偏序關系

前言：到了二元關系中最后一部分，非常非常抽象，但是理解了就還好，我們一步一步來

0X00 「偏序關系」的基本定義

我們先回到最初的定義：

假設 R 是集合 A 上的關系，如果R是自反的、反對稱的和傳遞的，則稱 R 是 A 上的一個偏序，記做 \leqslant 。設 \leqslant 為偏序關系，如果 <x, y> \in \leqslant，則記做 x \leqslant y，讀作 x 小于等于 y。

這個非常抽象，我們舉個例子：

假設我們有這樣的集合 A = \{1, 2, 3\} R 是 A 上的小于等于關系也就是 R = \{<x, y>| x ,y \in A \wedge x \leq y\}

所以 R = \{<1, 2>, <2, 3>, <1, 3>, <1, 1>, <2, 2>, <3, 3>\}

我們畫出他的關系圖：

顯然他是自反的（環）、反對稱的（無雙向邊）、傳遞的

不知道大家看到這里的大家有沒有理解到偏序關系的本質：

偏序關系定義了一種方向，只能正著，反證就不行！

比如這里的小于等于就是只有一種方向，可以 1 \leq 2 就不能 2 \leq 1

至此，我們引出下一個定義可比：

存在這種偏序關系的就叫做可比

由于這種順序結構，我們可以用哈斯圖來表示偏序關系

假設 A = \{1, 2, 3\}, \leqslant 是 A 上的「小于等于」關系，則有

\leqslant \ = \{<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <1, 1>, <2, 2>, <3, 3>\}

畫出哈斯圖：

這種自底向上的圖就是哈斯圖

0X01 「偏序集」的基本定義

理解了偏序關系的基本定義以后，我們就很容易理解偏序集

我們把集合 A 和 A 上的偏序關系 \leqslant 一起稱作偏序集，記做<A, \leqslant>

0X02 「偏序集」中的特殊元素

最小元和最大元

我們看到這張圖片，最大元就是 a, b, c\ 最小元就是 \emptyset

所以直觀來說最大元 就是“最大”的那個，在哈斯圖中最上面的

相反最小元就是“最小”的那個，在哈斯圖圖中最小的

而在這張圖中：

而這張圖就不存在最大元只存在最小元因為 11 9 12 8 10 7 之間就不可比

極小元與極大元

搞清楚了最大元和最小元，我們繼續，還是回到這張圖上：

里面的極大元是 11 9 12 8 10 7，極小元只有 1。

極大元的意思就是在可比的那一條鏈中最大的，極小元的意思就是在可比的那一條鏈中最小的

上界與下界

之前的概念只在一個集合中，而談到上下界就必須涉及到兩個集合了，現在我們給出定義：

設 <A, \leqslant> 為偏序集，B \subseteq A, y \in A

  • 若 \forall x (x \in B \rightarrow x \leqslant y) 則 y 是 B 的上界
  • 若 \forall x(x \in B \rightarrow y \leqslant x) 則 y 是 B 的下界

假設 A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\ B = \{2, 3, 6\} ，定義了一個偏序關系并有以下哈斯圖：

則 B 的上界就是 \6, 12\

由于 2, 3 之間不可比，所以B 的下界只有 1

上確界與下確界

如果能夠理解上界和下界的話，上確界與下確界就更好理解了，簡單來說

  • 上確界就是上界中“最小”的那個
  • 下確界就是下界中“最大”的那個

還是上面那個例子，B 的上界是 6, 12, 其中“最小”的就是 6。所以 B 的上確界就是 6。

反之 B 的下確界就是 1。

二元關系就結束了。。。

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