這是一道非常經典的動態規劃的題目，用到的思路我們在別的動態規劃題目中也很常用，以后我們稱為”局部最優和全局最優解法“。基本思路是這樣的，在每一步，我們維護兩個變量，一個是全局最優，就是到當前元素為止最優的解是，一個是局部最優，就是必須包含當前元素的最優的解。接下來說說動態規劃的遞推式（這是動態規劃最重要的步驟，遞歸式出來了，基本上代碼框架也就出來了）。假設我們已知第i步的global[i]（全局最優）和local[i]（局部最優），那么第i+1步的表達式是：local[i+1]=Math.max(A[i], local[i]+A[i])，就是局部最優是一定要包含當前元素，所以不然就是上一步的局部最優local[i]+當前元素A[i]（因為local[i]一定包含第i個元素，所以不違反條件），但是如果local[i]是負的，那么加上他就不如不需要的，所以不然就是直接用A[i]；

局部最優和全局最優解法

• 首先local[i]表示以a[i]為結尾的子序列的最大的和，則global = max{local[0], ... , local[n-1]} 。 global即為答案。而local[i + 1]只有兩個選擇，要不就是和之前的數字連在一起組成一個序列，或者自己a[i+1]獨立組成一個序列，哪個大選哪個,local[i+1] = max{ a[i+1], local[i] + a[i+1] }.

#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;

class Solution {
private:
    int max(int a, int b)
    {
        return a>b? a:b;
    }

public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int size = (int)nums.size();
        
        int local = nums[0];
        int global = local;
        
        for (int i = 1; i < size; i++)
        {
            local = max(local + nums[i], nums[i]);
            global = max(local, global);
        }
        
        return global;
    }
};

分治法

易知，對于一數字序列，其最大連續子序列和對應的子序列可能出現在三個地方。或是整個出現在輸入數據的前半部（左），或是整個出現在輸入數據的后半部（右），或是跨越輸入數據的中部從而占據左右兩半部分。前兩種情況可以通過遞歸求解，第三種情況可以通過求出前半部分的最大和（包含前半部分的最后一個元素）以及后半部分的最大和（包含后半部分的第一個元素）而得到，然后將這兩個和加在一起即可。

#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;

class Solution {
private:
    int max(int a, int b)
    {
        return a>b? a:b;
    }
    
    int maxSubSum(vector<int>& nums, int l, int r)
    {
        if (l == r) return nums[l];
        
        int mid = (l + r)/2;
        
        int wholeLeft = maxSubSum(nums, l, mid);
        int wholeRight = maxSubSum(nums, mid+1, r);
        
        int partleft = nums[mid];
        int sum = partleft;
        for (int i = mid-1; i>= l; i--)
        {
            sum += nums[i];
            partleft = max(partleft, sum);
        }
        
        int partright = nums[mid+1];
        int sum2 = partright;
        for (int i = mid + 2; i <= r; i++)
        {
            sum2 += nums[i];
            partright = max(partright, sum2);
        }
        
        return max(max(wholeRight, wholeLeft), partright + partleft);
    }
    
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int size = (int)nums.size();
        
        return maxSubSum(nums, 0, size-1);
    }
};