從牛頓時(shí)代以后，計(jì)算圓周率就不是必要的工作了，而是一種消遣。牛頓計(jì)算的時(shí)候，用的是面積法，或者反正弦函數(shù)的多項(xiàng)式展開。

歐拉也用一種展開式，反正切的展開式。但是，很獨(dú)特，與現(xiàn)在常用的反正切大為不同。現(xiàn)在常用的反正切展開式是：

反正切的一種展開

這個(gè)公式在歐拉出生前就存在了，為什么呢？據(jù)我考證，歐拉出生于1707年，馬青發(fā)現(xiàn)馬青公式的年份是1706年。馬青早就把圓周率計(jì)算超過了100位。馬青用的是這種展開。這種展開，是1671年2月15日，詹姆斯-格雷戈里發(fā)現(xiàn)的。公式的限制條件是x大于-1,小于等于1。因此，歐拉計(jì)算圓周率純屬消遣。

歐拉使用的獨(dú)特的反正切展開：

歐拉的反正切公式

盡管直接用arctan(1)可以得到一個(gè)簡潔優(yōu)美的表達(dá)式，但傳說中歐拉使用的是PI/4= arctan(1/7)+arctan(3/4) 來計(jì)算的。

復(fù)數(shù)的乘法

這樣兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積表明，可以這樣選擇。歐拉喜歡用復(fù)數(shù)，不太用正切的和角公式。

反正切之和表示

關(guān)鍵是，1/7并沒有帶來我們通常以為的麻煩，在歐拉的公式中，變成了0.02的冪。歐拉用這個(gè)公式，在1個(gè)小時(shí)之內(nèi)完成了20位圓周率的計(jì)算。現(xiàn)代的人，必須用計(jì)算機(jī)才能完成。
前幾項(xiàng)的結(jié)果如下：
2.48 0.46826667 0.13282986 0.040952686 0.01310424
0.004288649 0.0014251509 4.788507e-4 1.6224588e-4
5.5334385e-5 1.897179e-5 6.5328945e-6 2.2577683e-6
7.82693e-7 2.720533e-7 9.477986e-8 3.308679e-8
1.1570922e-8 4.05295e-9
1.4216501e-9 4.9931126e-10
1.7557178e-10 6.1801265e-11 2.1775085e-11