關于阿喀琉斯悖論的一點感想

任意小的空間并不存在,空間的可分性有個下限,它雖然是非常小的尺度,但確實存在。這就是馬特維·布朗斯坦在20世紀30年代憑直覺領悟到的。體積譜與面積譜的計算證實了布朗斯坦的想法,并且用精確的數(shù)學形式表達出來。

阿喀琉斯不需要跑無窮多步才能追上烏龜,因為在有限大小的微粒組成的空間中,無窮小的步子并不存在。英雄會離烏龜越來越近,最終以一次量子飛躍趕上它。

最近在讀卡洛·羅韋利的《現(xiàn)實不似你所見》,其中提及了芝諾悖論中經典的龜兔追及問題(阿喀琉斯悖論)。這個悖論很多人都熟悉,大概意思是:烏龜領先兔子一段距離——假設是 100 米——兩者開始向同一方向起跑,每當兔子跑到烏龜起先的位置時,烏龜總是又會跑出去一段距離。例如一開始兔子要跑 100 米到達烏龜?shù)奈恢茫藭r無論烏龜多慢,總會跑一段距離,假設為 5 米,之后兔子必須再跑 5 米才能到達烏龜?shù)奈恢茫@時無論烏龜多慢,又總會跑一段距離。如此下去,兔子只可能會無限接近烏龜,卻不可能超過它。

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猶記得中學晚自習和同桌討論這個問題時,被班主任叫出去談話的情景。

《現(xiàn)實不似你所見》是一本介紹量子引力的科普書,此文并不是對本書的閱讀心得體會,只是突然由以上悖論產生了一些想法,記錄一下。盡管現(xiàn)在已經知道微積分的思想可以解釋這個現(xiàn)象,但其實我心里對該悖論并不釋然,依然不能從邏輯上很好地說服自己接受它。然而順著這個悖論的思路推下去,卻很容易產生新的悖論。

我們先把烏龜和兔子的位置換一下。由于兔子跑得快,當烏龜只跑了很小一段距離時,比如 5 米,按我們的例子,兔子已經跑出去 100 米了。這樣一來,當烏龜跑完這 100 米時,兔子早已跑出 2000 米。它們之間的距離必然會越拉越大。

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接下來引入第三個角色:小馬。它比兔子跑得還快。

問題出在,當我們讓小馬和烏龜賽跑時,會產生和兔子一樣的效果——烏龜在前面時,小馬永遠追不上烏龜;烏龜在后面時,小馬會遠遠地甩開烏龜。如若把小馬放在中間會怎樣?

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觀察兔子和小馬的關系會發(fā)現(xiàn),兔子剛剛跑很小的距離后,小馬會遠遠地拉開和兔子的距離。再觀察小馬和烏龜?shù)年P系會發(fā)現(xiàn),小馬跑到了烏龜?shù)奈恢煤螅瑸觚斢滞芭芰艘恍●R永遠追不上烏龜。這樣一來,在最開始的兔子和烏龜之間多了一匹小馬,它會永遠追不上烏龜卻離兔子越來越遠。那么,兔子和烏龜?shù)木嚯x究竟是什么關系呢?

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