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經濟學超邊際分析的漏洞

在李嘉圖的比較優勢的例子中，李嘉圖使用了力量F作為分析因素，在廣義動量定理Fαt=nmV中，力量F，方向α，時間t和作用點都能對成果nmV產生影響。經濟學家楊小凱在《發展經濟學-超邊際與邊際分析》所使用的比較優勢的例子是基于不同的速度V的。我們可以通過不同的時間t的分配來獲得不同的成果。

本文將分析不同的速度V的比較優勢下的例子，順便分析楊小凱的超邊際分析和專業化分工理論的漏洞。在書中，楊小凱假定1國在1商品上的勞動生產率V11=2，在2商品上的勞動生產率為V12=1；2國在在x商品上的勞動生產率V21=3，在2商品上的勞動生產率為V22=4。在《發展經濟學-超邊際與邊際分析》書中的圖形如下圖所示，FB線段為2國的勞動生產率，CD為1國的勞動生產率。因為兩個所工作的時間t是相同的，可以設置為單位1，所以勞動生產率乘以時間1可以得到產量，下圖也是產量的示意圖。楊小凱將線段AB和CD平移，得到四邊形EFGH，楊小凱證明了F點為專業化分工的角點解，并且F點的社會總產出最大為6，其中2國對應點F，專業化生產2商品，產出4個2商品；1國對應點F，專業化生產1商品，產出的2單位的1商品（如圖6-31所示）。

圖6-31楊小凱所舉比較優勢例子

楊小凱的推理為：因為V21=3>V11=2；V22=4>V12=1，所以2國在x和商品上都具有絕對優勢，并且V11/V12>V21/V22，所以1國在1產品上具備比較優勢，2國在2產品上具備比較優勢，所以按照李嘉圖的比較優勢原理，1國應該專業化生產1產品，2國應該專業化生產2產品，然后兩國進行交換，就能達到社會福利最大化。這與楊小凱所證明的角點解是相同的。

如果V22=5，2國在1產品和2產品上都具有絕對優勢，而V11/V12>V21/V22，1國在1產品上具有比較優勢，所以按照李嘉圖的比較優勢理論，1國專業化生產1產品，2國專業化生產2產品，兩國進行交易可以達到兩國福利最大化。楊小凱在書中說：“產出組合EHG同有比較優勢的分工有關。我們在后邊將要證明，此種生產情況不可能在均衡中存在。”如下圖所示，產量最大點有兩個，一個是H，一個是G，兩個點的產量相同。楊小凱的超邊際分析證明不了G點在均衡中不存在（如圖6-32所示）。

圖6-32楊小凱所舉比較優勢例子的反例

在MATLAB中輸入如下命令，可以得到函數的定義域和值域的圖形，如下圖所示（如圖6-33所示）。

[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);

z=2*x+1*(1-x)+5*y+4*(1-y);

surf(x,y,z),shading flat

title('楊小凱超邊際分析反例的定義域和值域')

xlabel('x英做衣料勞動數')

ylabel('y葡做衣料勞動數')

zlabel('z衣料和葡萄酒總產量')

圖6-33楊小凱超邊際分析反例的定義域和值域

在楊小凱的論述中，F點為比較優勢，H點為比較劣勢，H點是不能獲得的。但是在圖形中，F點和H點的最大值均為6，是否能取到此點取決于自給自足時的初始狀態，與比較優勢無關，這一點會在下邊進行論述。

數學分析

設兩國的工作時間均為T，為了計算方便，設T=1，即T的取值范圍為[0,1]，所有國家均可選擇以任意的時間比例分配在產品1和2上邊，以便產生不同的成果。設1國用在生產1產品的時間為x，則1的產量為V11x；則生產2產品的時間為1-x，2的產量為V12(1-x)。設2國用在生產1產品的時間為y，則2的產量為V21y；則生產2產品的時間為1-y，2的產量為V22(1-y)。設總產量為z，求z的最大值，則z等于

上式為楊小凱所舉例子的數學函數。其中前兩個約束為定義域約束，表示自變量的取值范圍。后兩個約束是為了滿足帕累托最優而設置的約束，即1國與2國的1產品的產量不少于之前的最小值，1國與2國的2產品的產量不少于之前最小值（如表6-21所示）。

表6-21基于速度分析的比較優勢

在自給自足的條件下，1國1產品的產量為0.4，2產品的產量為0.8。2國1產品的產量為0.9，2產品的產量為2.8。所以在約束函數中2國生產的1產品不小于1.3，生產的2產品不小于2.8。對上述函數進行優化求解，在滿足約束的條件下，x取大值1，即1國將所有時間用在生產1產品上，專業化生產1產品；y取最小值0，即2國將所有時間用在生產2產品上，專業化生產2產品。總產量為6，比自給自足時的4.9多，兩國以1:1.55比例進行交換，交換后兩國在兩種產品上的狀況都比自給自足時好。利用MATLAB輸入如下命令，可以得到如下圖形（如圖6-34所示）。

[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);

z=(2*x+1*(1-x)+3*y+4*(1-y)).*((2*x+3*y>=0.4+0.9)&(1*(1-x)+4*(1-y)>=0.8+2.8));

surf(x,y,z),shading flat

圖6-34楊小凱所舉比較優勢的例子

雙方分工后的狀態取決于分工前雙方的狀態，如果2國分工前1產品的總產量大于2.5，那么采取李嘉圖專業分工的方式，專業化生產比較優勢的產品，那么1國專業生產1產品，2國專業生產2產品，1產品的總產量最大為2單位，不滿足帕累托約束。如下表所示，在自給自足狀態下，1國1產品的產量為1，2產品產量為0.5。2國1產品產量為1.5，2產品產量為2（如表6-22所示）。

表6-22不同初始狀態和不同策略的結果1

按照李嘉圖的比較優勢原理，1國應該專業生產有比較優勢的產品1，2國專業生產產品2，然后進行交易。但專業化1產品的總產量為2，小于自給自足時的總產量2.5，進行交易，必定有一國在此產品上獲得的數量小于自給自足時的狀態。如果2國以1:0.5進行交易，那么2國只能獲得1單位的1產品，小于自給自足時的1.5單位，不滿足帕累托約束。

當對函數進行優化時，優化約束采用兩個的1產品總產量大于等于2.5，2產品總產量大于等于2.5。優化后得到1國專業化生產1產品；2國用0.1667單位時間生產1產品，用0.8333單位時間生產2產品。兩國以1:0.9進行交換，1國獲得1單位1產品，與自給自足時相同，獲得0.9單位2產品，比自給自足時多0.4單位。2國獲得1.5單位1產品，與自給自足時相同，獲得2.433單位2產品，比自給自足時多0.433單位。優化后社會福利比自給自足時增加。

改變約束，要求兩國1產品的總產量不低于2.7進行優化，得到優化2的結果。1國專業化生產1產品；2國用0.233單位時間生產1產品，用0.7667單位時間生產2產品。兩國以0.9:0.8進行交換，1國獲得1.1單位的1產品，比自給自足時多0.1單位；獲得0.8單位2產品，比自給自足多0.3單位。2國獲得1.6單位1產品，比自給自足時多0.1單位，獲得3.2068單位2產品，比自給自足時多2.068單位。兩國在2種產品上的獲得量均增加，優化2的社會福利比自給自足時增加。

改變2國自給自足時的生產速度，然后進行分析。在楊小凱所舉的例子中，兩國總產量函數為z=x-y+5，x和y的符號不同，在滿足約束的條件下，x取最大值，y取最小值，函數z可以獲得最大值，x=1，y=0為滿足某個初始狀態時的解，得到1國專業化生產1產品，2國專業化生產2產品。改變2國生產1產品的速度從3變成5，得到總產量函數z=x+y+5，使x和y為同號。

初始狀態如下表所示，1國生產1產品的速度為2，產量為0.4；生產2產品的速度為1，產量為0.8。2國生產1產品的速度為5，產量為1.5，生產2產品的速度為4，產量為2.8。

表6-23不同初始狀態和不同策略的結果2

當采用李嘉圖比較優勢的原則時，1國專業化生產1產品，獲得2單位產量；2國專業化生產2產品，獲得4單位的產量，總產量為6單位。兩國采用1.55:1進行交易，1國獲得0.45單位1產品，比自給自足時多了0.05單位；獲得1.55單位2產品，比自給自足時多了0.05單位。2國獲得1單位1產品，比自給自足時多了0.2單位；獲得3單位2產品，比自給自足時多了0.2單位。總產量從5.5上升到6，比自給自足時多了0.5單位。專業化后兩國的福利均增加（如表6-23所示）。

可以在MATLAB中輸入如下命令，獲得專業化時的圖形，其中1產品總產量不小于1.9，2產品不小于4。李嘉圖比較優勢的專業化生產為特定約束下的一個解（如圖6-35所示）。

[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);

z=(2*x+1*(1-x)+5*y+4*(1-y)).*((2*x+5*y>=1.9)&(1*(1-x)+4*(1-y)>=4));

surf(x,y,z),shading flat

圖6-35比較優勢采用專業化方法，1產品≥1.9,2產品≥4

采用函數優化時，要求1產品的總產量不小于自給自足時的1.9，2產品總產量不小于自給自足時的3.6，得到的結果如上表優化一欄所示。1國專業化生產1產品，獲得2單位產量；2國用0.1單位時間生產1產品，獲得0.5單位1產品；使用0.9單位時間生產2產品，獲得3.6單位2產品。總產量為6.1單位。兩國采用1.3:0.8進行交易，1國獲得0.7單位1產品，比自給自足時多了0.3單位；獲得0.8單位2產品，與自給自足時相同。2國獲得1.8單位1產品，比自給自足時多了0.3單位；獲得2.8單位2產品，與自給自足時相同。總產量從5.5上升到6.1，比自給自足時多了0.6單位。優化后兩國的福利均增加。

在MATLAB中輸入如下命令，可以得到1產品不小于1.9，2產品不小于3.6時的圖形（如圖6-36所示）。

[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);

z=(2*x+1*(1-x)+5*y+4*(1-y)).*((2*x+5*y>=1.9)&(1*(1-x)+4*(1-y)>=3.6));

surf(x,y,z),shading flat