題目描述

原題地址：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/
給定一個正整數 n，將其拆分為至少兩個正整數的和，并使這些整數的乘積最大化。 返回你可以獲得的最大乘積。

示例 1:

輸入: 2
輸出: 1
解釋: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

輸入: 10
輸出: 36
解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

說明: 你可以假設 n 不小于 2 且不大于 58。

解法1——遞歸

遞歸的思路無非就是自頂向上，很容易想出來，代碼如下

//遞歸-自頂向下
public static int integerBreak(int n) {
    return dfs(n);
}

public static int dfs(int n){
    if(n == 1 || n == 2){
        return 1;
    }
    int res = 0;
    for(int i = 1;i < n;i++){
        res = Math.max(res,Math.max(i * dfs(n - i),i * (n - i)));
    }
    return res;
}

這種方法雖然比較容易想出來，但是中間重復計算的非常多，實際在LeetCode中不能AC。

解法2——動態規劃

動態規劃那么就是自底向上的方法，根據上一步的遞歸，狀態轉移方程為

其中，為區間之間的數。

//動態規劃-自下向上
public static int integerBreak2(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[2] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        for(int j = 1;j <= i - 1;j++){
            dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j * dp[i - j],j * (i - j)));
        }
    }
    return dp[n];
}

解法3——數學分析

根據高中學習的均值不等式，可以得到

設，那么目標積為

對上述函數求導數，可以得到

當時取得最大值，那么離最近的兩個整數為2和3，下面再來考慮時選擇3還是選擇2。

假設一個數，則乘積為,對其兩邊取對數可以得到

由于，所以是越大越好，所以應該盡可能的多取3.

//數學方法
public static int integerBreak3(int n){
    if(n == 2){
        return 1;
    }
    if(n == 3){
        return 2;
    }
    int res = 1;
    while(n > 4){
        res *= 3;
        n -= 3;
    }
    return res * n;
}