和大豆爸聊乘法表

? ? ? ? ? 因為疫情封村,我們借住在老朋友大豆爸家里。這里不僅有天天不重樣的山西美食,還有共學共研討的伙伴,也算是因禍得福。大豆爸可愛的小女兒慧慧也在上二年級,我們倆昨天聊起乘法表的建構,小鵝爸在一邊偷偷記錄了個大略,我感激他的欣賞認可,特此整理成文。謹以此文獻給熱情、友愛的大豆一家!

和大豆爸聊乘法表

我們小時候學乘法表,都是直接把口訣背下來。沒有前期的操作經驗,乘法口訣是死的,記住就記住了,沒記住,或是記錯了,也不能自我檢驗和校正。如何將鮮活的感受和思考,帶入到乘法表的學習當中?

節奏與模式

在背乘法口訣之前,先要熟練地唱數,配合身體動作的節奏,來熟悉倍數的數列,建立數感。漢語一字一音,真是太適合學習節奏和倍數了。孩子們從學前開始,就在兒歌、童謠、經典誦讀中,浸潤著有節奏的語言,最常見的有三、四、五、七的節奏——”小老鼠、上燈臺、偷油吃、下不來……”“,很多童謠是三個字一節的,《三字經》更是如此。《詩經》以四言為主,還有《百家姓》和《千字文》。唐詩則是以五言和七言為代表。孩子們在誦詩的過程中加入節奏和動作,慢慢的,這個動作序列變成數數的序列,先是按自然數的連續數列數下去。等到熟悉以后,可以抽提出3、4、5……等等的倍數來跳著數。當某一個倍數家族的數列已經很熟悉了之后,我們才會慢慢引入乘法口訣,從“一三得三”,依次數到“十二個三是三十六”。

到了背乘法表的時候,也還有一個階梯性。一開始要順著往下背,比如3的倍數,從““一三得三””,一直背到“十二三三十六”,結果是在一個等差數列的遞增過程當中。順著背能夠幫助孩子建構這樣一個遞增的模式。順著背完一遍,可以試著倒著背回來,體會結果遞減的過程。等順著背、倒著背都很熟練之后,再隨機抽著背,這時候孩子們已經基本完成乘法表的建構過程,要進入“自動化”的階段。

比如,一年級的時候,我們會帶孩子們唱《數蛤蟆歌》:“一只蛤蟆一張嘴,兩只眼睛四條腿,兩只蛤蟆兩張嘴,四只眼睛八條腿……”如果要問“三只蛤蟆幾條腿?”,成人多半會用乘法計算三四十二。但你去觀察一年級的孩子,他們多半不是“套公式”計算的。他們會說:“三只蛤蟆三張嘴,六只眼睛十二條腿”,眼睛的數量是嘴的數量翻倍,3+3=6, 而腿的數量又是眼睛翻倍,6+6 =12。這是在前項和后項之間發現了遞歸的模式。而二年級學習乘法表的首要目的,不是讓孩子記住結果,而是鼓勵孩子去感受倍數的增長變化規律。


小孩子很早就開始對同數相加產生敏感,相應的計算更熟練。如果你讓一二年級的孩子算6+8,期待著他們去湊十,先算6+4,再加4,或者8+2,再加4,你會驚奇的發現,不少孩子會轉化為算7+7,然后直接報出答案是“14”。

大豆爸爸給小女兒慧慧出了道題:16個燒餅平均分給4個人,每人分到幾個?

二年級的慧慧算16÷4,先想到16是兩個8,是特別自然的。翻倍再翻倍,可以用熟悉的同數相加解決乘法問題,而反過來,自然是折半再折半。這是對數量關系的主動探索,而不是機械地去背乘法表,套用通項公式。

重在相互關聯

從一開始,我們就發現乘法不是孤立存在的,同一個問題,可以在+、-、×、÷的不同視角中轉換著來看。一個乘法算式3×4,可以表示成3+3+3+3,也可以表示成3×3+3,不要小看這些變換,背后蘊藏著思維的靈活性。當你一時忘了乘法口訣“七八多少”時,你可以用七七四十九,再加上一個7——7×8 = 7×7+7=56。

相比1到5,以及9和10的乘法表,6、7、8的口訣更難建立,背誦中更容易卡。對倍數家族整體的認知,不是出一套口算卡,而是基于生活中的觀察和發現。我能想到生活中7的倍數,最自然的就是一周7天的節奏。所以計劃帶孩子們作周歷(月歷,年歷),從中感受到7的倍數關系,比如月歷中7的下層是14, 14的下層是21,等等。等孩子們熟悉之后7的倍數之后,再做7的乘法表就水到渠成了。

從數的拆分來看:6= 5+1。5的乘法表是孩子們很熟悉的。那么6的乘法表就可以建立在5的乘法表基礎上。羅馬數字VI,很直觀的就是V+1,那么兩個6就是VVII,一目了然是12。如果你想知道8個6是多少,想想8個5是40,那么8個6就是40再加上8個1,結果是48。作為日常的實際操作經驗,我讓孩子們用五角和一角的硬幣,來組合出不同的錢數。


還有一種拆分的思路:6= 3×2,所以6的乘法表也可以建立在3的乘法表的基礎上,3,6,9, 18,……間隔一個,只取其中的偶數項。


總之,我們要做的,不是簡單記住口訣,而是去理解、運用、掌握這種拆分的方式,熟悉不同數、不同運算之間的關聯。


建構完整的認知圖景

在背小九九乘法表的過程中,由于乘數交換后結果不變,8×3=3×8,去掉冗余的口訣,砍掉了將近半張表。看似走了捷徑,孩子們背完這張階梯表格,對各個倍數的家族,并沒有建立完整的感受。

在實際教學中,我們會帶孩子們做一張12×12的矩陣乘法表,涵蓋1-12的乘法數列,讓孩子對每一個倍數家族的獨特性有感受,再對整張表有一個整體感知。


每次做出這張大乘法表之后,孩子們總會很興奮地在上面發現很多對稱的模式(有的孩子會說,就像折紙時沿對角線對折上去),還有很多倍數的規律。把這個留給孩子去慢慢探索發現,更有追問的樂趣,更有認知深度。我們也不要急于一次說破表中所有的秘密,或是給孩子快速記住整個表格的竅門。在遺忘和重新回想起來之間,是主動思索和深度研究的空間。

數學上的思考和表達,就像孩子涂鴉,寫畫一樣,快速掌握技巧不是最重要的,要保持我手寫我心,從生活經驗、具象的感受中,逐步發展抽象的思考和符號化的語言。如果孩子始終有這樣的自信和習慣,他的思維就一直在長。怕的是直觀經驗和抽象思維太早分離了,沒有充分的感官經驗,去支持數感和數學思維的發展。

拿我自己為例,大一剛剛開始學習高數,描述一個極限過程,有時是開區間,有時是閉區間,我搞不清楚邊界,心里不踏實,求教同學。同寢室的學霸說:“你管它干什么呢,會做題就行了。” 如果不追問緣由,這樣的套裝知識對自己有什么幫助呢?可能有的孩子到八年級學習代數,三角函數的各種變換,公式推來推去,已經不知道它在干嘛了。

在德國讀博士的時候,我的導師是一個理論物理學家,擅長理論推導。物理學還不像數學那么嚴謹,有許多經驗性的處理,比如線性化或近似展開。我們當時在用物理學上的平均場理論,處理大腦發育的復雜圖譜分析,我只能依樣畫葫蘆地模仿著做一些動態分析,好像也能推出想要的結果,但已經遠遠超出自己能夠去感受和確信的經驗。所以我對導師說:“我感覺自己只是借來了你們物理學家的語言,說出來的話,自己都不知道是啥。”

對孩子來說,如果他在數學學習之初,堅持去聯系自己的經驗和感受,這樣建構起來的語言和邏輯,才能夠上下打通,而不是“不敢追問”,只能被動接受。這也是Jamie York在他的課堂上反復強調的,“讓數學有意義”。

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