1. 定義
二叉搜索樹(BST)又叫二叉查找樹，二叉排序樹。二叉搜索樹就是一棵二叉樹，但是它又具有搜索樹的特征：
- 每個結點都比它的左結點大，比右結點小。
- 每個結點的左右子樹都是一課二叉搜索樹。
- 對一棵二叉搜索樹進行中序遍歷結果是從小到大排序的結果。
2. 時間復雜度
二叉搜索樹結合了鏈表插入刪除的靈活性和數組的查找的高效性。
-
最好情況：
最好情況下的二叉搜索樹是一棵滿二叉樹，這時從根結點到所有葉子結點的長度都為lgN，對應樹的高度也為lgN。此時無論查找，插入，刪除都可以在O(lgN)時間內完成。 -
最壞情況：
最壞情況下的二叉搜索樹的每個結點只有一個孩子，幾乎是鏈表的形狀了，對應樹的高度為N。此時查找，插入，刪除的時間復雜度為O(N)。 -
平均情況：
二叉搜索樹的平均情況應該是介于最好和最好情況之間。
3. 實現
接下來我用二叉搜索樹來實現一個符號表，符號表就是一個存儲鍵值對的數據結構，其中鍵不可以重復，值可以重復。定義了如下操作：
- put(Key key, Value value) 將鍵key和值value插入符號表
- delete(Key key) 刪除指定的鍵值對
- get(Key key) 獲取鍵對應的值，如果不存在該鍵則返回null
- deleteMax() 刪除最大的鍵對應的鍵值對
- deleteMin() 刪除最小的鍵對應的鍵值對
- min() 獲取最小的鍵
- max() 獲取最大的鍵
- size() 獲取符號表的大小
- isEmpty() 判斷符號表否為空
代碼用java描述，使用了泛型。因為需要進行比較操作，所以鍵都必須實現Comparable接口。在BST這個類中，使用了一個內部類Node來表示二叉搜索樹的結點，同時也是一個鍵值對。所有操作都是采用迭代的方式。
代碼實現
public class BST<Key extends Comparable<Key>, Value> {
private class Node {
Key key;
Value value;
Node left;
Node right;
public Node(Key key, Value value, Node left, Node right){
this.key = key;
this.value = value;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
private Node root;
private int size;
public int size(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return root == null;
}
public Value get(Key key){
Node node = root;
int cmp;
while(node != null){
cmp = key.compareTo(node.key);
if (cmp < 0)
node = node.left;
else if (cmp > 0)
node = node.right;
else
return node.value;
}
return null;
}
public void put(Key key, Value value){
if (root == null) {
root = new Node(key, value, null, null);
size = 1;
return;
}
Node node = root;
Node parent = null;
int cmp;
while (node != null){
parent = node;
cmp = key.compareTo(node.key);
if (cmp < 0)
node = node.left;
else if (cmp > 0)
node = node.right;
else {
node.value = value;
return;
}
}
if (key.compareTo(parent.key) < 0)
parent.left = new Node(key, value, null, null);
else
parent.right = new Node(key, value, null, null);
++size;
}
private Node max(Node node){
if (node == null)
return null;
while (node.right != null)
node = node.right;
return node;
}
private Node min(Node node){
if (node == null)
return null;
while (node.left != null)
node = node.left;
return node;
}
public Key max(){
Node node = max(root);
return node == null ? null : node.key;
}
public Key min(){
Node node = min(root);
return node == null ? null : node.key;
}
private Node deleteMax(Node node) {
Node x = node;
if (node == null)
return null;
Node parent = null;
while (node.right != null){
parent = node;
node = node.right;
}
--size;
if (parent == null)
return node.left;
else
parent.right = node.left;
return x;
}
private Node deleteMin(Node node) {
Node x = node;
if (node == null)
return null;
Node parent = null;
while (node.left != null){
parent = node;
node = node.left;
}
--size;
if (parent == null)
return node.right;
else
parent.left = node.right;
return x;
}
public void deleteMax(){
root = deleteMax(root);
}
public void deleteMin(){
root = deleteMin(root);
}
public void traverse(){
traverse(root);
}
//中序遍歷
private void traverse(Node node){
if (node == null)
return;
traverse(node.left);
System.out.println(node.key);
traverse(node.right);
}
public void delete(Key key) {
if (root == null)
return;
Node node = root;
Node parent = root;
int cmp;
while (node != null){
cmp = key.compareTo(node.key);
if (cmp == 0) {
--size;
cmp = key.compareTo(parent.key);
if (node.left == null){
if (cmp < 0)
parent.left = node.right;
else if (cmp > 0)
parent.right = node.right;
else
root = node.right;
return;
}
if (node.right == null){
if (cmp < 0)
parent.left = node.left;
else if (cmp > 0)
parent.right = node.left;
else
root = node.left;
return;
}
Node x = min(node.right);
node.key = x.key;
node.value = x.value;
node.right = deleteMax(node.right);
}
else {
parent = node;
if (cmp < 0)
node = node.left;
else
node = node.right;
}
}
}
public static void main(String[] args){
BST<Integer, String> bst = new BST<>();
bst.put(2, "qw");
bst.put(3, "fy");
bst.put(5, "naoko");
bst.put(1, "qw");
bst.put(4, "naoko");
bst.put(-3, "naoko");
bst.deleteMax();
bst.deleteMin();
bst.delete(10);
bst.traverse();
}
}
4. 最后
二叉搜索樹雖然簡單但在最壞情況下表現得并不好。不過它是其他樹類型的數據結構的基礎，二叉搜索樹還有其他變種如AVL樹，紅黑樹，Treap樹等。在C++，Java的集合API中，符號表或是Set的實現一般都是用紅黑樹。
