东北老女高潮过瘾对话,日产精品久久久一区二区,丰满女医生4伦理播放

一、平行直線

1.一直線和平行線夾的角

image.png

∠1與∠4是同位角，同位角相等；
∠2與∠4是內(nèi)錯角，內(nèi)錯角相等；
∠1與∠2是對頂角，對頂角相等（兩條直線相交一定會產(chǎn)生對頂角）；
∠3與∠4是同旁內(nèi)角，同旁內(nèi)角互補.

互補:相對概念關(guān)系，一個平角被一個射線分為兩部分，則兩部分角度互為補角，相加為180°
∠1+∠3=180° ∠1是∠3的補角

互余: 相對概念關(guān)系，一個直角被一分為2，則兩部分角度互余，兩個角度相加為90°，則互余。
∠A+∠B=90° ∠A是∠B的補角

2.直線被一組平行線截得的線段成比例

image.png

二、三角形

1.三角形分類

根據(jù)角度將三角形分類：

鈍角三角形:△中有一個角為鈍角時，90°<鈍角<180°
直角三角形:△中有一個角為直角時，直角=90°
銳角三角形:△中三個內(nèi)角均為銳角時，0°<銳角<90°

2. 三角形內(nèi)角之和

∠1 +∠2 +∠3=π 三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和.

三角形外角之和為360°

3. 三角形三邊關(guān)系

任意兩邊之和大于第三邊，即a+b>c.
任意兩邊之差小于第三邊，即a-b<c.
作用:
①利用三邊關(guān)系判斷三個長度是否可以組成三角形
②已知兩個邊長，求第三邊的取值范圍

4.三角形中位線

連接三角形兩邊中點的[線段]
三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一

image.png

5.三角形面積

5.1 基本面積公式

已知底和高： $S=\frac{1}{2}ah$

已知兩邊和夾角： $S=\frac{1}{2}absinC$ （C是ab邊所夾的角）

已知三邊（秦九韶公式）： $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ，其中 $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$

5.2底邊共線高相同的模型:

image.png

S_{△ABC}:S_{△ACD}=\frac{1}{2}BC·h：\frac{1}{2}CD·h = BC：CD

共頂點、底邊共線，則面積比=底之比

5.3底邊相同而高不同的模型

image.png

S_{△ABC}:S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·h_1：\frac{1}{2}AC·h_2 = OB：OD

三角形面積比=高之比

5.4 平行直線之間的三角形

如果兩個三角形底高均相同，則面積相等
平行直線之間的垂線段均相同

image.png

$S_{△ACD}=S_{△BCD}$
共用 $△OCD$
$S_{△AOD}=S_{△BOD}$

5.5 特殊三角形面積

直角三角形
勾股定理： $a^2+b^2=c^2$
常用勾股數(shù)：

3,4,5
6,8,10
5,12,13
7,24,35
8,15,17
9,12,15

等腰直角三角形的三邊之比為: $1:1:\sqrt{2}$

等腰直角三角形的面積為: $S=\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{4}c^2$ （a為直角邊，c為斜邊）

內(nèi)角為30°、60°、90°的直角三角形三邊之比為 $1:\sqrt{3}:2$

等邊三角形
等邊三角形高與邊的比為 $\sqrt{3}:2=\frac{\sqrt{3}}{2}:1$

等邊三角形的面積為 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ ,其中a為邊長

等邊三角形高（中線長）: $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

5.6 鳥頭定理

兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫作共角三角形.
共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比.

如圖，在 $△ABC與△ADE中，∠A$ 的正弦值相同，所以 $△ABC：△ADE = (AB·AC)：（AD·AE）$

image.png

5.7 燕尾定理

image.png

在三角形ABC中， AD, BE, CF相交于同一點O,
那么 $S_{△ABO}：S_{△ACO} = BD：DC$
上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因為△ABO和△ACO的形狀很像燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑

5.8 塞瓦定理

image.png

\frac{BD}{DC}·\frac{CE}{EA}·\frac{AF}{FB} = 1

5.9 全等與相似

全等
(1) 定義
兩個三角形形狀相同，大小相同，則稱兩者全等.

(2) 判別
可以通過邊邊邊(SSS), 邊角邊(SAS), 角邊角(ASA), 角角邊(AAS) 來判斷

(3) 性質(zhì)
如果兩個三角形全等，則對應(yīng)邊、對應(yīng)角、面積均相等。用數(shù)學(xué)語言表達就是兩個三角形等價，這樣的兩個三角形具有相同的邊長、角、面積等

(4) 應(yīng)用
當(dāng)出現(xiàn)折疊、對稱、旋轉(zhuǎn)時，可以用全等分析.

相似
(1) 定義
兩個三角形形狀相同，大小成比例，則稱兩者相似.

(2) 判斷
只要有兩組內(nèi)角對應(yīng)相等即可

(3) 性質(zhì)
相似三角形(相似圖形)對應(yīng)邊的比相等(即為相似比)， $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$

相似三角形(相似圖形)的高、中線、角平分線的比也等于相似比

相似三角形(相似圖形)的周長比等于相似比，即 $\frac{c_1}{c_2}=k$

相似三角形(相似圖形)的面積比等于相似比的平方，即 $\frac{S_1}{S_2}=k^2$

二、四邊形

1.平行四邊形

平行四邊形兩邊長是a，b,如以a為底邊的高為h 面積為 $S = ah$ ，周長 $C=2(a+b)$

image.png

特點

邊的關(guān)系：AB平行且相等于CD
角的關(guān)系：鄰角互補
對角線的關(guān)系：對角線AC、BD相交且平分!
對角線交點O為中心對稱點
經(jīng)過中心O點的直線一定平分平行四邊形
對角線相交將平行四邊形分為了面積相等的四個三角形
$S_{△AOB}=S_{△AOD}=S_{△COD}=S_{△BOC}=\frac{1}{4}S$ 平行四邊形

面積求法

image.png

$S=ah$
$S=ab·sinα$
$S=\frac{1}{2}AC·BD·sinβ$

2.矩形

矩形兩邊長為a，b ；面積為 $S=ab$ , 周長 $C=2(a+b)$ ,對角線 $l=\sqrt{a^2+b^2}$

$(\frac{C}{2})^2=對角線^2+2S$
$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

繼承了平行四邊形所有的性質(zhì)

角，每個內(nèi)角均為90°
對角線:對角線相等且平分

外接圓

image.png

R_外=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\frac{對角線}{2}

4.菱形

菱形四邊邊長均為a，以a為底邊的高為h，面積為 $S=ah=\frac{1}{2}l_1l_2$ ，其中 $l_1l_2$ 分別為對角線的長，周長為 $C =4a$

繼承了平行四邊形所有的性質(zhì)

相鄰兩邊相等=四條邊均相等
對角線互相垂直且平分
對角線的交點將菱形分為了4個全等的直角三角形

垂美四邊形
四邊形中對角線相互垂直的四邊形 $S=\frac{1}{2}l_1l_2$

四邊形的命名一般是ABCD,根據(jù)命名的四個點之間一定是連續(xù)的關(guān)系!

5.正方形

正方形四邊邊長均為a, 四個內(nèi)角都是90。，面積為 $S=a^2$ ,周長為 $C=4a$ .

繼承了平行四邊形所有的性質(zhì)

鄰邊垂直且相等
內(nèi)角均為90°
對角線之間相等、垂直且平分
對角線為內(nèi)角的角平分線
對角線交點0將正方形分為了4個全等的等腰直角三角形
對角線長度= $\sqrt{2}a$
對角線相連之后正方形內(nèi)部共有8個等腰直角三角形

外接圓與內(nèi)切圓

image.png

R_內(nèi)=\frac{1}{2}a

R_外=\frac{\sqrt{2}}{2}a

6.梯形

梯形上底為a，下底為b，高為h，中位線 $l=\frac{1}{2}(a+b)$ ，面積為 $S=\frac{1}{2}(a+b)h$

邊的關(guān)系上底//下底
角的關(guān)系同旁內(nèi)角互補
對角線交點0將梯形分為了固定比例的四塊面積

image.png

△AOB∽△COD

得到

$\frac{AB}{DC}:\frac{AO}{OC}:\frac{BO}{OD}=\frac{a}{b}$

$S_△AOB:S_△AOD=BO:OD=a:b$

蝴蝶定理
$S_△AOB:S_△AOD:S_△BOC:S_△COD=BO:OD=a^2:ab:ab:b^2$
S看作 $(a+b)^2$ 份

7.蝶形定理

蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系.
(1)任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝶形定理”)

image.png

\frac{S_1}{S_2}=\frac{S_4}{S_3}=\frac{OD}{OB}

(同底等高三角形面積之比=底之比)
有：

S_1·S_3=S_2·S_4

根據(jù)等比定理：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{S_4}{S_3}=\frac{OD}{OB}=\frac{S_1+S_4}{S_2+S_3}$
同理：
$\frac{S_1+S_2}{S_4+S_3}=\frac{AO}{OC}$

(2)梯形的蝶形定理及相似比例

image.png

\frac{S_1}{S_2}=\frac{S_4}{S_3}=\frac{OD}{OB}=\frac{a}{b}

$S_1·S_3=S_2·S_4$

$\frac{S_1}{S_3}=\frac{a^2}{b^2}$ (面積之比=相似比的平方)

$S_2+S_3=S_4+S_3 得到 S_2=S_4$

$S_1:S_3:S_2:S_4=a^2:b^2:ab:ab$

在任意四邊形中，對角線相連構(gòu)成的四個三角形，都有上??下=左??右

三、三角形的四心

1.內(nèi)心

1.1內(nèi)切圓的圓心

三條角平分線的交點（角平分線的點到角兩邊的距離相等）
內(nèi)心到三邊的距離相等

image.png

內(nèi)心將三角形分成了3塊，3個三角形面積成比例，面積之比=變成之比
$S_{△AOB}:S_{△AOC}:S_{△BOC}=c:b:a$

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}r_內(nèi)(a+b+c)$

一般三角形內(nèi)切圓半徑： $r_內(nèi)=\frac{2S}{a+b+c}$

$r_內(nèi)=\frac{2S}{C}=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{ab(a+b-c)}{(a+b+c)(a+b-c)}=\frac{ab(a+b-c)}{(a+b)^2-c^2}=\frac{ab(a+b-c)}{a^2+b^2-c^2+2ab}=\frac{a+b-c}{2}$

直角三角形內(nèi)切圓半徑： $r_內(nèi)=\frac{a+b-c}{2}$ （c為斜邊）

$r_內(nèi)=\frac{2S}{C}=\frac{2·\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}{3a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{3}=\frac{\sqrt{3}a}{6}$

等邊三角形內(nèi)切圓半徑： $r_內(nèi)=\frac{\sqrt{3}a}{6}$

2.外心

外接圓的圓心；三邊中垂線的交點。

外心到3個頂點的距離相等
銳角三角形的外心在三角形內(nèi)
直角三角形的外心在斜邊的中點
鈍角三角形的外心在三角形外

image.png

正弦定理：
在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R,則有：

\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R=D

通用三角形外接圓半徑： $r=\frac{abc}{4S}$
由正弦定理： $r=\frac{a}{2sinA}$
三角形面積： $S=\frac{1}{2}bcsinA$
得到 $r=\frac{abc}{4S}$

直接三角形外接圓半徑： $r=\frac{c}{2}$
$∠C=90°，sinC=1，2R=\frac{c}{sinC}=c,R=\frac{c}{2}$

直接三角形斜邊中點到各頂點距離相等

image.png

等邊三角形外接圓半徑： $r=\frac{\sqrt{3}a}{3}$

$S_△=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 ，AD=\frac{\sqrt{3}a}{2}$
$R_外=AD-R_內(nèi)=\frac{\sqrt{3}a}{2}-\frac{\sqrt{3}a}{6}=\frac{\sqrt{3}a}{3}$

等邊三角形中：
$R_外:R_內(nèi)=2:1$
$C_外:C_內(nèi)=2:1$
$S_外:S_內(nèi)=4:1$

求中垂線

image.png

(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2

(x-x_1)^2-(x-x_2)^2=(y-y_2)^2-(y-y_1)^2

(2x-x_1-x_2)(x_2-x_1)=(2y-y_2-y_1)(y_1-y_2)

3.重心

重心表示三條中線的交點
性質(zhì)：

重心將中線分成長度為2： 1的兩段
重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2： 1
重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等
在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均值，即 $(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3})$
重心到三角形3個頂點距離的平方和最小
重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點

4.垂心

三條高的交點

四、圓與扇形

1.角度弧度

把圓弧長度和半徑的比值稱為一個圓心角的弧度.
度與弧度的換算關(guān)系：
$1弧度=\frac{180°}{\pi}$
$1°=\frac{\pi}{180}弧度$

常用的角度與弧度對應(yīng)關(guān)系:

角度	30°	45°	60°	90°	180°	360°
弧度	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$

2.圓

圓的圓心為O ，半徑為r，直徑為d,則
周長： $C=2\pi r=\pi d$
面積： $S=\pi r^2=\frac{1}{4} \pi d^2$

3.扇形

image.png

劣弧：小于半周長的弧長 $\mathop{AB}\limits^{\frown}$
優(yōu)弧：大于半周長的弧長 $\mathop{AOB}\limits^{\frown}$

3.1 扇形弧長

$l=r\theta=\frac{\alpha}{360}·2\pi r$
其中 $\theta$ 為扇形圓心角的弧度數(shù)， $\alpha$ 為扇形圓心角的角度， r為扇形半徑.

3.2 扇形面積

$S=\frac{\alpha}{360°}·\pi r^2 = \frac{1}{2}lr$
其中 $\alpha$ 為扇形圓心角的角度， r為扇形半徑.

3.3 圓心角和圓周角的關(guān)系

弧的兩個端點與圓心的連線構(gòu)成的角度為圓心角
孤的兩個端點與圓上弧以外的其他端點的任意一點連線構(gòu)成的角度為圓周角

圓心角=2圓周角
圓心角具有唯一性
圓周角可以有無窮多

扇形的核心參數(shù):
①圓心角
②半徑

多個扇形面積求解:
①若多個扇形的半徑相同，則可以利用總圓心角對應(yīng)求解
②若多個扇形的半徑不同，則分別求解每個扇形面積再相加

image.png

S=\frac{\alpha+\beta}{360°}·\pi r^2=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)r^2

圓環(huán)的面積可以看做梯形的面積求解

五、三角形定理及常用結(jié)論

1.勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊分別為a ,b ,斜邊為c ,那么 $a^2+b^2=c^2$
常見的勾股數(shù)

3, 4, 5 ；
6, 8, 10 ；
5, 12, 13 ；
7, 24, 25 ；
8,15, 17

2.射影定理

image.png

CD⊥AB

，則

CD^2=AD·BD

AC^2=AD·AB

BC^2=BD·BA

原理：來源于三角形相似

斜高關(guān)系：
a和b表示直角邊， c表示斜邊，h表示斜邊上的高，則 $h=\frac{ab}{c}$

3.正弦定理

image.png

正弦定理：
在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R,則有：

\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R=D

正弦定理適用于兩類解三角形問題

已知三角形的任意兩角和一邊，先求第三個角，再根據(jù)正弦定理求出另外兩邊
已知三角形的兩邊與其中一邊所對的角，先求另一邊所對的角(注意此角有兩解、一解、無解的可能)，再計算第三個角，最后根據(jù)正弦定理求出第三邊

4.余弦定理

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a, b, c ,則有：
$a^2=b^2+c^2-2bc·cosA$
$b^2=a^2+c^2-2ac·cosB$
$c^2=a^2+b^2-2ab·cosC$

其變式為：
$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

余弦定理及其變式可用來解決以下兩類三角形問題

已知三角形的兩邊及其夾角，先由余弦定理求出第三邊，再由正弦定理求較短邊所對的角(或由余弦定理求第二個角)，最后根據(jù)“內(nèi)角和定理” 求得第三個角
已知三角形的三條邊，先由余弦定理求出一個角，再由正弦定理求較短邊所對的角(或由余弦定理求第二個角)，最后根據(jù)“內(nèi)角和定理” 求得第三個角

兩角互補時，正弦值相同，余弦值互為相反數(shù)

5.中線定理

image.png

AD為BC 邊上的中線，則有：

AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2)

6.角平分線定理

image.png

AD為∠BAC的角平分線，則有：

\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}

證明：過點B作AC的平行線用相似法或用等面積法.

求角平分線長度

斯庫頓定理：
$AD^2=AB·AC-BD·DC$

三个男躁一个女,国精产品一区一手机的秘密,麦子交换系列最经典十句话,欧美 国产 综合 欧美 视频

平面幾何

一、平行直線

1.一直線和平行線夾的角

2.直線被一組平行線截得的線段成比例

二、三角形

1.三角形分類

2. 三角形內(nèi)角之和

3. 三角形三邊關(guān)系

4.三角形中位線

5.三角形面積

5.1 基本面積公式

5.2底邊共線高相同的模型:

5.3底邊相同而高不同的模型

5.4 平行直線之間的三角形

5.5 特殊三角形面積

5.6 鳥頭定理

5.7 燕尾定理

5.8 塞瓦定理

5.9 全等與相似

二、四邊形

1.平行四邊形

2.矩形

4.菱形

5.正方形

6.梯形

7.蝶形定理

三、三角形的四心

1.內(nèi)心

1.1內(nèi)切圓的圓心

2.外心

3.重心

4.垂心

四、圓與扇形

1.角度弧度

2.圓

3.扇形

3.1 扇形弧長

3.2 扇形面積

3.3 圓心角和圓周角的關(guān)系

五、三角形定理及常用結(jié)論

1.勾股定理

2.射影定理

3.正弦定理

4.余弦定理

5.中線定理

6.角平分線定理

求角平分線長度

推薦閱讀更多精彩內(nèi)容

三个男躁一个女,国精产品一区一手机的秘密,麦子交换系列最经典十句话,欧美国产综合欧美视频