概念

在數學中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的復數或實數集合[ ，最早來自于方程組的系數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。

矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見于統計分析等應用數學學科中。在物理學中，矩陣于電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法。關于矩陣相關理論的發展和應用，請參考矩陣理論。在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。

定義

由 m × n 個數aij排成的m行n列的數表稱為m行n列的矩陣，簡稱m × n矩陣。記作：

矩陣

這m×n 個數稱為矩陣A的元素，簡稱為元，數aij位于矩陣A的第i行第j列，稱為矩陣A的(i,j)元，以數 aij為(i,j)元的矩陣可記為(aij)或(aij)m × n，m×n矩陣A也記作Amn。元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是復數的矩陣稱為復矩陣。而行數與列數都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣 。

基本運算

1. 加法

矩陣加法

2. 矩陣減法

矩陣減法

3. 矩陣數乘

矩陣數乘

4. 矩陣轉置：把矩陣A的行和列互相交換所產生的矩陣稱為A的轉置矩陣

矩陣轉置

5. 矩陣共軛

矩陣共軛

6. 矩陣共軛轉置

矩陣共軛轉置

7. 矩陣乘法：兩個矩陣的乘法僅當第一個矩陣A的列數和另一個矩陣B的行數相等時才能定義。如A是m×n矩陣和B是n×p矩陣，它們的乘積C是一個m×p矩陣 ?，它的一個元素：

矩陣乘積的元素算法

矩陣乘法

8. 矩陣行列式：一個n×n矩陣的行列式等于其任意行（或列）的元素與對應的余子式乘積之和

矩陣行列式

9. 特征值與特征向量：n×n的方塊矩陣A的一個特征值和對應特征向量是滿足 ?的標量以及非零向量 ?。其中v為特征向量，為特征值。

10. 矩陣的軌跡：矩陣A的對角元素之和稱為矩陣A的跡(trace)

矩陣的軌跡

可逆矩陣

可逆矩陣是線性代數中的一個矩陣，其定義為在線性代數中，給定一個 n 階方陣A，若存在一個n 階方陣B， 使得AB=BA=In（或AB=In、BA=In 任滿足一個），其中In 為n 階單位矩陣，則稱A 是可逆的，且B 是A 的逆陣，記作 A^(-1)。

若方陣A 的逆陣存在，則稱A 為非奇異方陣或可逆方陣。

A是可逆矩陣的充分必要條件是? （方陣A的行列式不等于0）。給定一個 n 階方陣 A，則下面的敘述都是等價的：

A 是可逆的。

A 的行列式不為零。

A 的秩等于 n（A 滿秩）。

A 的轉置矩陣 AT也是可逆的。

AAT 也是可逆的。