714. Best Time to Buy and Sell Stock with Transaction Fee

題目描述

Your are given an array of integers prices, for which the i-th element is the price of a given stock on day i; and a non-negative integer fee representing a transaction fee.

You may complete as many transactions as you like, but you need to pay the transaction fee for each transaction. You may not buy more than 1 share of a stock at a time (ie. you must sell the stock share before you buy again.)

Return the maximum profit you can make.

Example 1:

Input: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
Output: 8
Explanation: The maximum profit can be achieved by:
Buying at prices[0] = 1
Selling at prices[3] = 8
Buying at prices[4] = 4
Selling at prices[5] = 9
The total profit is ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

Note:

• 0 < prices.length <= 50000.
• 0 < prices[i] < 50000.
• 0 <= fee < 50000.

解題思路

顯然，這是一道動態(tài)規(guī)劃問題。對于這種問題而言，理解問題，并抽離出模型尤為關(guān)鍵。從題目可以知道，我們在每一天可以買、賣股票，或者什么都不做，但是約束是手里持有股票的股票數(shù)量最多為1（不能一次買多股，買之前必須先賣掉）。每次交易我們都需要付出一定的手續(xù)費。算出最后一天最大的利潤值。

先從最后一條規(guī)則入手：買賣股票需要付手續(xù)費，也就是說，如果在當(dāng)天同時買入又賣出股票，最后得到的利潤是負(fù)數(shù)，顯然是不符合題目要求的，因此，我們可以得出每天的操作只能是：買一次、賣一次、什么都不做。另外，如果我們要在某一天賣掉股票，由于當(dāng)天買入立即賣出是不可行的，因此，在前一天，我們至少要持有股票。總結(jié)一下就是：

今天賣股票之后的利潤=前一天手握這支股票時的利潤+今天股票的價格-手續(xù)費

同理，如果今天我們需要買進股票：

今天買股票之后的利潤=前一天沒有股票時的利潤-今天股票的價格

最后，如果今天什么都不做：

今天持有股票的利潤=昨天持有股票的利潤
今天沒有股票的利潤=昨天沒有股票的利潤

從上述的式子，我們不難總結(jié)出：每天的狀態(tài)都分為是否持有股票兩種情況。題目要求我們求出最后一天（N）能獲得的最大利潤，我們不妨可以這樣考慮：

最后一天持有股票的利潤=前一天持有股票的利潤 | 前一天沒有股票的利潤-今天的價格
最后一天沒有股票的利潤=前一天沒有股票的利潤 | 前一天持有股票的利潤+今天的價格-手續(xù)費

假設(shè)這時候我們已經(jīng)知道了第N-1天沒有持有股票時利潤的最大值以及持有股票時利潤的最大值，那么最后一天的持有股票和沒有股票的利潤的最大值就是：

最后一天持有股票的利潤=MAX{前一天持有股票的利潤, 前一天沒有股票的利潤-今天的價格}
最后一天沒有股票的利潤=MAX{前一天沒有股票的利潤, 前一天持有股票的利潤+今天的價格-手續(xù)費}

第一天兩種狀態(tài)的利潤是已知的，因此，無論N取什么值，都能算出當(dāng)前N兩種狀態(tài)的最大值。由此總結(jié)出動態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

// 0代表沒有股票，1代表持有股票
profit[n][0] = max(profit[n-1][1] + price[n] - fee, profit[n-1][0])
profit[n][1] = max(profit[n-1][1], profit[n-1][0] - price[n])
return max(profit[n][0], profit[n][1])

一點優(yōu)化

由于我們并不需要返回每天的最大利潤，因此，記錄下每天的狀態(tài)和價格是沒有必要的，只需要記錄下前一天的兩個狀態(tài)，并且在今天的迭代中分別替換掉他們即可。

時間復(fù)雜度分析

每天的計算量為O(1)，遍歷一次即可得到結(jié)果，復(fù)雜度為O(n)。

空間復(fù)雜度分析

如果不做優(yōu)化，則需要開一個天數(shù)乘二大小的二維數(shù)組，復(fù)雜度為O(n)。優(yōu)化后復(fù)雜度為O(1).

源碼

class Solution {
public:
  int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
    if (prices.size() == 0) {
      return 0;
    }
    int days = prices.size();
    int profits[50001][2] = {0};
    profits[0][1] = -prices[0];
    for (int i = 1; i < days; ++i) {
      profits[i][0] = max(profits[i-1][1] + prices[i] - fee, profits[i-1][0]);
      profits[i][1] = max(profits[i-1][1], profits[i-1][0] - prices[i]);
    }
    
    return profits[days-1][0] > profits[days-1][1] ? profits[days-1][0] : profits[days-1][1];
  }
};