探索數(shù)學(xué)極限
一般來(lái)說(shuō)，零維到三維毫無(wú)爭(zhēng)議的。零維就是一個(gè)點(diǎn)。一維就是一條線。二維就是平面。三維就是我們身處的空間，是一個(gè)立體的空間。
到了再高維，爭(zhēng)論就比較多了。網(wǎng)上大抵有這樣的說(shuō)法：四維就是在三維的基礎(chǔ)上加一個(gè)時(shí)間軸。高于四維就在時(shí)間軸上做文章，比如五維就是三維空間加二維時(shí)間，也就是我們常聽(tīng)到的平行宇宙的概念。六維則是三維空間加三維時(shí)間——不只是平行宇宙，還可以穿梭于任意的時(shí)空并可以改變時(shí)空。
將六維看作是一個(gè)點(diǎn)的話，拉成一條線就成了七維，然后再擴(kuò)展成一個(gè)平面就是八維，再擴(kuò)展成立體就是九維。還有一種說(shuō)法，八維中的每個(gè)宇宙的物理性質(zhì)、化學(xué)反應(yīng)規(guī)則都不一樣，到了九維更了不得，你可以任意改變宇宙規(guī)則。（難道說(shuō)造物主生活在九維空間？）
再高階就是十維，十維就是零維，就成了一個(gè)點(diǎn)，里邊包含了無(wú)限的時(shí)空，無(wú)限的可能性及無(wú)限的無(wú)限等等。（難道宇宙爆炸學(xué)說(shuō)就是宇宙從零維的超維變化？）
但是，上面這種說(shuō)法明顯就是身處三維空間的人才會(huì)有的理論：空間沒(méi)有超出三個(gè)維度，時(shí)間也沒(méi)有超出三個(gè)維度，再加上宇宙規(guī)則，實(shí)在沒(méi)有可說(shuō)的，到了十維就成了零維。這顯然是不準(zhǔn)確的。我認(rèn)為加入了時(shí)間維度的高維，就不能說(shuō)是高維空間，只能說(shuō)是高維時(shí)空。時(shí)間是一個(gè)偽維度，因?yàn)闀r(shí)間并不會(huì)與空間中的維度互相垂直，度量也不同。舉例來(lái)說(shuō)，我們現(xiàn)在身處三維空間，用上面的說(shuō)法也算是四維時(shí)空，那我們到底是在三維還是四維？如上的說(shuō)法是將時(shí)空和空間混為一談了。
四維或高維空間（不含時(shí)間維度）是存在的，這個(gè)空間要有四個(gè)或多個(gè)維度與前面所有的維度都互相垂直才可以，只是身處三維空間的我們無(wú)法想象罷了。但是高維空間在我們?nèi)S空間里仍然有跡可循。就是通過(guò)我們以三維的角度來(lái)觀察二維來(lái)想象更高維的人來(lái)觀察我們是怎么回事，再反推高維空間是什么樣子的。
其實(shí)四維空間在我們?nèi)S空間里有時(shí)也會(huì)露出一鱗半爪，就比如說(shuō)克萊因瓶。克萊因瓶從理論上來(lái)講，它就是一個(gè)四維空間的物品。
這本書(shū)名為《我們?cè)谒木S空間可以做什么》一一用四維空間作為一個(gè)噱頭，但書(shū)中重點(diǎn)講述的則是關(guān)于數(shù)學(xué)的東西。從最簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)開(kāi)始，到各種更高階的圖形、數(shù)、高維空間，再到無(wú)窮是什么等等，將數(shù)學(xué)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，為我們描繪了一個(gè)無(wú)窮無(wú)盡的數(shù)學(xué)空間。高維也只是數(shù)學(xué)家們研究的一個(gè)方向。
在現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域，所謂的高維常用于數(shù)學(xué)建模。就比如說(shuō)三維空間一個(gè)點(diǎn)需要三個(gè)坐標(biāo)，如果同時(shí)要知道兩個(gè)點(diǎn)，則需要六個(gè)坐標(biāo)，組合在一起就用到了六個(gè)維度。如果一個(gè)函數(shù)需要n個(gè)輸入，得到N個(gè)輸出，則需要n+N維。
但是這個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用上的高維度，與高維空間還是有所不同的。
還好，人類(lèi)擁有智慧，雖然無(wú)法想象高維空間，卻可以做邏輯推演，來(lái)反推更高維的空間是怎么樣的。這本書(shū)里有一個(gè)很有趣的推演，用一個(gè)超立方體來(lái)圍住一個(gè)超球體。從二維平面一個(gè)正方形圍住一個(gè)圓，到三維空間一個(gè)正立方體圍住一個(gè)球體，就這樣一直做推演，從圓到球再到高維的超球體，從正方形到正立方體再到高維的超立方體，最后計(jì)算出來(lái)的超維空間的球體竟然比困住它的超立方體還要大N多倍。推演到最后，超球體竟然是帶“刺”的。（我三維的腦袋瓜完全無(wú)法想象）
高維空間是我們無(wú)法想象的，同樣，書(shū)中提到的“無(wú)窮”也是我們無(wú)法想象的。那是未知的空間，仿佛是神的領(lǐng)域，我等凡人是不能窺視的，可能窺視一眼，就會(huì)將我們以往所有的認(rèn)知推翻。就比如說(shuō)正整數(shù)的和1+2+3+4+5一直加到無(wú)窮，最終竟然推導(dǎo)出等于-1/12這樣一個(gè)確值。（我腦袋瓜嗡嗡的）
從數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展來(lái)看，從最初的正整數(shù)，到小數(shù)、分?jǐn)?shù)，到0、負(fù)數(shù)、虛數(shù)，再到多維數(shù)，從點(diǎn)、線、面、曲面，到紐結(jié)，到高維空間。數(shù)學(xué)也衍生出多個(gè)分支，如算術(shù)、幾何、數(shù)論、圖論、拓?fù)涞鹊取Ｔ偌由细鞣N公理、推論、猜想。每一種數(shù)學(xué)上新名詞的出現(xiàn)，都在挑戰(zhàn)著人類(lèi)認(rèn)知的極限。
而這本《我們?cè)谒木S空間可以做什么》書(shū)中，作者以十分淺顯的語(yǔ)言，以18堂課的形式為我們講述數(shù)學(xué)的前世今生，隨著這本書(shū)讀到后面，知識(shí)也越來(lái)越不容易理解。而這些知識(shí)都是數(shù)學(xué)家們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域取得的一個(gè)又一個(gè)階段性的勝利。通過(guò)數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展，展望未來(lái)的數(shù)學(xué)空間究竟在哪里。
到底數(shù)學(xué)的極限在哪里誰(shuí)也不知道，只能通過(guò)數(shù)學(xué)家們不斷地用已知的理論去歸納去推理去證明去實(shí)踐未知。有些數(shù)學(xué)猜想，可能現(xiàn)在看來(lái)還不知道會(huì)派上何種用場(chǎng)，但是誰(shuí)也不敢保證未來(lái)的某一天不會(huì)發(fā)揮出巨大的作用。或許等到有一天，在我們不知道的數(shù)學(xué)空間里，打開(kāi)一扇新的門(mén)時(shí)，可能我們迎來(lái)的又是一番新天地。
