最近新接觸文本分類問(wèn)題，對(duì)于我來(lái)數(shù)第一個(gè)問(wèn)題就是Word Embedding這個(gè)詞到底是什么意思，因此也就開始學(xué)習(xí)了相關(guān)知識(shí)
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一、Word Embedding定義

Embedding是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的有名詞，是指某個(gè)對(duì)象 X 被嵌入到另外一個(gè)對(duì)象 Y 中，映射 f : X → Y ，例如有理數(shù)嵌入實(shí)數(shù)。
Word Embedding 是NLP中一組語(yǔ)言模型和特征學(xué)習(xí)技術(shù)的總稱，把詞匯表中的單詞或者短語(yǔ)映射成由實(shí)數(shù)構(gòu)成的向量上(映射)

二、One-Hot

最簡(jiǎn)單的Word Embedding，是指將所有詞排成一列，對(duì)于詞A，只有在它的位置置1，其他位置置0，維度就是所有詞的數(shù)目。

缺點(diǎn)：
(1）沒有考慮單詞之間相對(duì)位置的關(guān)系
(2）詞向量可能非常長(zhǎng)

為了考慮相互位置關(guān)系，會(huì)想到n-gram方法，但它可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的急劇增長(zhǎng)。

N-Gram

N-Gram是基于一個(gè)假設(shè)：第n個(gè)詞出現(xiàn)與前n-1個(gè)詞相關(guān)，而與其他任何詞不相關(guān)（這也是隱馬爾可夫當(dāng)中的假設(shè)）。指給定的一段文本或語(yǔ)音中N個(gè)項(xiàng)目（item）的序列

兩個(gè)重要應(yīng)用場(chǎng)景：
（1）基于一定的語(yǔ)料庫(kù)，利用N-Gram預(yù)計(jì)或者評(píng)估一個(gè)句子是否合理。
（2）評(píng)估兩個(gè)字符串之間的差異程度。這是模糊匹配中常用的一種手段。

N=1時(shí)稱為unigram，N=2稱為bigram，N=3稱為trigram，以此類推。

例：將“informationretrieval”視為一段文本，它的5-grams的items依次為：
infor, nform, forma, ormat, rmati, matio, ation, tionr, ionre, onret, nretr, retri, etrie, triev, rieva, ieval

1、字符串間模糊匹配

（1）N-gram距離

兩個(gè)字符串s，t分別利用N-Gram語(yǔ)言模型來(lái)表示時(shí)，則對(duì)應(yīng)N-gram子串中公共部分的長(zhǎng)度就稱之為N-Gram距離。例如：假設(shè)有字符串s，那么按照N-Gram方法得到N個(gè)分詞組成的子字符串，其中相同的子字符串個(gè)數(shù)作為N-Gram距離計(jì)算的方式。具體如下所示：

字符串：s="ABC"，對(duì)字符串進(jìn)行分詞，考慮字符串首尾的字符begin和end，得到begin，A，B，C，end。這里采用二元語(yǔ)言模型，則有：（begin,A）、（A,B）、（B,C）、（C,end）。

字符串：t="AB"，對(duì)字符串進(jìn)行分詞，考慮字符串首尾的字符begin和end，得到begin，A，B，end。這里采用二元語(yǔ)言模型，則有：（begin,A）、（A,B）、（B,end）。

距離公式：

4+3-2*3=1

2、判斷句子有效性

假設(shè)有一個(gè)字符串s="ABC",對(duì)應(yīng)的BI-Gram的結(jié)果如下：（begin,A）、（A,B）、（B,C）、（C,end）。出現(xiàn)字符串s的概率為：

P(ABC)=P(A|begin)P(B|A)P(C|B)*P(end|C)。

3、N-Gram在特征工程中的應(yīng)用

在處理文本特征時(shí)，通常一個(gè)關(guān)鍵詞作為一個(gè)特征。在一些場(chǎng)景可能不夠，需要進(jìn)一步提取更多的特征，可以考慮N-Gram，思路如下：

以Bi-Gram為例，在原始文本中，以每個(gè)關(guān)鍵詞作為一個(gè)特征，通過(guò)將關(guān)鍵詞兩兩組合，得到一個(gè)Bi-Gram組合，再根據(jù)N-Gram語(yǔ)言模型，計(jì)算各個(gè)Bi-Gram組合的概率，作為新的特征。

二、Cocurrence matrix定義

共現(xiàn)矩陣Cocurrence matrix：一定程度上解決沒有考慮單詞之間相對(duì)位置的關(guān)系的問(wèn)題

實(shí)現(xiàn)方法：某個(gè)詞的意思跟它臨近的單詞是緊密相關(guān)的。可以設(shè)定一個(gè)窗口（大小一般是5~10)，利用這種共現(xiàn)關(guān)系生成詞向量（得到一個(gè)對(duì)稱矩陣——共現(xiàn)矩陣，該矩陣統(tǒng)計(jì)當(dāng)前詞與其他詞在同一窗口中的次數(shù)，如果詞數(shù)是n，那么矩陣是nXn）。

例子：
I like deep learning.
I like NLP.
I enjoy flying.
共現(xiàn)矩陣：

缺點(diǎn)：仍然面對(duì)維度災(zāi)難。這SVD或者PCA等一些常用的降維方法也會(huì)帶來(lái)其他的一些問(wèn)題，例如，我們的詞匯表中有新詞加入，很難為他分配一個(gè)新的向量。

三、Dristributed representation

Dristributed representation：低維實(shí)數(shù)向量，它的思路是通過(guò)訓(xùn)練，將每個(gè)詞都映射到一個(gè)較短的詞向量上來(lái)，可以解決One hot representation的問(wèn)題，。在word2vec出現(xiàn)之前，已經(jīng)有用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)DNN來(lái)用訓(xùn)練詞向量進(jìn)而處理詞與詞之間的關(guān)系了。采用的方法一般是一個(gè)三層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（當(dāng)然也可以多層），分為輸入層，隱藏層和輸出層(softmax層)

相關(guān)或者相似的詞，在距離上更接近
自動(dòng)實(shí)現(xiàn)：1）單詞語(yǔ)義相似性的度量；2）詞匯的語(yǔ)義的類比

四、Word2Vec訓(xùn)練詞向量

Word2Vec：CBOW、Skip-Gram

流程：建立模型、通過(guò)模型獲取嵌入詞向量

相關(guān)講解：
word2vec原理(一) CBOW與Skip-Gram模型基礎(chǔ)
建模角度理解word embedding及tensorflow實(shí)現(xiàn)
一文詳解 Word2vec 之 Skip-Gram 模型（結(jié)構(gòu)篇）
一文詳解 Word2vec 之 Skip-Gram 模型（訓(xùn)練篇）
一文詳解 Word2vec 之 Skip-Gram 模型（實(shí)現(xiàn)篇）

1、Skip-Gram

定義：給定input word來(lái)預(yù)測(cè)上下文

• 選句子中間的一個(gè)詞作為我們的輸入詞，例如我們選取“quick”作為input word；
• 定義skip_window的參數(shù)，代表從當(dāng)前input word的一側(cè)（左邊或右邊）選取詞的數(shù)量。如果我們?cè)O(shè)置skip_window=2，那么我們最終獲得窗口中的詞（包括input word在內(nèi)）就是['The', 'quick'，'brown', 'fox']。skip_window=2代表著選取左input word左側(cè)2個(gè)詞和右側(cè)2個(gè)詞進(jìn)入我們的窗口，所以整個(gè)窗口大小span=2x2=4。
• 參數(shù)num_skips，代表從整個(gè)窗口中選取多少個(gè)不同的詞作為output word，當(dāng)skip_window=2，num_skips=2時(shí)，會(huì)得到兩組 (input word, output word) 形式的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，即 ('quick', 'brown')，('quick', 'the')。
• 訓(xùn)練時(shí)，剔除高頻的停用詞來(lái)減少模型的噪音，并加速訓(xùn)練，如'the'、'a'等，它們對(duì)其他詞的貢獻(xiàn)不大。
• input word和output word都是one-hot編碼的向量。最終模型的輸出是一個(gè)概率分布。

對(duì)于輸入為'the'時(shí)，訓(xùn)練時(shí)的一個(gè)batch會(huì)有兩個(gè)輸入(the, quick)和(the, brown)

模型輸入：

輸入的每一個(gè)詞都是一個(gè)One-Hot表示形式，("the", "quick", "brown", "fox", "jumps","over","lazy","dog")，我們對(duì)這個(gè)詞匯表的單詞進(jìn)行編號(hào)0-7。那么”dog“就可以被表示為一個(gè)8維向量[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]。

通常詞匯表比較大，如果詞匯表有10000個(gè)詞，模型的輸入就是一個(gè)10000維的向量，那么輸出也是一個(gè)10000維度（詞匯表的大小）的向量，它包含了10000個(gè)概率，每一個(gè)概率代表著當(dāng)前詞是輸入樣本中output word的概率大小。

隱含層：

• 網(wǎng)絡(luò)的隱層沒有使用任何激活函數(shù)，但是輸出層使用了sotfmax

• 隱含層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是詞向量的維數(shù)，由One-Hot映射為Dristributed representation

• 上圖網(wǎng)絡(luò)中隱層的權(quán)重矩陣應(yīng)該為10000行，300列（隱層有300個(gè)結(jié)點(diǎn)）。最終每個(gè)單詞可以被編碼為300維的詞向量

• Google在最新發(fā)布的基于Google news數(shù)據(jù)集訓(xùn)練的模型中使用的是300個(gè)特征的詞向量，在Python的gensim包中封裝的Word2Vec接口默認(rèn)的詞向量大小為100， window_size為5

下圖中，左右兩張圖分別從不同角度代表了輸入層-隱層的權(quán)重矩陣。左圖中每一列代表一個(gè)10000維的詞向量和隱層單個(gè)神經(jīng)元連接的權(quán)重向量。右圖中，每一行實(shí)際上代表了每個(gè)單詞的詞向量。

最終的目標(biāo)就是學(xué)習(xí)這個(gè)隱層的權(quán)重矩陣

我們現(xiàn)在回來(lái)接著通過(guò)模型的定義來(lái)訓(xùn)練我們的這個(gè)模型。

input word和output word都會(huì)被我們進(jìn)行one-hot編碼。輸入被one-hot編碼后大多數(shù)維度上都是0（實(shí)際上僅有一個(gè)位置為1），所以向量稀疏，如果我們將一個(gè)1 x 10000的向量和10000 x 300的矩陣相乘，它會(huì)消耗相當(dāng)大的計(jì)算資源，為了高效計(jì)算，隱層權(quán)重矩陣看成了一個(gè)”查找表“（lookup table），進(jìn)行矩陣計(jì)算時(shí)，直接去查輸入向量中取值為1的維度下對(duì)應(yīng)的那些權(quán)重值。隱層的輸出就是每個(gè)輸入單詞的“嵌入詞向量”。

輸出層

經(jīng)過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層的計(jì)算，詞從一個(gè)1 x 10000的向量變成1 x 300的向量，再被輸入到輸出層。輸出層是一個(gè)softmax回歸分類器，它的每個(gè)結(jié)點(diǎn)將會(huì)輸出一個(gè)0-1之間的值（概率），這些所有輸出層神經(jīng)元結(jié)點(diǎn)的概率之和為1。

下面是一個(gè)例子，訓(xùn)練樣本為 (input word: “ants”， output word: “car”) 的計(jì)算示意圖。

2、CBOW

定義：給定上下文，來(lái)預(yù)測(cè)input word（與Skip-Gram相反）

3、模型加速

DNN模型最大的問(wèn)題在于從隱藏層到輸出的softmax層的計(jì)算量很大，因?yàn)橐?jì)算所有詞的softmax概率，再去找概率最大的值==>Hierarchical Softmax
Hierarchical Softmax（霍夫曼樹）提高模型訓(xùn)練的效率（時(shí)間復(fù)雜度O(n)==>O(logn)）。但是如果訓(xùn)練樣本里的中心詞w是一個(gè)很生僻的詞，那么霍夫曼樹向下走很久==>Negative Sampling
Negative Sampling：neg個(gè)負(fù)例，每次網(wǎng)絡(luò)更新不對(duì)所有負(fù)樣本更新

(1)Hierarchical Softmax

定義：Hierarchical Softmax是一種對(duì)輸出層進(jìn)行優(yōu)化的策略，輸出層從原始模型的利用softmax計(jì)算概率值改為了利用Huffman樹計(jì)算概率值。

哈夫曼樹怎么來(lái)的？ 將語(yǔ)料庫(kù)中詞以及詞出現(xiàn)的頻率構(gòu)造一顆哈夫曼樹，默認(rèn)左邊(編碼為0)是負(fù)類，右邊(編碼為1)是正類，哈夫曼樹的葉子節(jié)點(diǎn)就是語(yǔ)料庫(kù)中的所有的詞 ，詞頻越高的詞，距離根節(jié)點(diǎn)就越近。

從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)指定葉子節(jié)點(diǎn)的路徑是唯一的。softmax概率計(jì)算只需要沿著樹形結(jié)構(gòu)進(jìn)行就可以。如下圖所示，可以沿著霍夫曼樹從根節(jié)點(diǎn)一直走到葉子節(jié)點(diǎn)的詞w2

和之前的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)語(yǔ)言模型相比，霍夫曼樹的所有內(nèi)部節(jié)點(diǎn)就類似之前神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱藏層的神經(jīng)元，其中，根節(jié)點(diǎn)的詞向量對(duì)應(yīng)我們的投影后的詞向量(即隱含層詞向量)，而所有葉子節(jié)點(diǎn)就類似于之前神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)softmax輸出層的神經(jīng)元，葉子節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是詞匯表的大小。在霍夫曼樹中，隱藏層到輸出層的softmax映射是沿著霍夫曼樹一步步完成的，因此這種softmax取名為"Hierarchical Softmax"。

實(shí)現(xiàn)：在word2vec中，采用二元邏輯回歸的方法，即規(guī)定沿著左子樹走是負(fù)類(霍夫曼樹編碼1)，沿著右子樹走是正類(霍夫曼樹編碼0)。判別正類和負(fù)類的方法是使用sigmoid函數(shù)

優(yōu)勢(shì)：第一，二叉樹，將計(jì)算量為V降為log2V。第二，由于使用霍夫曼樹是高頻的詞靠近樹根，高頻詞需要更少的時(shí)間會(huì)被找到，這符合貪心優(yōu)化思想。

被劃分為左子樹而成為負(fù)類的概率為P(?)=1?P(+)。在某一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，要判斷是沿左子樹還是右子樹走的標(biāo)準(zhǔn)就是看P(?)、P(+)誰(shuí)的概率值大。而控制P(?)、P(+)誰(shuí)的概率值大的因素一個(gè)是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的詞向量，另一個(gè)是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的模型參數(shù)θ（需要訓(xùn)練）。

對(duì)于上圖中的w2，如果它是一個(gè)訓(xùn)練樣本的輸出，那么我們期望對(duì)于里面的隱藏節(jié)點(diǎn)n(w2,1)的P(?)概率大，n(w2,2)的P(?)概率大，n(w2,3)的P(+)概率大。

回到基于Hierarchical Softmax的word2vec本身，我們的目標(biāo)就是找到合適的所有節(jié)點(diǎn)的詞向量和所有內(nèi)部節(jié)點(diǎn)θ, 使訓(xùn)練樣本達(dá)到最大似然。

CBoW

(2)Negative Sampling

Word2Vec 的作者在它的第二篇論文中強(qiáng)調(diào)了三個(gè)創(chuàng)新：

• 將常見的單詞組合（word pairs）或者詞組作為單個(gè)“words”來(lái)處理。

• 對(duì)高頻次單詞進(jìn)行抽樣來(lái)減少訓(xùn)練樣本的個(gè)數(shù)。

• 對(duì)優(yōu)化目標(biāo)采用“negative sampling”方法，這樣每個(gè)訓(xùn)練樣本的訓(xùn)練只會(huì)更新一小部分的模型權(quán)重，從而降低計(jì)算負(fù)擔(dān)。

創(chuàng)新一：Word pairs and "phases"

作者指出，一些單詞組合（或者詞組）的含義和拆開以后具有完全不同的意義。比如“Boston Globe”是一種報(bào)刊的名字，而單獨(dú)的“Boston”和“Globe”這樣單個(gè)的單詞卻表達(dá)不出這樣的含義。因此，在文章中只要出現(xiàn)“Boston Globe”，我們就應(yīng)該把它作為一個(gè)單獨(dú)的詞來(lái)生成其詞向量，而不是將其拆開。同樣的例子還有“New York”，“United Stated”等。

在Google發(fā)布的模型中，它本身的訓(xùn)練樣本中有來(lái)自Google News數(shù)據(jù)集中的1000億的單詞，但是除了單個(gè)單詞以外，單詞組合（或詞組）又有3百萬(wàn)之多。

創(chuàng)新二：高頻詞抽樣

對(duì)于“the”這種常用高頻單詞，存在兩個(gè)問(wèn)題：

• 當(dāng)我們得到成對(duì)的單詞訓(xùn)練樣本時(shí)，("fox", "the") 這樣的訓(xùn)練樣本并不會(huì)給我們提供關(guān)于“fox”更多的語(yǔ)義信息，因?yàn)椤皌he”在每個(gè)單詞的上下文中幾乎都會(huì)出現(xiàn)。

• 由于在文本中“the”這樣的常用詞出現(xiàn)概率很大，因此我們將會(huì)有大量的（”the“，...）這樣的訓(xùn)練樣本，而這些樣本數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了我們學(xué)習(xí)“the”這個(gè)詞向量所需的訓(xùn)練樣本數(shù)。

Word2Vec通過(guò)“抽樣”模式來(lái)解決這種高頻詞問(wèn)題。

基本思想：對(duì)于訓(xùn)練原始文本中遇到的每一個(gè)單詞，它們都有一定概率被我們從文本中刪掉，而這個(gè)被刪除的概率與單詞的頻率有關(guān)。

抽樣率

ω_i 是一個(gè)單詞，Z(ω_i) 是 ω_i 這個(gè)單詞在所有語(yǔ)料中出現(xiàn)的頻次。如果單詞“peanut”在10億規(guī)模大小的語(yǔ)料中出現(xiàn)了1000次，那么 Z(peanut) = 1000/1000000000 = 1e - 6。

有一個(gè)參數(shù)叫“sample”，這個(gè)參數(shù)代表一個(gè)閾值，默認(rèn)值為0.001（在gensim包中的Word2Vec類說(shuō)明中，這個(gè)參數(shù)默認(rèn)為0.001，文檔中對(duì)這個(gè)參數(shù)的解釋為“ threshold for configuring which higher-frequency words are randomly downsampled”）。這個(gè)值越小意味著這個(gè)單詞被保留下來(lái)的概率越小（即有越大的概率被我們刪除）。

P(ω_i) 代表著保留某個(gè)單詞的概率：

圖中x軸代表著 Z(ω_i) ，即單詞 ω_i 在語(yǔ)料中出現(xiàn)頻率，y軸代表某個(gè)單詞被保留的概率。對(duì)于一個(gè)龐大的語(yǔ)料來(lái)說(shuō)，單個(gè)單詞的出現(xiàn)頻率不會(huì)很大，即使是常用詞，也不可能特別大。

從這個(gè)圖中，我們可以看到，隨著單詞出現(xiàn)頻率的增高，它被采樣保留的概率越來(lái)越小，我們還可以看到一些有趣的結(jié)論：

● 當(dāng) Z(ω_i) <= 0.0026 時(shí)，P(ω_i) = 1.0 。當(dāng)單詞在語(yǔ)料中出現(xiàn)的頻率小于 0.0026 時(shí)，它是 100% 被保留的，這意味著只有那些在語(yǔ)料中出現(xiàn)頻率超過(guò) 0.26% 的單詞才會(huì)被采樣。

● 當(dāng)時(shí) Z(ω_i) = 0.00746 時(shí)，P(ω_i) = 0.5，意味著這一部分的單詞有 50% 的概率被保留。

● 當(dāng) Z(ω_i) = 1.0 時(shí)，P(ω_i) = 0.033，意味著這部分單詞以 3.3% 的概率被保留。

創(chuàng)新三：負(fù)采樣（negative sampling）

訓(xùn)練一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)意味著要輸入訓(xùn)練樣本并且不斷調(diào)整神經(jīng)元的權(quán)重，從而不斷提高對(duì)目標(biāo)的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。每當(dāng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過(guò)一個(gè)訓(xùn)練樣本的訓(xùn)練，它的權(quán)重就會(huì)進(jìn)行一次調(diào)整。

vocabulary的大小決定了我們的Skip-Gram神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將會(huì)擁有大規(guī)模的權(quán)重矩陣，所有的這些權(quán)重需要通過(guò)我們數(shù)以億計(jì)的訓(xùn)練樣本來(lái)進(jìn)行調(diào)整，這是非常消耗計(jì)算資源的，并且實(shí)際中訓(xùn)練起來(lái)會(huì)非常慢。

negative sampling解決了這個(gè)問(wèn)題，它是用來(lái)提高訓(xùn)練速度并且改善所得到詞向量的質(zhì)量的一種方法。不同于原本每個(gè)訓(xùn)練樣本更新所有的權(quán)重，負(fù)采樣每次讓一個(gè)訓(xùn)練樣本僅僅更新一小部分的權(quán)重，這樣就會(huì)降低梯度下降過(guò)程中的計(jì)算量。

當(dāng)我們用訓(xùn)練樣本 ( input word: "fox"，output word: "quick") 來(lái)訓(xùn)練我們的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，“ fox”和“quick”都是經(jīng)過(guò)one-hot編碼的。如果我們的vocabulary大小為10000時(shí)，在輸出層，我們期望對(duì)應(yīng)“quick”單詞的那個(gè)神經(jīng)元結(jié)點(diǎn)輸出1，其余9999個(gè)都應(yīng)該輸出0。在這里，這9999個(gè)我們期望輸出為0的神經(jīng)元結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的單詞我們稱為“negative” word。

當(dāng)使用負(fù)采樣時(shí)，我們將隨機(jī)選擇一小部分的negative words（比如選5個(gè)negative words）來(lái)更新對(duì)應(yīng)的權(quán)重。我們也會(huì)對(duì)我們的“positive” word進(jìn)行權(quán)重更新（在我們上面的例子中，這個(gè)單詞指的是”quick“）。

在論文中，作者指出指出對(duì)于小規(guī)模數(shù)據(jù)集，選擇5-20個(gè)negative words會(huì)比較好，對(duì)于大規(guī)模數(shù)據(jù)集可以僅選擇2-5個(gè)negative words。

隱層-輸出層擁有300 x 10000的權(quán)重矩陣。如果使用了負(fù)采樣的方法我們僅僅去更新我們的positive word-“quick”的和我們選擇的其他5個(gè)negative words的結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)重，共計(jì)6個(gè)輸出神經(jīng)元，相當(dāng)于每次只更新 300 x 6 = 1800 個(gè)權(quán)重。對(duì)于3百萬(wàn)的權(quán)重來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于只計(jì)算了0.06%的權(quán)重，這樣計(jì)算效率就大幅度提高。

選擇negative words

使用“一元模型分布（unigram distribution）”來(lái)選擇“negative words”。

一個(gè)單詞被選作negative sample的概率跟它出現(xiàn)的頻次有關(guān)，出現(xiàn)頻次越高的單詞越容易被選作negative words。

代碼中的公式實(shí)現(xiàn)如下：

每個(gè)單詞被賦予一個(gè)權(quán)重，即 f(ω_i)， 它代表著單詞出現(xiàn)的頻次。

公式中開3/4的根號(hào)完全是基于經(jīng)驗(yàn)的，論文中提到這個(gè)公式的效果要比其它公式更加出色。你可以在google的搜索欄中輸入“plot y = x^(3/4) and y = x”，然后看到這兩幅圖（如下圖），仔細(xì)觀察x在[0,1]區(qū)間內(nèi)時(shí)y的取值，x^(3/4) 有一小段弧形，取值在 y = x 函數(shù)之上。