前言及實現

本文說的對角最大化不是傳統意義上的"對角占優"！更像是一級一級分解下的對角最大化。多說無益，描述一個例子即可明白：

有這樣一個矩陣：

都一步：找出所有元素中絕對值最大的，是11，它在(2,4)的位置。把11換到的位置：第1行與第2行交換，第1列與第4列交換。得到：

第二步：第一對角元素最大化搞定后，不再看第1行和第1列(從視線上劃去)，從剩下的第2行第2列及以后看起。重復第一步操作：找到絕對值最大的是10(有重復就選最后一個)，它在(3,4)。把10換到的位置：第2行與第3行換，第2列與第4列換。得到：

第三步：同理，從第3行第3列及以后看起。絕對值最大的是8，它在(4,3)。把8換到的位置：第3行與第4行換，第3列與第3列換(只是為了保持操作一致而已，好編程)。得到：

還剩最后一個，就不動了。示例的操作就此結束。下面用matlab編程實現一下：

A = [10 -1 2 0;-1 3 -1 11;10 -1 2 -1;0 3 8 -1];

% 獲取系數矩陣的尺寸
[row,col] = size(A);

flag = 1;
while 1
    Atmp = abs(A);  % 對Atmp的搜索范圍隨著flag增大而減小
    [maxrow,maxcol] = find( Atmp == max(max(Atmp(flag:row,flag:col))) ); % 絕對值最大值坐標
    maxrow = maxrow(end);
    maxcol = maxcol(end);  % 會有多個相同最大值的情況, 統一取最后一個
    % 換行:  
    A([flag maxrow],:) = A([maxrow flag],:)
    % 換列: 
    A(:,[flag maxcol]) = A(:,[maxcol,flag])
    
    flag = flag + 1;
    if flag > row-1
        break;
    end
end

A

效果：

A =

   11    -1    -1     3
   -1    10     2    -1
   -1     0     8     3
    0    10     2    -1

有2點需要注意：

• 最終結果不一定是對角占優的：因為每次劃去(不看)的行和列中有可能比考察范圍內元素絕對值都大的情況！如例子最終的第4行：10 > -1

• 最終結果不一定是對角都是非0元素：很好想象！舉一個例子：

這個矩陣調完之后還是它本身，所以最后面那個對角元素還是0！但是：如果原矩陣不是稀疏矩陣，那對角0元素最多出現1個，也就是最后那個對角元素。