我們由自然數出發：1，2，3，...

1是1，2是2，3是3，...

記為：1=1，2=2，3=3，...

現在引入一種運算：加法，

使：1+1=2，2+1=3，...

現在引入一種逆運算：減法，

使：...，3-1=2，2-1=1，...

這里出現一個問題：1-1=？

記：1-1=0，將自然數域擴展為整數域，...

我們發現，如果不定義運算符，+，我們無法獲得無限大的自然數概念，如果不定義運算符，-，我們無法獲得零和負數的概念。

1，2，3，...可看作是有確定所指的名詞，好像“蘇格拉底”，“白馬”，...

單純考慮名詞的集合，如："1,2,3"，我們無法達到超出1，2，3，...的知識，只能是：1是1，2是2，3是3，...式的同義反復。

運算：+，-是施加于名詞（指稱事物）的操作，動作。這種操作可以是人的主觀規定，也可以是人對事物關系（事物因運動變化而具有關系）的表示。

數與數因運算聯系起來，構成算數系統而具有某種結構。我們由+，-兩種最簡單的運算開始討論。

+把所有自然數都聯系起來，任何兩個自然數做加法都是合法的，仍然是自然數（封閉性）。但任何兩個自然數做減法則不一定合法，1-1=？

在對數字玩弄減法之前，我們很難想像零和負整數。但當面對1-1=？這樣的問題時，我們就發現了“新”對象“零”，繼續玩弄數字0-1=？于是我們就發現了負整數。...于是我們把自然數擴展為整數。這樣就保證了減法運算的封閉性，我們說我們的知識因此而獲得增長。

現在的問題是：關于整數的知識是否本質地蘊含于關于自然數的知識內？

如果不定義+，我們是無法由有限的自然數1，2，3認識到任意大自然數的。如果不定義-，我們是無法認識到0和負整數的。我們的認識超越自然數的能力并非來自其自身，而在于我們能夠玩弄數字。

類似地，我們可以繼續定義乘法：2x3=2+2+2=6，...，乘法在整數域上滿足封閉性。我們可定義乘法的逆運算除法，任意兩個整數相除可以不是整數，除法在整數域上是不封閉的。我們將整數域擴展為有理數域，除法在有理數域上滿足封閉性。

我們可繼續定義乘方：2^2=2x2，3^2=3x3....，乘方在有理數域上是封閉的。但乘方的逆運算開方在有理數域上則是不封閉的，如sqrt(2)無法表示為兩整數之比，我們需進一步將有理數域擴展為實數域，才可使得對任意正有理數的開方有所指。

需要指出的是由"1,2,3"擴展到自然數是本質的飛躍，而由有理數擴展到實數是另一個本質的飛躍。由"1,2,3"到自然數是由有限到無限的飛躍，而由有理數到實數則是可數的無限到不可數的無限的飛躍。

總之我們通過對有限對象進行有限步驟的推理就獲得了關于實數（不可數的無限）的知識。

因 此關于操作或運算的研究就是非常重要的，玩弄數字使我們獲得關于數學的新知識。用語言來類比數學，語言活動正是對名詞和概念的玩弄。雖然話總是一句一句說 的，但因謂詞的存在，語言就有了玩弄名詞和概念的能力，有限句話就能有表達屬于無限對象的能力。表達能力意味著把握知識的能力，這意味著當我們陷入某種語 言困境時，正是我們獲得新知識的好機會。

大膽地玩弄語言，就像我們玩弄數字一樣。