Input

10 9 2 5 3 7 101 18

Output

4 （因為2,3,7,101是最長的遞增子序列）

解題思路

該問題滿足最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，因此可以使用動態(tài)規(guī)劃求解。

定義如下符號：

• 表示問題序列的總長度。
• 表示下標從1到i的一個序列，特別地，表示下標從1開始，長度為n的一個序列，也就是問題的輸入。
• 表示中的第個元素。

由于問題的最優(yōu)解必然對應(yīng)某個子序列，而這個子序列又必然由某個結(jié)尾，因此，由所有結(jié)尾的最長遞增序列的長度，構(gòu)成了問題的解空間。因此，再引入符號L，來描述問題的解空間：

• 表示以結(jié)尾的最長遞增子序列的長度。

顯然，為該遞增子序列的最大值，就是問題的最優(yōu)解。

求解，就要得到所有的。求解這一問題，包含了求解從到的所有子問題，從而滿足最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

遞歸方程如下：

轉(zhuǎn)換成代碼，思路就是遍歷所有，選擇滿足的最大的，則，如果比所有都要小，則。

完整代碼

Leetcode上面有這個問題，可以上去檢驗一下：

class Solution {
public:

int max(const int &a, const int &b)
{
    return a>b?a:b;
}
int lengthOfLIS(vector<int> &nums)
{
    int n = nums.size();
    int res = 1;
    if(nums.size() == 0) return 0;
    
    int *l = new int[n];
    l[0] = 1;
    
    for(int i = 1; i < n; i++)  //填充L
    {
        int maxval = 1;
        for(int j = 0; j < i; j++)  //遍歷所有的A
        {
            if(nums[i] > nums[j])
            {
                maxval = max(maxval, l[j]+1);
            }
            l[i] = maxval;
        }
    }
    
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(l[i]>res)
        {
            res = l[i];
        }
    }
    return res;
}

};

參考資料：https://www.zhihu.com/question/23995189