背景

霍夫變換應(yīng)該是在邊緣檢測的基礎(chǔ)上的，如果要在如下這張圖中做直線的檢測，opencv有很多邊緣檢測的算法得到一個8bit的圖，本文所述的霍夫變換的原理也是在這個邊緣檢測的結(jié)果上進行的

邊緣檢測結(jié)果

算法基礎(chǔ)

極坐標(biāo)變換

笛卡爾坐標(biāo)系中的任意一點（x,y）都可以表示成ρ=x·cosθ+y·sinθ，的形式，而后者（ρ,θ）是極坐標(biāo)。而在這個極坐標(biāo)系下，一個（ρ, θ）是可以表示一條直線，如下圖。

（ρ, θ）表示的直線

這樣的直線的表示方式具有以下性質(zhì)：

1. 極坐標(biāo)中的一個點（ρ, θ）就表示笛卡爾坐標(biāo)系中的一條直線
2. 笛卡爾坐標(biāo)系中過某一個點（x,y）的所有直線在極坐標(biāo)中變?yōu)橐粭l正弦曲線

證明：假設(shè)點（x,y），令sinα=x/sqrt(x²+y²)，cosα=y/sqrt(x²+y²)。
ρ=sqrt(x²+y²)·(sinα·cosθ+cosα·sinθ)=sqrt(x²+y²)·sin(α+θ)。即表示一條振幅為sqrt(x²+y²)，相位為α的正弦曲線。

笛卡爾坐標(biāo)系中過某一點的直線在極坐標(biāo)下表示為一條正弦曲線

3. 笛卡爾坐標(biāo)系中過點A和B的直線（直線AB），在極坐標(biāo)系中表現(xiàn)為兩條正弦曲線的相交（即一條正弦曲線表示過A的所有直線，一條正弦曲線表示過B的所有直線，兩條正弦曲線的交點就表示直線AB）

這張圖表明五點共線，就是五條正弦曲線交點處表示的那條直線

算法

現(xiàn)假設(shè)我們已經(jīng)有上文中所述的邊緣檢測的結(jié)果，這個邊緣檢測的結(jié)果與原圖等大，邊緣檢測結(jié)果中的值都是0-255之間的，假設(shè)一個原圖為640*480，其中邊緣點有n個（n<=640*480）。我們可以針對每一個邊緣點在極坐標(biāo)中畫一條正弦曲線（上述的性質(zhì)2），共n條正弦曲線。然后分別這些正弦曲線兩兩之間的交點坐標(biāo)是多少（只需要0~π之間的交點即可），時間復(fù)雜度是n(n-1)/2。然后尋找穿過的線最多的交點，一個交點有越多的線，就表示有越多點共線。
上述的算法是很顯然的，但是效率是O(n²)，太低了。因此[2]作者做了如下的改進：

1. 把ρ和θ離散化，例如ρ（-R<ρ<R）等分為2R份，步長為1，θ步長為1°，把180度等分180分。
2. 建立一個二維數(shù)組（accumulator array），大小為2R*180，數(shù)組中的每個元素代表經(jīng)過當(dāng)前（ρ,θ）的直線的點的數(shù)量。

這個例子θ步長為20°，ρ步長為2

步驟

1. 對每個點，找出他們在圖中的坐標(biāo)(x,y)
2. 根據(jù)公式ρ=x·cosθ+y·sinθ，把x,y和θ（以上圖為例θ=0°、±20°、±40°、±60°……±160°）帶入算出ρ，在找出accumulator array中找到對應(yīng)的ρ并對數(shù)組中對應(yīng)計數(shù)+1
3. 計算完所有點后，找出accumulator中最大的一些數(shù)（或設(shè)定一個閾值），他們的索引(ρ,θ)即為最后索引到的直線

OpenCV中的函數(shù)HoughLines

OpenCV中相關(guān)的函數(shù)有

cv2.HoughLinesP() # 與上述步驟略有不同
cv2.HoughLines() # 與上述步驟幾乎完全相同
cv2.HoughCircles() # 利用霍夫變換畫圓

其中，HoughLins中的參數(shù)，rho和theta的含義就是上述表格中的ρ和θ的步長，threshold是閾值，即accumulator中大于threshold的直線會被選出，代表至少有threshold個點經(jīng)過了這條直線。min_theta和max_theta代表的是θ的范圍。

可以看出，HoughLines這個函數(shù)的執(zhí)行效率取決于rho、theta、min_theta和max_theta，當(dāng)然，也取決于邊緣檢測結(jié)果中邊緣像素的數(shù)量n。

參考文獻

[1] P.V.C. Hough,Machine Analysis of Bubble Chamber Pictures, Proc. Int. Conf. High Energy Accelerators and Instrumentation, 1959.

[2] Duda, R. O. and P. E. Hart, "Use of the Hough Transformation to Detect Lines and Curves in Pictures,"Comm. ACM, Vol. 15, pp. 11–15 (January, 1972).

[3] https://blog.csdn.net/songzitea/article/details/17027849

[4] https://blog.csdn.net/shanchuan2012/article/details/74010561