預備知識：

0. 模運算基本性質

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p

(a^b) % p = ((a % p)^b) % p

推論： （符號定義，模等：a≡b (% p) <=> a%p = b % p)

若a≡b (% p)，則對于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);

若a≡b (% p)，則對于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);?

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)， (a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；

證明方法: a = k1*p + a%p; b = k2*p + b % p, 將這兩個式子帶入上面等式的左邊，即可求證

1. 互質（coprime）

兩個數的最大公因子是1，則這兩個數互質

2. 歐拉函數

定義：φ(n) 表示小于n且與n互質的數的個數

歐拉函數：如果p是一個質數，則φ(p^k) = p^k - p^(k-1) = p^k(1-1/p)

證明：
p是大于1的整數，則p和p-1構成互質關系，比如57和56
小于等于p^k的正整數一共p^k個，和p^k不互質的數，一定是p的倍數，他們是 p, 2*p, 3*p, ..... p^(k-1) * p
所以小于等于p^k 與 p^k互質的數，有 p^k - p^(k-1)個

推理：如果p，q是質數，φ(p * q) = φ(p) * φ(q)

證明：網搜中國剩余定理，略

3. 歐拉定理?

歐拉定理:?
? ? 如果兩個正整數a和n互質，則n的歐拉函數 φ(n) 滿足：a^φ(n) ≡ 1 (mod? n)
? （歐拉函數證明）
費馬小定理:?
? ? a是不能被素數p整除的正整數，則有a^(p-1) ≡ 1 (mod p) => 歐拉定理代進來就可以證明了
個人推理：
? ? 如果兩個正整數a和n互質，則n的歐拉函數 φ(n) 滿足：a^(k * φ(n))?≡ 1 (mod? n)
個人推理證明:
a^(k * φ(n)) % p = ((a ^ φ(n) )^k) % p = ((a ^ φ(n) ) % p)^k % p = 1^k % p = 1

歐拉定理的應用的例子：計算 7^222 的個位數
解：
∵ 7 和 10 互質，φ(10) = 4 ∴ 7^4 mod 10 = 1
7^222 % 10 = ((7^4)^55 %10)* (7^2%10) = 7^2 % 10 (參見歐拉定理個人推理) = 9
帶入 (a^b) % p = ((a % p)^b) % p， 7^222 = (7^4)^55 mod?

4. 模反元素

定義：
? ? ab?≡ 1（mod n)，其中a和n互質，則稱b為a的對n的模反元素
定理：
? ? 如果a和n互質，則a的模反元素必定存在
證明：
a * a^(φ(n)-1) = a ^ φ(n) ; 根據歐拉定理：a ^ φ(n)?≡ 1（mod n)
那么?a^(φ(n)-1) 就是a對n的模反元素，必然是存在的

RSA原理&過程

秘鑰生成過程

1. ?p 和 q是兩個大素數

2. n = p * q

3. φ(n) = (p-1) * (q-1)? （參見歐拉定理推理）

4.?找一個與φ(n)互質的數e ?且1 < e < φ(n)?

5. 找到一個正整數d, d * e ≡ 1（mod φ(n)) （d為e的模反元素）
求解過程: （e的存在性，就是歐拉定理）
d * e - 1 = k * φ(n) => 等效于求解 d * e + k * φ(n) = 1, 其中 e, φ(n) 已知，
因為這個方程是一條直線，可以得到無數個解，能某一種的解法通常能得到一組解

6. 綜上，這個時候，公鑰和私鑰產生了
公鑰: (e, n)
私鑰：(d, n)

安全性證明

（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d

（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。

（3）n=pq。只有將n因數分解，才能算出p和q。=> npc問題

加密過程: (M 明文；C 密文）

1. 將明文內容，適當切割，這樣每一段明文能用 0 ~ n-1 的一個整數表示

2. 對于每一段明文M

M^e?≡ C (mod n)： 公鑰加密 C = M^e mod n

3. 解密時

C^d?≡ M (mod n)：私鑰解密 M = C^d mod n

加密和解密的證明

要證明?C^d?≡ M (mod n) ①
∵ M^e?≡ C (mod n)? ∴ C = M^e - kn ②；k為一個常數
將②代入①，
只需證明
(M^e - k*n)^d?≡ M (mod n)? ②? ? ?
根據本文開頭同余的定義
(M^e - k*n)^d % n =?(M^e%n - k*n%n)^d % n = (M^e%n)^d%n =? M^(ed) %n
所以要證明②，只需證明
?M^(ed)?≡?M (mod n) ③
∵?ed ≡ 1 (mod φ(n))? ∴?ed = hφ(n)+1, 代入 ③得到，只需證明
?M^(hφ(n)+1)?≡M (mod n)? ④

接下來分兩種情況:
A. M與N互質
M^(hφ(n)+1) =?M^(hφ(n)) * M 根據歐拉定理，M^(hφ(n)) mod n = 1, 得證

B. M與N不互質 (有時間了再推導一下）
因為 N = p * q兩個素數的乘積，∴ M = kp or M = kq，只需證明M=kp的情況，代入M = kp, 有：
M^(hφ(n)+1) = （kp) ^ (hφ(n)+1) = (kp)^(h(p-1)(q-1)) * kp ⑤
∵ (kp)^φ(q)??≡ 1 (mod q) …… p,q 互質，歐拉定理
∴(kp)^(q-1)?≡ 1 (mod q) 代入⑤有
?(kp)^(h(p-1)(q-1)) * kp?≡ (kp)^(q-1) (mod n)??≡ (kp)^(p-1) (mod (p*q))?