矩陣相乘還是矩陣，對(duì)應(yīng)矩陣位置相乘是標(biāo)量值！
矩陣，大家上過《線性代數(shù)》的同學(xué)都知道是一堆的大括號(hào)，一堆的數(shù)據(jù)。為什么線性代數(shù)會(huì)與矩陣有關(guān)系，下面內(nèi)容將告訴大家，矩陣的來源，矩陣的使用以及矩陣的乘法的定義。
學(xué)線性代數(shù)的時(shí)候，聽著懵懵的，一上來老師就開始講逆序數(shù)、行列式，周圍的小伙伴們都在記定理，背公式。后來經(jīng)常逛博客，逐漸了解了線性代數(shù)中的一些定理的意義，上中科院李老師矩陣論時(shí)，李老師又深刻講了一遍，下面是李老師的總結(jié)，分享給大家。
對(duì)于矩陣，我們今天簡單說一下矩陣的乘法。設(shè)兩個(gè)矩陣Am×p=[aij]，Bp×n=[bij]，定義矩陣C=AB為矩陣A和B的乘積，其中
也就是說，矩陣C中每一個(gè)元素cij為矩陣A的第i行與矩陣B的第j列相乘得到。這就是矩陣乘法的定義，在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的時(shí)候，老師就是這么教的，而且大家也就這么習(xí)以為常，估計(jì)至今為止也沒有人對(duì)這個(gè)定義有一點(diǎn)點(diǎn)的疑問。我的問題很簡單，為什么矩陣乘法的定義是這樣，而不是類似矩陣加法（對(duì)應(yīng)元素相加）一樣，矩陣的乘法定義為兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)元素相乘？
相信每一個(gè)人被問到這個(gè)問題，都會(huì)說：“是啊，為什么？”那么下面我們就來說明一下為什么這樣定義矩陣的乘法。
1855年，英國數(shù)學(xué)家Arthur Cayley (1821-1895) 把矩陣從行列式理論剝離出來，討論了矩陣的相關(guān)運(yùn)算，創(chuàng)立了矩陣?yán)碚?。Cayley最早討論矩陣相關(guān)運(yùn)算是從線性函數(shù)開始的（矩陣和線性函數(shù)在某種意義上，可以一一對(duì)應(yīng)的），比如下面兩個(gè)線性函數(shù)：
復(fù)合這兩個(gè)函數(shù)會(huì)得到
Cayley最早的想法是用矩陣表示這樣的線性函數(shù)，即函數(shù)f,g,h可以分別表示為如下的矩陣形式：
當(dāng)然了，矩陣H也被成為矩陣F和矩陣G的復(fù)合（或乘積），即：
這也正是我們現(xiàn)在熟知的矩陣乘積的定義。并且由于和線性函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得這種定義更加實(shí)用。
相信，如果我們每一個(gè)人生活在19世紀(jì)——矩陣出現(xiàn)的時(shí)代，讓你定義矩陣的乘法，你很自然地會(huì)想到用兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)元素相乘來定義矩陣的乘法，畢竟這個(gè)是最自然、最直接的想法。但是它并不是最實(shí)用的。
大學(xué)的課程是不是很有意思呢？
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