1. 驗證角谷猜想
對于每一個正整數，如果它是奇數，則對它乘3再加1，如果它是偶數，則對它除以2，如此循環，最終都能夠得到1。這是日本數學家角谷靜夫發現的角谷猜想，又稱3n+1猜想。編程驗證。
1976年的一天，《華盛頓郵報》于頭版頭條報道了一條數學新聞。文中記敘了這樣一個故事：
70年代中期，美國各所名牌大學校園內，人們都像發瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩弄一種數學游戲。這個游戲十分簡單：任意寫出一個自然數N，并且按照以下的規律進行變換：
如果是個奇數，則下一步變成3N+1。
如果是個偶數，則下一步變成N/2。
不單單是學生，甚至連教師、研究員、教授與學究都紛紛加入。為什么這種游戲的魅力經久不衰？因為人們發現，無論N是怎樣一個數字，最終都無法逃脫回到谷底1。準確地說，是無法逃出落入底部的4-2-1循環，永遠也逃不出這樣的宿命。
這就是著名的“冰雹猜想” 。
強悍的27
冰雹的最大魅力在于不可預知性。英國劍橋大學教授John Conway找到了一個自然數27。雖然27是一個貌不驚人的自然數，但是如果按照上述方法進行運算，則它的上浮下沉異常劇烈：首先，27要經過77步驟的變換到達頂峰值9232，然后又經過34步驟到達谷底值1。全部的變換過程（稱作“雹程”）需要111步，其頂峰值9232，達到了原有數字27的342倍多，如果以瀑布般的直線下落（2的N次方）來比較，則具有同樣雹程的數字N要達到2的111次方。其對比何其驚人！
但是在1到100的范圍內，像27這樣的劇烈波動是沒有的（54等27的2的次方倍數的數除外）。
2. 計算2020-1+2-3+4-5+……±n的值。（n為奇數時減，n為偶數時加）
3. 蝴蝶效應
美國氣象學家愛德華·羅倫茲（Edward N.Lorenz）1963年在一篇提交紐約科學院的論文中分析了這個效應。“一個氣象學家提及，如果這個理論被證明正確，一只海鷗扇動翅膀足以永遠改變天氣變化。”在以后的演講和論文中他用了更加有詩意的蝴蝶。對于這個效應最常見的闡述是：“一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可以在兩周以后引起美國得克薩斯州的一場龍卷風。”其原因就是蝴蝶扇動翅膀的運動，導致其身邊的空氣系統發生變化，并產生微弱的氣流，而微弱的氣流的產生又會引起四周空氣或其他系統產生相應的變化，由此引起一個連鎖反應，最終導致其他系統的極大變化。他稱之為混沌學。當然，“蝴蝶效應”主要還是關于混沌學的一個比喻。也是蝴蝶效應的真實反應。不起眼的一個小動作卻能引起一連串的巨大反應。
蝴蝶效應是說，初始條件十分微小的變化經過不斷放大，對其未來狀態會造成極其巨大的差別。有些小事可以糊涂，有些小事如經系統放大，則對一個組織、一個國家來說是很重要的，就不能糊涂。“蝴蝶效應”的初始就是混沌的，在不準確或者說是不精確中產生的，所以什么樣的可能都會發生。蝴蝶效應是混沌學理論中的一個概念。它是指對初始條件敏感性的一種依賴現象：輸入端微小的差別會迅速放大到輸出端，蝴蝶效應在經濟生活中比比皆是。
編程驗證：n的初始值設為1，讓它產生極小偏差。減0.01后得到的值是0.99，加0.01后得到的值是1.01，以后每次得到的值都自己乘自己，經過15次迭代后分別是多少？
4. 韓信點兵
“有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？”
意思是說：有一堆物體不知道有幾個。如果三個三個分組，最后會剩下2個；如果五個五個分組，最后會剩下3個；如果七個七個分組，最后會剩下2個。問這些物體一共有幾個？
后來，人們為了讓這個問題更具體化，就把它改編成“韓信點兵”問題。
有一次戰斗后，韓信要清點士兵的人數。讓士兵三人一組，就有兩人沒法編組；五人一組，就有三人無法編組；七人一組，就有兩人無法編組。那么請問這些士兵一共有幾人？
5. 在科學研究的領域，對數據的精度要求非常高，有時需要計算到小數點后10位，甚至小數點后100為，做到精益求精。
是編寫一程序，計算 1÷7 精確到小數點后100位。
6. 輸入a,b,n，計算a÷b，精確到n。
