題目
Description
Given a linked list, return the node where the cycle begins.
If there is no cycle, return null.
Example
Given -21->10->4->5, tail connects to node index 1，return 10
Challenge
Follow up:
Can you solve it without using extra space?
分析
問題分解
basic problem
單鏈表中確定有無環(huán)
暴力方法是使用hash表統(tǒng)計(jì)節(jié)點(diǎn)的出現(xiàn)次數(shù)，O(n)的space。不過一般是希望以O(shè)(1)的space解決：
- 設(shè)置一個(gè)快指針fast和一個(gè)慢指針slow，它們同時(shí)從鏈表頭開始往后遍歷，快指針每次移動(dòng)兩個(gè)位置，慢指針每次移動(dòng)一個(gè)位置
- 如果在快指針訪問到null（即無環(huán)）之前，快指針和慢指針相遇，就說明有環(huán)
follow up
確定環(huán)入口入口的位置
和basic problem一樣，可以用hash表解決。而follow up的目的仍然是希望O(1)的space解決：
- 重復(fù)上述判定有環(huán)無環(huán)的過程
- 用一個(gè)新指針指向head，與slow指針同時(shí)一次移動(dòng)一個(gè)位置
- 當(dāng)head與slow相遇時(shí)，指針?biāo)傅墓?jié)點(diǎn)即入口節(jié)點(diǎn)
證明
相遇一定有環(huán)
反證法：
如果無環(huán)，則fast一定比slow先到達(dá)null，不會(huì)相遇。因此，如果fast與slow相遇，則一定有環(huán)。
得證。
第一次相遇一定發(fā)生在slow第一次入環(huán)的過程中
該結(jié)論是下一步推導(dǎo)的前提。
設(shè)鏈表頭節(jié)點(diǎn)為head，環(huán)入口節(jié)點(diǎn)為entrance，head到entrance共有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，環(huán)上共有m個(gè)節(jié)點(diǎn)。顯然，fast和slow相遇的節(jié)點(diǎn)一定在環(huán)中，設(shè)從entrance到這個(gè)節(jié)點(diǎn)共k個(gè)節(jié)點(diǎn)。
PS：代碼實(shí)現(xiàn)時(shí)，需要關(guān)注m、n、k等計(jì)算時(shí)是否包含head、entrance等，但證明時(shí)無需關(guān)心，僅僅是加減一個(gè)常數(shù)項(xiàng)的事情。
fast的速度是slow的兩倍。則，fast第一次到entrance時(shí)，slow到達(dá)鏈表中部節(jié)點(diǎn)mid，設(shè)head到mid共有s個(gè)節(jié)點(diǎn)，則此時(shí)，slow走了s個(gè)節(jié)點(diǎn)，fast走了2s個(gè)節(jié)點(diǎn)。我們讓slow再走s個(gè)節(jié)點(diǎn)，fast再走2s個(gè)節(jié)點(diǎn)，分情況討論：
如果entrance等于head
此情況下環(huán)最長(zhǎng)。經(jīng)過s個(gè)節(jié)點(diǎn)，slow恰好第一次到達(dá)entrance；經(jīng)過2s個(gè)節(jié)點(diǎn)，fast恰好第二次到達(dá)entrance。在此過程中，slow有且僅有一次從mid走到entrance，fast有且僅有一次從head經(jīng)過mid走到entrance，從而，fast與slow必然有且僅有一次在mid于entrance之間相遇，這是二者第一次相遇。由于相遇點(diǎn)一定在環(huán)中，因此第一次相遇一定發(fā)生在slow第一次入環(huán)的過程中。
如果entrance不等于head
此情況下，環(huán)均比第一種情況短。重復(fù)上述過程，slow仍然有且僅有一次從mid走到entrance，但fast卻由于環(huán)的縮短，可能不止一次與slow相遇并走到entrance。我們只關(guān)注第一次相遇，顯然，第一次相遇仍然發(fā)生在slow第一次入環(huán)的過程中。
得證。
如何尋找入口節(jié)點(diǎn)
我們現(xiàn)在知道，“第一次相遇一定發(fā)生在slow第一次入環(huán)的過程中”，那么此時(shí)slow共走了n+k個(gè)節(jié)點(diǎn)，fast共移動(dòng)了n+k + x*m個(gè)節(jié)點(diǎn)。fast速度是slow的2倍，則有2*(n+k) = n+k + x*m，其中x表示fast已經(jīng)在環(huán)中走的圈數(shù)。由此可得，n+k = x*m，從而n = (x-1)*m + m-k(x>=1, m>=k)。
在有環(huán)鏈表中，我們只能基于移動(dòng)和相遇進(jìn)行判斷。basic problem中，我們希望通過相遇判斷是否有環(huán)，follow up中，可以試著用相遇找到entrance節(jié)點(diǎn)。
觀察式n = (x-1)*m + m-k：
-
n為head到entrance的節(jié)點(diǎn)數(shù) -
m為環(huán)的長(zhǎng)度 -
m-k為從fast、slow的相遇點(diǎn)到entrance的節(jié)點(diǎn)數(shù)
如果讓slow繼續(xù)走m-k個(gè)節(jié)點(diǎn)，此時(shí)slow將恰好位于entrance；再循環(huán)y = x-1圈，仍然處于entrance。增加一個(gè)新的指針p = head，則可以這樣理解上式：使p和slow同時(shí)開始移動(dòng)（slow從剛才的相遇點(diǎn)開始），都一次移動(dòng)一個(gè)位置，則當(dāng)p第一次經(jīng)過n個(gè)節(jié)點(diǎn)走到entrance時(shí)，slow恰好先經(jīng)過了m-k個(gè)節(jié)點(diǎn)，再走了整y圈回到entrance。
此時(shí)，p與slow相遇，相遇點(diǎn)即為entrance。
代碼
/**
* Definition for ListNode.
* public class ListNode {
* int val;
* ListNode next;
* ListNode(int val) {
* this.val = val;
* this.next = null;
* }
* }
*/
public class Solution {
/**
* @param head: The first node of linked list.
* @return: The node where the cycle begins.
* if there is no cycle, return null
*/
public ListNode detectCycle(ListNode head) {
// write your code here
if (head == null) {
return null;
}
ListNode slow = head;
ListNode fast = head;
while (fast != null && fast.next != null) {
slow = slow.next;
fast = fast.next.next;
if (slow == fast) {
break;
}
}
if (fast == null || fast.next == null) {
return null;
}
ListNode p = head;
while (p != slow) {
p = p.next;
slow = slow.next;
}
return p;
}
}
本文鏈接：【刷題】Linked List Cycle II
作者：猴子007
出處：https://monkeysayhi.github.io
本文基于 知識(shí)共享署名-相同方式共享 4.0 國(guó)際許可協(xié)議發(fā)布，歡迎轉(zhuǎn)載，演繹或用于商業(yè)目的，但是必須保留本文的署名及鏈接。
