任意小的空間并不存在，空間的可分性有個下限，它雖然是非常小的尺度，但確實存在。這就是馬特維·布朗斯坦在20世紀30年代憑直覺領悟到的。體積譜與面積譜的計算證實了布朗斯坦的想法，并且用精確的數(shù)學形式表達出來。
阿喀琉斯不需要跑無窮多步才能追上烏龜，因為在有限大小的微粒組成的空間中，無窮小的步子并不存在。英雄會離烏龜越來越近，最終以一次量子飛躍趕上它。
最近在讀卡洛·羅韋利的《現(xiàn)實不似你所見》，其中提及了芝諾悖論中經典的龜兔追及問題（阿喀琉斯悖論）。這個悖論很多人都熟悉，大概意思是：烏龜領先兔子一段距離——假設是 100 米——兩者開始向同一方向起跑，每當兔子跑到烏龜起先的位置時，烏龜總是又會跑出去一段距離。例如一開始兔子要跑 100 米到達烏龜?shù)奈恢茫藭r無論烏龜多慢，總會跑一段距離，假設為 5 米，之后兔子必須再跑 5 米才能到達烏龜?shù)奈恢茫@時無論烏龜多慢，又總會跑一段距離。如此下去，兔子只可能會無限接近烏龜，卻不可能超過它。
猶記得中學晚自習和同桌討論這個問題時，被班主任叫出去談話的情景。
《現(xiàn)實不似你所見》是一本介紹量子引力的科普書，此文并不是對本書的閱讀心得體會，只是突然由以上悖論產生了一些想法，記錄一下。盡管現(xiàn)在已經知道微積分的思想可以解釋這個現(xiàn)象，但其實我心里對該悖論并不釋然，依然不能從邏輯上很好地說服自己接受它。然而順著這個悖論的思路推下去，卻很容易產生新的悖論。
我們先把烏龜和兔子的位置換一下。由于兔子跑得快，當烏龜只跑了很小一段距離時，比如 5 米，按我們的例子，兔子已經跑出去 100 米了。這樣一來，當烏龜跑完這 100 米時，兔子早已跑出 2000 米。它們之間的距離必然會越拉越大。
接下來引入第三個角色：小馬。它比兔子跑得還快。
問題出在，當我們讓小馬和烏龜賽跑時，會產生和兔子一樣的效果——烏龜在前面時，小馬永遠追不上烏龜；烏龜在后面時，小馬會遠遠地甩開烏龜。如若把小馬放在中間會怎樣？
觀察兔子和小馬的關系會發(fā)現(xiàn)，兔子剛剛跑很小的距離后，小馬會遠遠地拉開和兔子的距離。再觀察小馬和烏龜?shù)年P系會發(fā)現(xiàn)，小馬跑到了烏龜?shù)奈恢煤螅瑸觚斢滞芭芰艘恍●R永遠追不上烏龜。這樣一來，在最開始的兔子和烏龜之間多了一匹小馬，它會永遠追不上烏龜卻離兔子越來越遠。那么，兔子和烏龜?shù)木嚯x究竟是什么關系呢？
