛的使用。由于DCT是從DFT推導出來的另一種變換，因此許多DFT的屬性在DCT中仍然是保留下來的。
推導N點長實序列的DCT，首先來定義一個新的長度為2N的序列：
可看作是將周期為N的序列x[m]做一個周期延拓成一個周期為2N的序列。如圖1中第一張圖。
再來看圖1中第一張圖是關(guān)于x = -1/2對稱的，要讓他關(guān)于x = 0對稱需要將其向右平移1/2個單位，得到x’[m] = x’[m – 1/2]就是關(guān)于x = 0對稱的周期序列了（如圖1中第二張圖）。
然后求這個2N序列的DFT：
就是DCT-2型離散余弦變換.從上面的過程也可以直接看出,離散余弦變換相當于一個長度大概是它兩倍的離散傅里葉變換.
變換后的x[n]是以2N為周期,偶對稱的序列: X[N+n] = X[N+n-2N] = X[n-N] = x[N-n]
定義變換矩陣C[n,m]:
用計算機計算DCT-2 (用的是O(n^2)樸素算法，用于驗證正交特性以及觀察其頻域數(shù)據(jù))：
DCT的結(jié)果：
對相同序列FFT的結(jié)果：
比較DFT和FFT的結(jié)果可以觀察出DCT變換只有實部，而DFT變換后有虛部。在這個例子中DCT在頻域中只用3個點就可以表示這個信號，而DFT變換后在頻域中需要5個點來表示信號。
參考：http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/dct/node1.html
2.轉(zhuǎn)自：二維DCT變換 - Wuyuan's Blog
寫這篇文章的目的主要是為了給x264打好基礎(chǔ)，x264用的是整數(shù)DCT變換，所以就先來說說DCT變換吧。
DCT(Discrete Cosine Transform)，又叫離散余弦變換，它的第二種類型，經(jīng)常用于信號和圖像數(shù)據(jù)的壓縮。經(jīng)過DCT變換后的數(shù)據(jù)能量非常集中，一般只有左上角的數(shù)值是非零的，也就是能量都集中在離散余弦變換后的直流和低頻部分，下面我會用matlab來演示整個過程。
我們首先來看看一維的DCT變換，這是二維的基礎(chǔ)。一維的DCT變換共有8種，其中最實用的是第二種形式，公式如下：
其中c(u)是加上去一個系數(shù)，為了能使DCT變換矩陣成為正交矩陣，在后面二維變換將看到他的作用。N是f(x)的總數(shù)。相比其他幾種形式，他的運算還是比較簡單的，因此也用的比較廣。
二維DCT變換是在一維的基礎(chǔ)上再進行一次DCT變換，這個比較好理解，直接看公式：
這里我只討論兩個N相等的情況，也就是數(shù)據(jù)是方陣的形式，在實際應(yīng)用中對不是方陣的數(shù)據(jù)都是先補齊再進行變換的。為了matlab仿真方便點，寫成矩陣形式：
下面就用matlab來模擬一下，使用隨機生成的4x4矩陣作為輸入，程序如下：
Y是使用上面的公式進行變換，YY是用matlab自帶的dct2函數(shù)變換，結(jié)果是是：
可以看出Y和YY的結(jié)果是一樣的，這也進一步驗證了上面的公式是正確的。由于X是我隨機生成的，相關(guān)性很小，變換后的結(jié)果比較亂；如果是信號或圖像這樣相關(guān)性比較大的數(shù)據(jù)的話，數(shù)值會集中在左上角，右下角一般都是零，再使用“之”字型掃描得到數(shù)據(jù)流會包含很多連續(xù)的零，編碼后數(shù)據(jù)量會非常小，這就是DCT變換帶來的好處。
DCT逆變換的公式如下：
矩陣形式可以由正變換的公式直接推出來，因為在A中加了c(i)這個系數(shù)，使得A成為了正交矩陣，所以我們就可以這樣做：
在用matlab來驗證是否能反變換出原來的數(shù)據(jù)：
X使用的是上面正變換用的數(shù)據(jù)，運行后得到的X1為：
X1=
61.000019.000050.000020.0000
82.000026.000061.000045.0000
89.000090.000082.000043.0000
93.000059.000053.000097.0000
和X完全相等。在實際進行編碼的時候，比如JPEG壓縮的時候，只會對Y左上角的數(shù)據(jù)進行傳輸，所以解碼出來的內(nèi)容不會完全和原來的相同。
說道DCT就順便提一下x264中的整數(shù)DCT變換，整數(shù)DCT變換是以DCT變換為基礎(chǔ)的，為了減少計算量做的一些調(diào)整，下面我寫一下整數(shù)DCT變換公式的大致推導過程：
然后根據(jù)A是正交矩陣，把c=bd帶入A中，使行向量為單位向量可以得到d=0.4142。令d=0.5，得到b*b=0.4,代入上面的式子中，把0.5提取出來放到右邊的點乘中就得到了：
這樣在對大括號部分進行計算時就都是加法和減法了，而且在精度上沒有太大降低。在x264實際編碼中，變換和量化是一起進行的，使得編碼速度有了很大的提高。
