因?yàn)橹熬蛷?fù)習(xí)完數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)了，所以為了保持記憶，整理了一份復(fù)習(xí)綱要，復(fù)習(xí)的時(shí)候可以看著綱要想具體內(nèi)容。

樹(shù)

• 樹(shù)的基本概念

  • 樹(shù)是遞歸的定義
  • 有序樹(shù)（如二叉樹(shù)）
  • 樹(shù)的高度（葉結(jié)點(diǎn)高度為1）
  • 樹(shù)的性質(zhì)（王道補(bǔ)充）
    • 高度為h的m叉樹(shù)至多結(jié)點(diǎn)數(shù): (m^h - 1)/(m-1)，等比數(shù)列求和公式
    • 具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的m叉樹(shù)的最小高度：↑logm(n(m-1)+1) ↑（↑↑為向上取整）
    • 含有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的m叉樹(shù)的最小高度和最大高度，通過(guò)不等式，等比數(shù)列求和公式，同時(shí)取對(duì)數(shù)方法計(jì)算（重點(diǎn)）

• 二叉樹(shù)

  • 定義，有序樹(shù)，子樹(shù)次序不能顛倒，完全二叉樹(shù)，滿二叉樹(shù)
  • 性質(zhì)
    • 第i層最多結(jié)點(diǎn)數(shù)
    • 深度為k的二叉樹(shù)最少和最多結(jié)點(diǎn)數(shù)
    • N = N0 + N1 + N2 && E = 2N2 + N1 = N - 1 —> N0 = N2 + 1
      • 可適用于m叉樹(shù) N = N0 + N1 + N2 +….+ Nm && N = mNm + (m-1)Nm-1 + …. + 2N2 + N1
      • 注意n1奇偶不同的情況
    • n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)的深度

• 二叉樹(shù)的存儲(chǔ)表示

  • 數(shù)組存儲(chǔ)
  • 鏈表存儲(chǔ)
  • n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉鏈表中有n+1個(gè)空鏈指針域，N空 = 2N0 + N1 = 2(N2+1) + N1 = N + 1，多叉鏈表同理
  • 靜態(tài)鏈表結(jié)構(gòu)，數(shù)組元素四個(gè)區(qū)域：data、parent、leftchild、rightchild
  • 廣義表表示建立二叉樹(shù)（P197），二叉樹(shù)高度與廣義表深度及括號(hào)嵌套數(shù)的關(guān)系

• 二叉樹(shù)遍歷及其應(yīng)用

  • 遍歷的遞歸算法（O(n)）

    • 前序
      • 創(chuàng)建二叉樹(shù)
      • 判斷兩棵樹(shù)是否相等
      • 以廣義表輸出二叉樹(shù)
    • 中序
    • 后序（從『先計(jì)算左右子樹(shù)，再比較兩者大小』方面理解）
      • 樹(shù)高度、深度
      • 結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)（左子樹(shù)的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)+右字?jǐn)?shù)的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)+1）

  • 遍歷的非遞歸算法

    • 前序、中序、后序（設(shè)置tag表示左右方向）、層次遍歷（隊(duì)列）

  • 二叉樹(shù)的計(jì)數(shù)

    • 前序（后序）+ 中序
    • 層次 + 中序
    • 前序1，2，3.....n，可以確定多少棵二叉樹(shù)，與進(jìn)棧順序一定，出棧方式的數(shù)量相同

• 線索二叉樹(shù)

  • 中序線索二叉樹(shù)
    • 建立、遍歷
    • 中序序列的First()、Next()、Last()、Prior()函數(shù)
    • 實(shí)現(xiàn)前序、后序遍歷
    • 插入與刪除
  • 前序、后序線索化二叉樹(shù)
    • 后序線索樹(shù)遍歷時(shí)仍然需要棧的支持

• 樹(shù)與森林

  • 樹(shù)的存儲(chǔ)表示
    • 廣義表、父指針、子女鏈表、子女-兄弟鏈表
  • 森林、二叉樹(shù)的轉(zhuǎn)換

• 樹(shù)與森林的遍歷及其應(yīng)用

  • 樹(shù)的深度優(yōu)先遍歷
    • 先跟、后跟
  • 森林的深度優(yōu)先遍歷
    • 先跟（前序）、后跟（中序）
  • 樹(shù)和森林的廣度優(yōu)先遍歷

• 堆

  • 最小堆、最大堆
  • 堆的建立、插入、刪除
    • siftDown()、siftUp()

• Huffman樹(shù)

  • 建立
  • 帶權(quán)路徑長(zhǎng)度
  • 最優(yōu)判定樹(shù)
  • Huffman編碼
    • 前綴編碼（無(wú)前綴）

• 綜合應(yīng)用：（遞歸算法是重點(diǎn)，除非特殊說(shuō)明否則都是二叉鏈表存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)）

  • 遞歸
    • 返回二叉樹(shù)中值為x的結(jié)點(diǎn)所在的層號(hào)
    • 從二叉樹(shù)中查找值為x的結(jié)點(diǎn)，返回指向其父結(jié)點(diǎn)的指針
    • 交換左右子樹(shù)，返回新的根結(jié)點(diǎn)
    • 原來(lái)根的基礎(chǔ)上交換左右子樹(shù)（前序后序都可）
    • 刪除二叉樹(shù)中值為x的結(jié)點(diǎn)（注意在遞歸狀態(tài)下刪除結(jié)點(diǎn)，無(wú)需手動(dòng)改變指針鏈接）
      • 將此題與鏈表遞歸刪除結(jié)點(diǎn)對(duì)比（王道P42），刪除結(jié)點(diǎn)無(wú)需手動(dòng)指定鏈接，L=L->next 在遞歸中相當(dāng)于L->next = L->next->next，就完成了刪除結(jié)點(diǎn)
    • 計(jì)算二叉樹(shù)雙分支結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)（注意遞歸模型的統(tǒng)一性）
    • 計(jì)算二叉樹(shù)葉節(jié)點(diǎn)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度之和（前序或?qū)哟危?/li>
  • 非遞歸
    • 求樹(shù)的高度
    • 非遞歸后序遍歷
      • 打印值為x的結(jié)點(diǎn)的所有祖先
      • 找到p和q的最近公共祖先結(jié)點(diǎn)

散列表

• 概念
  • 沖突
    • 散列函數(shù)可能會(huì)把兩個(gè)或兩個(gè)以上的不同關(guān)鍵字映射到同一地址的情況
    • 沖突只是一種情況，并不代表結(jié)果沖突，沖突是無(wú)法避免的，所以需要設(shè)計(jì)好的散列函數(shù)
  • 堆積、聚集、同義詞、關(guān)鍵碼、裝載因子，ASL(succ)、ASL(unsucc)
• 散列函數(shù)
  • 除留余數(shù)法
    • hash(key) = key % p（p<=m），p是不大于m的最大質(zhì)數(shù)，m是散列表允許的地址數(shù)
  • 數(shù)字分析法、平方取中法、折疊法
  • 其他方法，注意返回值要一對(duì)一確定，否則無(wú)法查找，所以不能random
• 處理沖突方法
  • 閉散列（開(kāi)放定址）法（只能邏輯刪除元素）
    • 線性探查法（線性探測(cè)再散列）
    • 二次探查法
      • 散列表大小必須是滿足4k+3的質(zhì)數(shù)
      • 至少能探測(cè)到一半單元，裝載因子α <= 0.5時(shí)，新表項(xiàng)一定能夠插入，且任意一個(gè)位置不會(huì)被探查兩次
    • 雙散列法
      • j = H0 = Hash(key)，p = ReHash(key)，j = (j+p) % m，其中p是小于且與m互質(zhì)的正整數(shù)
  • 開(kāi)散列（閉合定址/拉鏈）法
  • 計(jì)算ASL(succ)和ASL(unsucc)
    • 注意計(jì)算ASL(unsucc)時(shí)，分母是可能取的散列地址數(shù)，如除留余數(shù)法%后面的數(shù)，跟表長(zhǎng)無(wú)關(guān)（若表長(zhǎng)是質(zhì)數(shù)則與散列地址數(shù)相同）
• 散列表分析
  • 開(kāi)散列優(yōu)于閉散列，除留余數(shù)法優(yōu)于其他散列函數(shù)
  • 搜索性能直接依賴于裝載因子，不直接依賴于n或m

搜索結(jié)構(gòu)

• 靜態(tài)搜索結(jié)構(gòu)
  • 順序搜索
    • 監(jiān)視哨
  • 基于有序順序表的順序搜索和折半搜索
    • 順序搜索
      • ASLsucc = (n+1)/2
      • ASLunsucc = (1+2+….+n+n)/(n+1) = n/2 + n/(n+1)
    • 折半搜索
      • 代碼及拓展代碼
      • n個(gè)關(guān)鍵碼有序順序表，最多比較次數(shù)
      • ASLsucc = O(log2n)
• 二叉搜索樹(shù)（二叉排序樹(shù)）
  • 常用來(lái)表示字典結(jié)構(gòu)，主要用于內(nèi)存中目錄的編制，需要快速插入搜索刪除
  • 搜索、插入、刪除，O(log2n)
  • n個(gè)關(guān)鍵碼的集合，有n！種不同排序，可構(gòu)成的二叉搜索樹(shù)有多少種
  • ASLsucc、ASLunsucc（等概率和不等概率）
• AVL樹(shù)
  • 平衡因子
  • 平衡化旋轉(zhuǎn)（代碼）
  • 插入、刪除
  • 性能分析，斐波那契數(shù)
• 伸展樹(shù)
• 紅黑樹(shù)

圖

• 概念
  • 圖不可以是空?qǐng)D，至少有一個(gè)頂點(diǎn)
  • 完全圖
    • 無(wú)向圖，n(n+1)/2邊
    • 有向圖，n(n+1)邊
  • 路徑
    • 一系列頂點(diǎn)序列來(lái)定義
  • 簡(jiǎn)單路徑
    • 路徑上各頂點(diǎn)不互相重復(fù)
  • 連通圖與連通分量
    • 無(wú)向圖中，v1到v2有路徑，則v1與v2連通，圖中任意一對(duì)頂點(diǎn)連通，此圖為連通圖
    • 非連通圖的極大連通子圖叫連通分量
  • 強(qiáng)連通圖與強(qiáng)連通分量
    • 有向圖中，每一對(duì)頂點(diǎn)vi到vj有路徑，vj到vi也有路徑，此圖是強(qiáng)連通圖
    • 非強(qiáng)連通圖的極大強(qiáng)連通子圖叫強(qiáng)連通分量
  • 設(shè)圖G的鄰接矩陣為A，A^n的元素An[i][j]等于由頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j長(zhǎng)度為n的路徑的數(shù)目
• 存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)
  • 鄰接矩陣
  • 鄰接表
    • 有向圖、無(wú)向圖的度和邊鏈表中邊結(jié)點(diǎn)數(shù)目的關(guān)系
• 遍歷
  • DFS
    • 深度優(yōu)先生成樹(shù)
    • 判斷有無(wú)回路
  • BFS
    • 廣度優(yōu)先生成樹(shù)
    • 先訪問(wèn)，再如隊(duì)列，否則會(huì)出現(xiàn)重復(fù)入隊(duì)現(xiàn)象
  • 主調(diào)用函數(shù)中對(duì)BFS/DFS的調(diào)用次數(shù)是該圖的連通分量的數(shù)目
  • 基于鄰接矩陣遍歷的DFS/BFS序列唯一，鄰接表則不唯一
  • 時(shí)間復(fù)雜度
    • 鄰接表 O(n+e)
    • 鄰接矩陣 O(n^2)
  • 應(yīng)用
    • 找極大連通子圖
    • 消除圖中回路
    • 找出關(guān)節(jié)點(diǎn)等應(yīng)用
• 最小生成樹(shù)MST
  • MST不一定唯一，MST權(quán)值一定唯一
  • prime
    • 時(shí)間復(fù)雜度
      • 王道：O(n^2)
      • 教材：O(elog2e)，使用了最小堆
    • 適用于邊稠密圖
  • kruscal
    • 最小堆
    • 并查集
    • 時(shí)間復(fù)雜度：
      • O(n)+O(建堆e)
      • 建堆時(shí)間復(fù)雜度是O(n)還是O(nlog2n)?王道和教材不一致
    • 適用于邊稀疏，頂點(diǎn)較多的圖
• 最短路徑
  • Dijkstra
    • 非負(fù)權(quán)值單源最短路徑，求某一點(diǎn)到其他點(diǎn)的最短路徑
    • O(n^{2)，若求所有源最短路徑，則O(n}3)
  • Floyd
    • 所有頂點(diǎn)之間的最短路徑
    • 允許有帶負(fù)權(quán)值的邊，但不許有包含負(fù)權(quán)值邊組成的回路
    • O(n^3)
  • Bellman-Ford
    • 任意權(quán)值的單源最短路徑
    • Bellman-Ford方程為距離向量路由選擇算法給出了基本思想
  • BFS廣度優(yōu)先搜索算法
    • 非帶權(quán)圖單源最短路徑
• AOV網(wǎng)（activities on verticles）
  • 拓?fù)渑判?
    • 檢測(cè)有向環(huán)
    • 拓?fù)渑判蛩惴ǎ琌(n+e)
    • 用DFS實(shí)現(xiàn)拓?fù)渑判颍顺鲞f歸時(shí)訪問(wèn)結(jié)點(diǎn)，得到逆拓?fù)溆行蛐蛄小Ｒ鬀](méi)有有向回路
• AOE網(wǎng)（activities on edges）
  • 關(guān)鍵路徑
    • 檢測(cè)是否有從開(kāi)始頂點(diǎn)無(wú)法到達(dá)的頂點(diǎn)
• 綜合應(yīng)用
  • 將無(wú)環(huán)有向圖的頂點(diǎn)號(hào)重新安排使得該圖的鄰接矩陣中所有的1集中在對(duì)角線以上
    • 拓?fù)渑判?/li>
    • 出度最大的編號(hào)為1
  • Dijkstra和prime算法比較
  • 判斷有向圖中是否存在回路
    • 拓?fù)渑判?/li>
    • DFS
      • 無(wú)向圖：遇到回邊
      • 有向圖：DFS(v)結(jié)束之前出現(xiàn)一條u道v的回邊，且u在生成樹(shù)上是v的子孫
  • 『破圈法』求解最小生成樹(shù)
  • 判斷無(wú)向圖是否為一棵樹(shù)
  • DFS非遞歸算法
  • 分別采用DFS、BFS判斷有向圖鄰接表中是否存在vi到vj的路徑
  • 鄰接表，輸出vi到vj的所有簡(jiǎn)單路徑
  • 計(jì)算圖中各頂點(diǎn)的度
  • 計(jì)算某頂點(diǎn)的入度、出度
  • 刪除有向圖中以某頂點(diǎn)為弧頭（尾）的有向邊
  • 根據(jù)鄰接矩陣轉(zhuǎn)換鄰接表、根據(jù)鄰接表轉(zhuǎn)換為鄰接矩陣
  • 根據(jù)鄰接表建立逆鄰接表（邊鏈表中是弧指向該頂點(diǎn)的頂點(diǎn)）

內(nèi)部排序

• 排序碼、算法穩(wěn)定性、內(nèi)部排序外部排序
• 對(duì)任意n個(gè)關(guān)鍵字排序的比較次數(shù)至少為↑log2(n!)↑
• 插入排序（左邊是排好序的序列，右邊是未排序序列，右邊第一個(gè)拿出來(lái)插入到左邊）
  • 初始排列基本有序的序列，效率很高
  • 直接插入排序（從后向前比較再插入）
  • 折半插入排序（注意是從high+1的位置（包括）往后移空出插入位置）
    • 比較次數(shù)為O(nlog2n)，但交換次數(shù)仍然是O(n^{2)，所以時(shí)間復(fù)雜度仍然是O(n}2)
  • 希爾排序
    • 增量gap = ↑n/3↑ + 1 （教材）
• 冒泡排序（從后往前冒泡）
• 快速排序（先移動(dòng)high）
  • 最通用，平均最快
  • 分治思想
  • 每一次選出一個(gè)基準(zhǔn)值，小于基準(zhǔn)的在左邊，大于基準(zhǔn)的在右邊，基準(zhǔn)在中間
  • 每次的樞軸都把表分為長(zhǎng)度相近的兩個(gè)子表時(shí)，速度最快
  • 改進(jìn)算法
    1. 序列長(zhǎng)度M取值為5-25時(shí)，直接插入比快排快10%，因此小于M時(shí)直接用插入排序
    2. 劃分過(guò)程中對(duì)小規(guī)模子序列不排序，最后進(jìn)行一遍直接插入排序
    3. 采用左端點(diǎn)，右端點(diǎn)，中間端點(diǎn)，三者取中間值作為基準(zhǔn)，并交換到右端點(diǎn)
    • 將2.3結(jié)合，可將遞歸實(shí)現(xiàn)的快排效率提高20%-25%
• 選擇排序
  • 直接選擇排序
    • 每趟從未排序序列中選擇一個(gè)最小的與未排序序列第一個(gè)位置進(jìn)行交換
    • 移動(dòng)次數(shù)O(n)，比較次數(shù)O(n^{2)，時(shí)間復(fù)雜度O(n}2)
  • 錦標(biāo)賽排序（勝者樹(shù)）
• 堆排序
  • 每趟從小到大排序，建立最大堆，將最大的取出來(lái)交換到排序數(shù)組最后
  • 計(jì)算插入、刪除元素的比較次數(shù)時(shí)，注意左右子樹(shù)可能會(huì)先比較
• 歸并排序
  • 分治法
  • 改進(jìn)算法
  • 歸并趟數(shù) m = logkN 其中k為路數(shù) k路歸并
• 分配排序
  • 桶式排序
  • 基數(shù)排序
    • LSD 最低位優(yōu)先
    • MSD 最高位優(yōu)先
    • 空間O(n)，時(shí)間O(d(n+r)) ，d為分配和收集的趟數(shù)，r為隊(duì)列數(shù)
• 算法分析
  • 按時(shí)間復(fù)雜度：
    • O(n^2)：直接插入、冒泡、直接選擇、折半插入
    • O(nlog2n)：快排、堆排、歸并
    • O(n^1.25)：希爾
  • 按內(nèi)存（空間）復(fù)雜度：
    • O(1)：直接插入、冒泡、直接選擇、堆排、希爾
    • O(log2n)：快排
    • O(n)：歸并
  • 按規(guī)模：
    • 規(guī)模很小（n<=25）：直接插入、簡(jiǎn)單選擇排序（記錄本身信息量較大，移動(dòng)要少）
    • 中等規(guī)模（n<=1000）: 希爾
    • 規(guī)模不是很大（n<10k）：直接插入、冒泡、直接選擇比較主要
    • 規(guī)模很大：快排、堆排、歸并
    • 規(guī)模很大，記錄關(guān)鍵字位數(shù)較少且可分解：基數(shù)排序
    • 基本有序：插入、冒泡
    • 記錄本身信息量較大時(shí)：用鏈表做存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，避免耗費(fèi)大量時(shí)間移動(dòng)記錄
  • 按穩(wěn)定性：
    • 穩(wěn)定：直接插入、冒泡、歸并、折半插入、基數(shù)排序
    • 不穩(wěn)定：快排、堆排、希爾、簡(jiǎn)單（直接）選擇
  • 按最好最壞情況：
    • 冒泡：改進(jìn)算法最好只需要一趟起泡過(guò)程，n-1次比較操作
    • 直接插入：最好只要n-1次比較操作O(n)，平均和最差情況下，比較和交換都是O(n^2)
    • 直接選擇：比較次數(shù)總是O(n^2)，但移動(dòng)次數(shù)最好情況一次也不移動(dòng)
    • 快排：
      • 時(shí)間復(fù)雜度：元素有序時(shí)會(huì)退化，時(shí)間O(n^2)，空間O(n)，但改進(jìn)算法可避免最壞情況發(fā)生
      • 空間復(fù)雜度：最好為log2(n+1)，最壞為O(n)，平均O(log2n)
    • 希爾：最壞O(n^2)
    • 歸并：平均和最壞的空間O(n)
  • 比較：
    • 堆排不太可能提供比快排更好的平均性能
    • 歸并排序跟堆排和快排相比，穩(wěn)定
    • 基數(shù)排序的線性時(shí)間開(kāi)銷實(shí)際并不比快排小多少，應(yīng)用不廣泛，主要適用于硬件環(huán)境，編程環(huán)境和輸入與元素序列滿足一定條件時(shí)，且不能處理float，double類實(shí)數(shù)
    • 只需得到前k小個(gè)元素的順序排列可采用的排序算法有冒泡、堆排、簡(jiǎn)單選擇，當(dāng)k>=5時(shí)，堆排最優(yōu)，4n+klog2n
• 算法代碼應(yīng)用
  • 快排劃分的兩種算法
    • 從第二個(gè)元素開(kāi)始尋找小于基準(zhǔn)的元素，找到后交換到前面 swap( A[++i] , A[j] )，重復(fù)
    • 從后面開(kāi)始找到<基準(zhǔn)的元素j，覆蓋從前面找到>基準(zhǔn)的元素i，i++，覆蓋j，j++，覆蓋i，重復(fù)
  • 使用快排分治思想，在數(shù)組中找到第k小的元素
    • 用k跟基準(zhǔn)比，小的在左邊，大的在右邊，遞歸劃分繼續(xù)查找
  • 荷蘭國(guó)旗問(wèn)題，將僅有紅白藍(lán)三種顏色的序列，按紅白藍(lán)順序排好（將負(fù)數(shù)排在非負(fù)數(shù)前面同理，快排劃分思想）
    • j為工作指針，i以前的元素為紅色，k以后的元素為藍(lán)色，i++，k—
  • 鏈表的選擇排序算法，每次從first鏈上摘下最大的結(jié)點(diǎn)current鏈入head之后，算法結(jié)束前將head刪除

外部排序

• 基本過(guò)程
  1. 建立為外排序所用的內(nèi)存緩沖區(qū)，根據(jù)大小將輸入文件劃分為若干段，對(duì)各段進(jìn)行內(nèi)排序（如堆排），經(jīng)過(guò)排序的段叫初始?xì)w并段，將他們寫(xiě)入外存
  2. 把第一階段生成的初始?xì)w并段加以歸并，一趟趟擴(kuò)大歸并段和減少歸并段個(gè)數(shù)，直至最后歸并成一個(gè)大有序文件
  • 輸入緩沖區(qū)、輸出緩沖區(qū)
  • 總歸并趟數(shù) == 歸并樹(shù)的高度減一 == ↑log2m↑ ，其中m為初始?xì)w并段個(gè)數(shù)
  • S=↑logkm↑ 增大歸并路數(shù)k，或減少初始?xì)w并段個(gè)數(shù)m，都能減少歸并趟數(shù)s，以減少磁盤(pán)I/O數(shù)，提高排序速度
    • 但是k增大時(shí)，相應(yīng)需要增加輸入緩沖區(qū)個(gè)數(shù)，k值過(guò)大時(shí)，外存I/O仍會(huì)增加，需要綜合考慮
• k路平衡歸并
  • k路平衡歸并時(shí)，m個(gè)初始?xì)w并段，則歸并樹(shù)有 ↑logkm↑+1 層，需要?dú)w并 ↑logkm↑ 趟
  • 增大歸并路樹(shù)k，會(huì)是內(nèi)部歸并的時(shí)間增大
• 敗者樹(shù)
  • 『敗者樹(shù)』從k個(gè)歸并段中選最小者，排序碼比較次數(shù)與k無(wú)關(guān)，總的內(nèi)部歸并時(shí)間不會(huì)隨k的增大而增大
  • 完全二叉樹(shù)，葉節(jié)點(diǎn)存放各歸并段在歸并過(guò)程中當(dāng)前參加比較的記錄，非葉結(jié)點(diǎn)記憶其子女中記錄排序碼小的結(jié)點(diǎn)（敗者），根結(jié)點(diǎn)記憶樹(shù)中當(dāng)前的最小記錄
  • 冠軍送入結(jié)果歸并段，冠軍所在歸并段的下一個(gè)記錄替補(bǔ)上來(lái)，與其父節(jié)點(diǎn)記憶的敗者進(jìn)行比較，敗者進(jìn)行記憶，勝者與更上次父節(jié)點(diǎn)的敗者繼續(xù)比較，直到比出冠軍
  • 敗者樹(shù)高度↑log2k↑+1，包括冠軍結(jié)點(diǎn)
  • 每次調(diào)整找下一個(gè)最小記錄時(shí)，最多做↑log2k↑次排序碼比較
• 初始?xì)w并段的生成（選擇-置換）
  • 使用敗者樹(shù)生成初始?xì)w并段，同樣內(nèi)存下，生成平均比原來(lái)等長(zhǎng)情況下大一倍的初始?xì)w并段，從而減少m，降低s
  • 從敗者樹(shù)中選一個(gè)最小的，然后補(bǔ)上記錄，再輸出最小的，注意只有比當(dāng)前歸并段最大值大的才能輸出到歸并段，否則放到下一個(gè)歸并段中
  • n個(gè)記錄，生成初始?xì)w并段的時(shí)間開(kāi)銷O(nlog2k)，每輸出一個(gè)記錄，對(duì)敗者樹(shù)進(jìn)行調(diào)整需要O(log2k)
• 最佳歸并樹(shù)
  • 只有度為0和度為k的結(jié)點(diǎn)的正則k叉樹(shù)
  • 葉節(jié)點(diǎn)代表參加歸并的各初始?xì)w并段，葉節(jié)點(diǎn)權(quán)值為該初始?xì)w并段的記錄個(gè)數(shù)，葉節(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度表示在歸并過(guò)程中的歸并趟數(shù)，歸并樹(shù)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度WPL（葉節(jié)點(diǎn)）即為歸并過(guò)程中總的讀記錄樹(shù)，總讀寫(xiě)記錄次數(shù)為2*WPL
  • Huffman樹(shù)思想
    • 補(bǔ)空歸并段，計(jì)算補(bǔ)的度為0的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，正則k叉樹(shù) n0 = (k-1)nk + 1，其中n0就是記錄數(shù)n（Huffman樹(shù)的key都是葉節(jié)點(diǎn)）
    • 若(n0-1)%(k-1) = 0，則說(shuō)明這n0個(gè)葉節(jié)點(diǎn)（即初始?xì)w并段）正好可構(gòu)造k叉歸并樹(shù)，不需要空歸并段
    • 若(n0-1)%(k-1) = m ≠ 0，則說(shuō)明剩m個(gè)記錄加不到樹(shù)中。此時(shí)在記錄中增加k-m-1個(gè)空記錄（0）即可
• 計(jì)算應(yīng)用
  • 假設(shè)文件4500個(gè)記錄，磁盤(pán)上每個(gè)頁(yè)塊可放75個(gè)記錄，計(jì)算機(jī)中用于排序的內(nèi)存區(qū)可容納450個(gè)記錄，（1）可建立多少歸并段？每個(gè)歸并段有多少記錄？存放于多少頁(yè)塊中？（2）應(yīng)采用幾路歸并？寫(xiě)出歸并過(guò)程及每趟需要讀寫(xiě)磁盤(pán)的頁(yè)塊數(shù)
    • （1）可建立初始?xì)w并段有4500/450=10個(gè)。每個(gè)初始?xì)w并段中有450個(gè)記錄，存于450/75=6個(gè)頁(yè)塊中
    • （2）內(nèi)存區(qū)可容納6個(gè)頁(yè)塊，可建立6個(gè)緩沖區(qū)，其中5個(gè)用于輸入，1個(gè)用于輸出，采用5路歸并。做了兩趟歸并，每趟需要讀60個(gè)磁盤(pán)頁(yè)塊，寫(xiě)60個(gè)磁盤(pán)頁(yè)塊

多級(jí)索引結(jié)構(gòu)

• 動(dòng)態(tài)的m路搜索樹(shù)
  • 每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多m棵子樹(shù)，最多有m-1個(gè)關(guān)鍵碼
  • 最少有0棵子樹(shù)，1個(gè)關(guān)鍵碼
  • AVL樹(shù)是2路搜索樹(shù)
  • m路搜索樹(shù)，高度h，最大結(jié)點(diǎn)數(shù)（m^h-1)/(m-1) ，注意是結(jié)點(diǎn)數(shù)，一個(gè)結(jié)點(diǎn)里有m-1個(gè)關(guān)鍵碼，所以相乘，最大關(guān)鍵碼數(shù)為（m^h-1）
    • 最大結(jié)點(diǎn)數(shù)時(shí)的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)與滿m叉樹(shù)結(jié)構(gòu)一樣，所以結(jié)點(diǎn)數(shù)都是上面的公式，相同
  • m路搜索樹(shù)，高度h，最小結(jié)點(diǎn)數(shù)為h
  • h <= 關(guān)鍵碼個(gè)數(shù) <= (m^h-1) —> n個(gè)關(guān)鍵碼的m路搜索樹(shù)高度h： logm(n+1) <= h <= n
  • 提高搜索樹(shù)的路數(shù)m，可以改善樹(shù)的搜索性能。對(duì)于給定的關(guān)鍵碼數(shù)n，如果搜索樹(shù)是平衡的，可以使m路搜索樹(shù)的性能接近最佳（B樹(shù)）
• B樹(shù)（繼承自m路搜索樹(shù)）
  • B樹(shù)常存儲(chǔ)在磁盤(pán)上，在B樹(shù)種尋找結(jié)點(diǎn)是在磁盤(pán)上進(jìn)行的，在結(jié)點(diǎn)內(nèi)找關(guān)鍵字是在內(nèi)存中進(jìn)行的。找到目標(biāo)結(jié)點(diǎn)后，先將結(jié)點(diǎn)中的信息讀入內(nèi)存，再用順序或折半查找關(guān)鍵字
  • B樹(shù)結(jié)構(gòu)
    n
    P0
    K1
    P1
    K2
    P2
    ……
    Kn
    Pn
    K為關(guān)鍵字n個(gè)，P為指向子樹(shù)根結(jié)點(diǎn)（也即磁盤(pán)地址）的指針n+1個(gè)（可出計(jì)算題）
  • m階B樹(shù)的性質(zhì)（調(diào)整B樹(shù)時(shí)看的就是這三點(diǎn)性質(zhì)?。?
    • 根結(jié)點(diǎn)至少2個(gè)子女
    • 除根結(jié)點(diǎn)以外的所有結(jié)點(diǎn)（不包括失敗結(jié)點(diǎn)）至少有↑m/2↑個(gè)子女，即該結(jié)點(diǎn)至少有↑m/2↑-1個(gè)關(guān)鍵字
    • 所有的失敗結(jié)點(diǎn)都位于同一層
  • B樹(shù)的搜索過(guò)程是一個(gè)在結(jié)點(diǎn)內(nèi)搜索和循某一條路徑向下一層搜索交替進(jìn)行的過(guò)程，因此B樹(shù)的搜索時(shí)間與B樹(shù)的階數(shù)m和高度h直接相關(guān)，需加以權(quán)衡
  • 搜索成功所需時(shí)間取決于關(guān)鍵碼所在層次，搜索不成功所需時(shí)間取決于樹(shù)的高度
    • B樹(shù)高度時(shí)不包括失敗結(jié)點(diǎn)
    • 第二層至少兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)至少有↑m/2↑個(gè)子女，因此第三層至少2↑m/2↑個(gè)子女
    • 第h層至少有2↑m/2↑^(h-2)
    • 位于第h+1層的失敗結(jié)點(diǎn)至少有2↑m/2↑^(h-1)個(gè)結(jié)點(diǎn) == 樹(shù)中所有關(guān)鍵碼的數(shù)量+1
    • 樹(shù)中關(guān)鍵碼有N個(gè)，則失敗結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為N+1 >= 2↑m/2↑^(h-1) —> h <=↓ log↑m/2↑((N+1)/2) ↓+ 1，（h不包括失敗結(jié)點(diǎn)）
    • B樹(shù)最高h(yuǎn) =↓ log↑m/2↑((N+1)/2) ↓+ 1，最低h = ↑ logm(n+1)↑
    • 由公式看到，增大m可以降低樹(shù)的高度，從而減少結(jié)點(diǎn)讀入結(jié)點(diǎn)的次數(shù)，減少磁盤(pán)I/O次數(shù)，但是當(dāng)m超過(guò)可分配內(nèi)存時(shí)，結(jié)點(diǎn)不能一次讀入內(nèi)存，反而增加了讀盤(pán)次數(shù)
• B樹(shù)的插入
  • 每個(gè)非失敗結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵碼個(gè)數(shù)在 ↑m/2↑-1 和 m-1 之間（這樣其子女就有↑m/2↑到m個(gè)，滿足B樹(shù)性質(zhì)）
  • 插入是在某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)（第h層）開(kāi)始，插入后關(guān)鍵碼個(gè)數(shù)超過(guò)m-1，則需要分裂，將中間結(jié)點(diǎn)K↑m/2↑插入父結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)向上處理
  • 高度為h的B樹(shù)，自頂向下搜索葉結(jié)點(diǎn)的過(guò)程需要h次讀盤(pán)，最壞結(jié)果需要自底向上分裂結(jié)點(diǎn)，分裂非根結(jié)點(diǎn)向磁盤(pán)寫(xiě)出2個(gè)結(jié)點(diǎn)，分裂根結(jié)點(diǎn)寫(xiě)出三個(gè)結(jié)點(diǎn)，完成一次插入需要讀寫(xiě)磁盤(pán)次數(shù)為 h+2(h-1)+3 = 3h+1
    • 當(dāng)m較大時(shí)，訪問(wèn)磁盤(pán)平均次數(shù)為h+1
• B樹(shù)的刪除
  • 所刪除關(guān)鍵字k不在終端結(jié)點(diǎn)中時(shí)
    • k的左子樹(shù)滿足條件，前驅(qū)值k’取代k，再遞歸刪除k’；若左子樹(shù)不滿足，右子樹(shù)滿足，則用右子樹(shù)后繼來(lái)取代
    • 前后子樹(shù)均不滿足條件，合并兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)，直接刪除k
  • 所刪除關(guān)鍵字k在終端結(jié)點(diǎn)中時(shí)
    • 直接刪
    • 不能直接刪，兄弟夠借，父親下來(lái)，兄弟上位
    • 兄弟不夠借，刪除k后，父親下來(lái)跟兄弟合并，再看父親
  • 最壞情況，讀寫(xiě)磁盤(pán) 3h-2次，釋放h個(gè)結(jié)點(diǎn)
• B+樹(shù)
  • 實(shí)現(xiàn)文件索引結(jié)構(gòu)方面比B樹(shù)使用更普遍
  • 所有關(guān)鍵碼都在葉結(jié)點(diǎn)中，上層非葉結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵碼是其字?jǐn)?shù)中最小（大）關(guān)鍵碼的復(fù)寫(xiě)
  • 葉結(jié)點(diǎn)包含了全部關(guān)鍵碼及指向相應(yīng)記錄地址的指針，且葉結(jié)點(diǎn)本身按關(guān)鍵碼從小到大順序連接
  • 『最大關(guān)鍵碼復(fù)寫(xiě)』原則定義B+樹(shù)
    • 每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多有m棵子樹(shù)
    • 根結(jié)點(diǎn)至少有一個(gè)子樹(shù)，其他結(jié)點(diǎn)至少↑m/2↑個(gè)子樹(shù)
    • 所有葉結(jié)點(diǎn)再同一層，按從小大順序存放全部關(guān)鍵碼，各個(gè)葉結(jié)點(diǎn)順序鏈接
    • 有n個(gè)子樹(shù)的結(jié)點(diǎn)有n個(gè)關(guān)鍵碼
    • 非葉結(jié)點(diǎn)可以看成葉結(jié)點(diǎn)的索引
  • 葉結(jié)點(diǎn)中存放的是對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)記錄的索引，每個(gè)索引項(xiàng)給出數(shù)據(jù)記錄的關(guān)鍵碼及實(shí)際存儲(chǔ)地址
  • B+樹(shù)有兩個(gè)頭指針，一個(gè)紙箱B+樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)，一個(gè)指向關(guān)鍵碼最小的葉結(jié)點(diǎn)，因此可對(duì)B+樹(shù)進(jìn)行兩種搜索：
    • 循葉結(jié)點(diǎn)拉起的鏈表順序搜索
    • 從根結(jié)點(diǎn)開(kāi)始，自頂向下隨機(jī)搜索，每次搜索都是一條根到葉結(jié)點(diǎn)的路徑
• B+樹(shù)的插入
  • 僅在葉結(jié)點(diǎn)上進(jìn)行
    • 插入后葉結(jié)點(diǎn)中的關(guān)鍵碼個(gè)數(shù)n>m時(shí)，將葉結(jié)點(diǎn)分為兩個(gè)分別包含↑(m+1)/2↑ 和 ↓(m+1)/2↓個(gè)關(guān)鍵碼的結(jié)點(diǎn)
    • 他們的父結(jié)點(diǎn)應(yīng)同時(shí)包含這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的最大關(guān)鍵碼和地址
  • 非葉結(jié)點(diǎn)中關(guān)鍵碼的插入
    • 葉結(jié)點(diǎn)分裂后，其父節(jié)點(diǎn)（非葉結(jié)點(diǎn)）被動(dòng)插入，最終可能樹(shù)會(huì)增加一層
  • 插入高度h的B+樹(shù)需要3h+1此磁盤(pán)訪問(wèn)，平均大約h+1次磁盤(pán)訪問(wèn)，與B樹(shù)類似
• B+樹(shù)的刪除
  • 僅在葉結(jié)點(diǎn)上進(jìn)行
  • 刪除后該結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵碼個(gè)數(shù)不小于↑m/2↑-1（或者說(shuō)子樹(shù)棵樹(shù)小于↑m/2↑時(shí)）時(shí)，無(wú)需調(diào)整上層索引（即使刪了某結(jié)點(diǎn)的最大關(guān)鍵碼，其在父結(jié)點(diǎn)的復(fù)寫(xiě)也不用動(dòng)，因?yàn)樗饕黄鹨龑?dǎo)搜索的分界作用）
  • 小于↑m/2↑時(shí)，需要調(diào)整合并
    • 可從右兄弟結(jié)點(diǎn)拉一個(gè)，然后修改父結(jié)點(diǎn)索引
    • 右兄弟子樹(shù)棵樹(shù)也達(dá)到下限時(shí)，將右兄弟合并至被刪關(guān)鍵碼所在結(jié)點(diǎn)，父結(jié)點(diǎn)再根據(jù)情況與其兄父調(diào)整合并，最終可能樹(shù)會(huì)減少一層
• 計(jì)算應(yīng)用
  • 利用B樹(shù)做文件索引時(shí)，若假設(shè)磁盤(pán)頁(yè)塊的大小是4000字節(jié)，指示磁盤(pán)地址的指針需要5個(gè)字節(jié)，現(xiàn)有20 000 000個(gè)記錄構(gòu)成的文件，每個(gè)記錄200字節(jié)，其中包含關(guān)鍵字5個(gè)字節(jié)。（1）在此采用B樹(shù)做索引的文件中，B樹(shù)的階樹(shù)應(yīng)為多少？（2）嘉定文件數(shù)據(jù)部分未按關(guān)鍵字有序排列，則索引部分需要占用多少磁盤(pán)頁(yè)塊？
    • （1）：根據(jù)B樹(shù)概念，一個(gè)索引結(jié)點(diǎn)應(yīng)適應(yīng)操作系統(tǒng)過(guò)一次讀寫(xiě)的物理記錄大小，其大小應(yīng)取不超過(guò)但最接近一個(gè)磁盤(pán)頁(yè)塊的大小。假設(shè)B樹(shù)為m階，一個(gè)B數(shù)結(jié)點(diǎn)最多存放m-1個(gè)關(guān)鍵字（5字節(jié)）和對(duì)應(yīng)的記錄地址（5個(gè)字節(jié)）、m個(gè)子樹(shù)指針（5個(gè)字節(jié)）、1個(gè)指示結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字個(gè)數(shù)的整數(shù)（2字節(jié)），則有（2(m-1)+m）5+2<=4000，m<=267
    • （2）：一個(gè)索引結(jié)點(diǎn)最多存放266個(gè)索引項(xiàng)，最少133個(gè)，全部有20 000 000個(gè)記錄，每個(gè)記錄200字節(jié)，每個(gè)頁(yè)塊則20個(gè)記錄，全部記錄分布在1 000 000個(gè)頁(yè)塊中，則最多占用1 000 000/133 = 7519個(gè)磁盤(pán)頁(yè)塊（也就是7519個(gè)索引結(jié)點(diǎn)）作為B樹(shù)索引，最少3760個(gè)。