? ? ? ? ? 因為疫情封村，我們借住在老朋友大豆爸家里。這里不僅有天天不重樣的山西美食，還有共學共研討的伙伴，也算是因禍得福。大豆爸可愛的小女兒慧慧也在上二年級，我們倆昨天聊起乘法表的建構，小鵝爸在一邊偷偷記錄了個大略，我感激他的欣賞認可，特此整理成文。謹以此文獻給熱情、友愛的大豆一家！

和大豆爸聊乘法表

我們小時候學乘法表，都是直接把口訣背下來。沒有前期的操作經驗，乘法口訣是死的，記住就記住了，沒記住，或是記錯了，也不能自我檢驗和校正。如何將鮮活的感受和思考，帶入到乘法表的學習當中？

節奏與模式

在背乘法口訣之前，先要熟練地唱數，配合身體動作的節奏，來熟悉倍數的數列，建立數感。漢語一字一音，真是太適合學習節奏和倍數了。孩子們從學前開始，就在兒歌、童謠、經典誦讀中，浸潤著有節奏的語言，最常見的有三、四、五、七的節奏——”小老鼠、上燈臺、偷油吃、下不來……”“，很多童謠是三個字一節的，《三字經》更是如此。《詩經》以四言為主，還有《百家姓》和《千字文》。唐詩則是以五言和七言為代表。孩子們在誦詩的過程中加入節奏和動作，慢慢的，這個動作序列變成數數的序列，先是按自然數的連續數列數下去。等到熟悉以后，可以抽提出3、4、5……等等的倍數來跳著數。當某一個倍數家族的數列已經很熟悉了之后，我們才會慢慢引入乘法口訣，從“一三得三”，依次數到“十二個三是三十六”。

到了背乘法表的時候，也還有一個階梯性。一開始要順著往下背，比如3的倍數，從““一三得三””，一直背到“十二三三十六”，結果是在一個等差數列的遞增過程當中。順著背能夠幫助孩子建構這樣一個遞增的模式。順著背完一遍，可以試著倒著背回來，體會結果遞減的過程。等順著背、倒著背都很熟練之后，再隨機抽著背，這時候孩子們已經基本完成乘法表的建構過程，要進入“自動化”的階段。

比如，一年級的時候，我們會帶孩子們唱《數蛤蟆歌》：“一只蛤蟆一張嘴，兩只眼睛四條腿，兩只蛤蟆兩張嘴，四只眼睛八條腿……”如果要問“三只蛤蟆幾條腿？”，成人多半會用乘法計算三四十二。但你去觀察一年級的孩子，他們多半不是“套公式”計算的。他們會說：“三只蛤蟆三張嘴，六只眼睛十二條腿”，眼睛的數量是嘴的數量翻倍，3+3=6, 而腿的數量又是眼睛翻倍，6+6 =12。這是在前項和后項之間發現了遞歸的模式。而二年級學習乘法表的首要目的，不是讓孩子記住結果，而是鼓勵孩子去感受倍數的增長變化規律。

小孩子很早就開始對同數相加產生敏感，相應的計算更熟練。如果你讓一二年級的孩子算6+8，期待著他們去湊十，先算6+4，再加4，或者8+2，再加4，你會驚奇的發現，不少孩子會轉化為算7+7，然后直接報出答案是“14”。

大豆爸爸給小女兒慧慧出了道題：16個燒餅平均分給4個人，每人分到幾個？

二年級的慧慧算16÷4，先想到16是兩個8，是特別自然的。翻倍再翻倍，可以用熟悉的同數相加解決乘法問題，而反過來，自然是折半再折半。這是對數量關系的主動探索，而不是機械地去背乘法表，套用通項公式。

重在相互關聯

從一開始，我們就發現乘法不是孤立存在的，同一個問題，可以在＋、－、×、÷的不同視角中轉換著來看。一個乘法算式3×4，可以表示成3+3+3+3，也可以表示成3×3+3，不要小看這些變換，背后蘊藏著思維的靈活性。當你一時忘了乘法口訣“七八多少”時，你可以用七七四十九，再加上一個7——7×8 = 7×7+7=56。

相比1到5，以及9和10的乘法表，6、7、8的口訣更難建立，背誦中更容易卡。對倍數家族整體的認知，不是出一套口算卡，而是基于生活中的觀察和發現。我能想到生活中7的倍數，最自然的就是一周7天的節奏。所以計劃帶孩子們作周歷（月歷，年歷），從中感受到7的倍數關系，比如月歷中7的下層是14, 14的下層是21，等等。等孩子們熟悉之后7的倍數之后，再做7的乘法表就水到渠成了。

從數的拆分來看：6= 5+1。5的乘法表是孩子們很熟悉的。那么6的乘法表就可以建立在5的乘法表基礎上。羅馬數字VI，很直觀的就是V+1，那么兩個6就是VVII，一目了然是12。如果你想知道8個6是多少，想想8個5是40，那么8個6就是40再加上8個1，結果是48。作為日常的實際操作經驗，我讓孩子們用五角和一角的硬幣，來組合出不同的錢數。

還有一種拆分的思路：6= 3×2，所以6的乘法表也可以建立在3的乘法表的基礎上，3，6，9, 18，……間隔一個，只取其中的偶數項。

總之，我們要做的，不是簡單記住口訣，而是去理解、運用、掌握這種拆分的方式，熟悉不同數、不同運算之間的關聯。

建構完整的認知圖景

在背小九九乘法表的過程中，由于乘數交換后結果不變，8×3=3×8，去掉冗余的口訣，砍掉了將近半張表。看似走了捷徑，孩子們背完這張階梯表格，對各個倍數的家族，并沒有建立完整的感受。

在實際教學中，我們會帶孩子們做一張12×12的矩陣乘法表，涵蓋1-12的乘法數列，讓孩子對每一個倍數家族的獨特性有感受，再對整張表有一個整體感知。

每次做出這張大乘法表之后，孩子們總會很興奮地在上面發現很多對稱的模式（有的孩子會說，就像折紙時沿對角線對折上去），還有很多倍數的規律。把這個留給孩子去慢慢探索發現，更有追問的樂趣，更有認知深度。我們也不要急于一次說破表中所有的秘密，或是給孩子快速記住整個表格的竅門。在遺忘和重新回想起來之間，是主動思索和深度研究的空間。

數學上的思考和表達，就像孩子涂鴉，寫畫一樣，快速掌握技巧不是最重要的，要保持我手寫我心，從生活經驗、具象的感受中，逐步發展抽象的思考和符號化的語言。如果孩子始終有這樣的自信和習慣，他的思維就一直在長。怕的是直觀經驗和抽象思維太早分離了，沒有充分的感官經驗，去支持數感和數學思維的發展。

拿我自己為例，大一剛剛開始學習高數，描述一個極限過程，有時是開區間，有時是閉區間，我搞不清楚邊界，心里不踏實，求教同學。同寢室的學霸說：“你管它干什么呢，會做題就行了。” 如果不追問緣由，這樣的套裝知識對自己有什么幫助呢？可能有的孩子到八年級學習代數，三角函數的各種變換，公式推來推去，已經不知道它在干嘛了。

在德國讀博士的時候，我的導師是一個理論物理學家，擅長理論推導。物理學還不像數學那么嚴謹，有許多經驗性的處理，比如線性化或近似展開。我們當時在用物理學上的平均場理論，處理大腦發育的復雜圖譜分析，我只能依樣畫葫蘆地模仿著做一些動態分析，好像也能推出想要的結果，但已經遠遠超出自己能夠去感受和確信的經驗。所以我對導師說：“我感覺自己只是借來了你們物理學家的語言，說出來的話，自己都不知道是啥。”

對孩子來說，如果他在數學學習之初，堅持去聯系自己的經驗和感受，這樣建構起來的語言和邏輯，才能夠上下打通，而不是“不敢追問”，只能被動接受。這也是Jamie York在他的課堂上反復強調的，“讓數學有意義”。