最近在看名人介紹，突然看到了一篇文章介紹伯努利家族，覺得他們家族那兩代人特別有意思，就想寫出來，讓大家都知道。
瑞士的伯努利家族是世界頗負(fù)盛名的科學(xué)世家，出了好幾個(gè)有名的科學(xué)家，馳騁影響學(xué)界上百年。學(xué)物理的人都知道流體力學(xué)中有一個(gè)著名的伯努利定律，說的是有關(guān)不可壓縮流體沿著流線的移動(dòng)行為，由丹尼爾?伯努利（DanielBernoulli，1700－1782）提出。丹尼爾的父親和伯父則都是他們那個(gè)時(shí)代著名的數(shù)學(xué)家。
有意思的是，伯努利家族這幾個(gè)科學(xué)家之間，相處得并不和諧。互相在科學(xué)成就上爭名奪利、糾紛不斷。尤為后人留下笑柄的是丹尼爾的父親：約翰?伯努利。
恩怨情仇之兄弟反目
約翰?伯努利（JohannBernoulli，1667-1748）和他的哥哥雅各布?伯努利（JakobI. Bernoulli，1654-1705）都為微積分的發(fā)展作了杰出貢獻(xiàn)。約翰進(jìn)入巴塞爾大學(xué)時(shí)，比他大13歲的雅各布已經(jīng)是數(shù)學(xué)系教授，因此，約翰向大哥學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。兩人既是兄弟手足，又是導(dǎo)師和學(xué)生的關(guān)系。
約翰天資聰明，拜大哥為師的兩年之后，數(shù)學(xué)能力就達(dá)到了與哥哥能一比高低的水平。沒想到智力水平的高低并不等價(jià)于人品和修養(yǎng)的高低，約翰不服雅各布，雅各布卻仍然將弟弟看成一個(gè)學(xué)生，兩兄弟之間逐漸形成了一種不十分友好的競爭狀態(tài)。約翰十分妒忌雅各布在巴塞爾大學(xué)的崇高地位，于是，無論在私底下，還是在大庭廣眾中，兩人經(jīng)常互相較勁。
不過，世人可以不齒于他們互相嫉妒詆毀的人格，卻不能否認(rèn)他們這種競爭較勁的狀態(tài)，還算有利于學(xué)術(shù)。從下面的幾個(gè)例子，便是對以上說法的佐證。
那個(gè)時(shí)代的歐洲數(shù)學(xué)家，有一股互相出難題來挑戰(zhàn)學(xué)術(shù)界的風(fēng)氣。1691年，哥哥雅各布建議數(shù)學(xué)家們研究懸鏈線（Catenary）問題，也就是兩端固定的繩子（或鏈條）由于重力而自由下垂形成的曲線到底是個(gè)什么形狀的問題。這個(gè)問題現(xiàn)在看起來簡單，但在微積分和牛頓力學(xué)尚未建立以及剛剛建立的年代，卻是不容易解決的。
伽利略在1638年就曾經(jīng)錯(cuò)誤地猜測懸鏈線是拋物線，后來（1646年），17歲的少年惠更斯證明了懸鏈線不是拋物線。但不是拋物線，又是什么線呢？它的方程是怎么樣的？當(dāng)時(shí)誰也不知道答案。懸而未決的懸鏈線問題在等待著微積分的到來。
雅各布收到了好幾個(gè)答案，其中包括萊布尼茨、惠更斯以及他的弟弟約翰?伯努利。他們成功地用微積分解決了這個(gè)問題，證明了懸鏈線是如上圖中所示的公式所描述的雙曲余弦函數(shù)。
因?yàn)檫@個(gè)問題的成功，驕傲自負(fù)的約翰得意非凡，認(rèn)為這是他在兄弟之爭中的輝煌勝利，并更加瞧不起這個(gè)他認(rèn)為“愚笨”的哥哥。約翰在多年后寫給朋友的一封信中，還津津有味地描述了當(dāng)時(shí)掩飾不住的“贏了哥哥”的狂喜心態(tài)。
其實(shí)，雅各布的數(shù)學(xué)成就并不遜色于弟弟，他活得沒有弟弟長，50歲就去世了。約翰活到了80歲。雅各布短短的學(xué)術(shù)生涯中，對微積分及概率論作出很多貢獻(xiàn)，其中最為眾人所知的是“大數(shù)定律”。此外，數(shù)學(xué)中有許多以伯努利命名的術(shù)語，其中十幾個(gè)都是雅各布的功勞。
1696年，約翰也對歐洲數(shù)學(xué)家提出了一個(gè)挑戰(zhàn)難題，那就是著名的最速降落軌道（Brachistochrone curve）問題，也就是：什么形狀的滑梯，才能使得滑動(dòng)者到達(dá)地面的時(shí)間最短呢？這實(shí)際上是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)問題，微積分方法的出現(xiàn)促成了它的解決，并由此而開拓了一門與物理學(xué)緊密聯(lián)系的新的數(shù)學(xué)分支：變分法和泛函分析。
假設(shè)A和B是地面上高低不同（A不低于B）左右有別的兩個(gè)點(diǎn)，如下圖左圖所示。一個(gè)沒有初始速度的小球，在無摩擦力只有重力的作用下從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)。從A到B的軌道可以有很多很多，各自有不同的形狀和長短，見下圖中間一圖。問題是：這其中的哪一條軌道，將使得小球從A到B的時(shí)間最短？
如果問的是距離最短，大家在直觀上都知道答案是直線，但現(xiàn)在是要你求出所花時(shí)間最短的曲線，直觀就不太頂用了。
有人估計(jì)約翰自己當(dāng)時(shí)已經(jīng)得出了這個(gè)問題的答案，而提出這個(gè)問題的目的之一是挑戰(zhàn)牛頓，其二則是奚落自己的哥哥。奚落雅各布是約翰的嫉妒心所致，為啥又要挑戰(zhàn)牛頓呢？原因是在牛頓與萊布尼茨對微積分發(fā)明權(quán)的爭奪戰(zhàn)上，約翰是始終堅(jiān)定地站在自己的老師萊布尼茨一邊的。
約翰原來規(guī)定答案必須在1697年1月1日之前寄出，后來在萊布尼茨的建議下，將期限延長至復(fù)活節(jié)。期限延長后，為了確保牛頓得知此事，約翰親自將問題單獨(dú)寄了一份給他。牛頓畢竟是大師，當(dāng)時(shí)已經(jīng)年過半百，正在繁忙于他的改鑄新幣的工作，自己也承認(rèn)腦瓜子已經(jīng)大不如年輕時(shí)機(jī)敏。但無論如何，據(jù)說牛頓在下午4點(diǎn)鐘收到郵件后，僅僅用了一個(gè)晚上便解決了這個(gè)問題，并且立即匿名寄給了約翰。
這使約翰大為失望，因?yàn)樗约航鉀Q這個(gè)問題花費(fèi)了兩個(gè)星期的時(shí)間。雖然牛頓未署真名，約翰仍然猜出了是他，并且也不得不佩服地說：“我從利爪認(rèn)出了雄獅！”（Irecognize the lion by his paw）。
復(fù)活節(jié)時(shí)，約翰共收到五份答案：除了約翰自己和牛頓的之外，還有萊布尼茲、法國的洛必達(dá)侯爵、以及他的哥哥雅各布。
盡管牛頓的才能使約翰沮喪，他仍然得意地認(rèn)為自己的方法是所有答案中最簡潔漂亮的，而認(rèn)為他哥哥雅各布的方法最笨最差。牛頓等其余三人用的是微積分方法，在此不表。伯努利弟兄方法的差別何在呢？ 約翰的答案簡潔漂亮，是因?yàn)樗栌昧斯鈱W(xué)中費(fèi)馬的光程（或時(shí)間）最短原理。
法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat，Pierrede，1601-1665）是個(gè)很奇怪的學(xué)者，他是法院的法律顧問，算是個(gè)業(yè)余數(shù)學(xué)家。他的特點(diǎn)是不怎么發(fā)表著作，經(jīng)常是只在書的邊緣處寫下一些草率的注記，或者是偶然地將他的發(fā)現(xiàn)寫信告訴他的朋友。現(xiàn)在看來，即使是這種草率注記中的三言兩語，已經(jīng)使世人震撼忙碌不已，要是費(fèi)馬正兒八經(jīng)地專門研究數(shù)學(xué)，那還了得？
例如，1637年，費(fèi)馬在閱讀《算術(shù)》一書時(shí)，曾寫下注記：“將一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)之和，或一個(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪之和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次冪之和，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下……”。就是這一段短短的注記，后來被稱之為“費(fèi)馬大定理”的猜想，就困惑了數(shù)學(xué)家們整整358年！
費(fèi)馬研究光學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)，光線總是按照時(shí)間最小的路線傳播。這個(gè)原理，是幾何光學(xué)的基礎(chǔ)，可以從后來的惠更斯原理推導(dǎo)出來。事實(shí)上，費(fèi)馬原理現(xiàn)代版的更準(zhǔn)確表述應(yīng)該是：光線總是按照時(shí)間最小、或最大、或平穩(wěn)點(diǎn)的路線傳播。換言之，光線傳播的經(jīng)典路徑是變分為0的路徑。所以事實(shí)上，有關(guān)光線傳播的費(fèi)馬原理應(yīng)該算是變分法的最早例子，但在當(dāng)時(shí)，人們尚未認(rèn)識(shí)到這點(diǎn)，也沒有進(jìn)行詳細(xì)的理論研究。
約翰·伯努利畢竟腦瓜子靈活，將費(fèi)馬原理信手拈來，把小球在重力場中的運(yùn)動(dòng)類比于光線在介質(zhì)中的傳播，導(dǎo)出了最速落徑問題中那條費(fèi)時(shí)最短的路徑所滿足的微分方程。這個(gè)微分方程的解，實(shí)際上就是同時(shí)代的惠更斯曾經(jīng)研究過的“擺線”（沿直線滾動(dòng)的圓的邊界上一點(diǎn)的軌跡）。或者說，最速落徑就是倒過來看的擺線，見圖2中的右圖。
約翰很得意地將最速落徑問題中的物體類比于光線，貌似輕而易舉地解決了問題，也得到了正確的答案（圖3a）。用現(xiàn)代物理學(xué)對光的理解來審查約翰的解法，光和物體的確可以類比。但在當(dāng)時(shí)，約翰的方法恐怕只能算是一種投機(jī)取巧，因?yàn)樗耆珱]有證據(jù)來說明這種做法的正確性。
雅各布·伯努利的方法雖然被約翰看不上，認(rèn)為太繁復(fù)，但卻在繁復(fù)的推導(dǎo)中閃爍出新的變分思想的光輝。雅各布沒有使用像現(xiàn)成的費(fèi)馬原理這類的東西，而是從重力運(yùn)動(dòng)下小球遵循的物理和幾何規(guī)律來仔細(xì)推敲這個(gè)問題。他首先假設(shè)小球是沿著一條時(shí)間最短的路線下滑的，然后考慮：如果在某個(gè)時(shí)刻，小球的路線稍微偏離了這條時(shí)間最短的路線，走了別的什么路徑的話，會(huì)發(fā)生什么情況呢（圖3b）？
大家可以注意到，上述雅各布的做法已經(jīng)是一種變分的思想，因?yàn)樗窃诳紤]所有微小偏離路徑中使得時(shí)間最小的那個(gè)偏離。然后，雅各布用二階導(dǎo)數(shù)的方法證明了，在這種情形下，為了使小球繼續(xù)走時(shí)間最短的路，它的路線的微分偏離量，dx和dy，應(yīng)該滿足的方程，就正好是擺線所滿足的微分方程。
從圖3中可粗略看出，約翰簡單地使用費(fèi)馬折射定律，雅各布用考慮二階導(dǎo)數(shù)的“繁瑣”方法，最后都導(dǎo)致了同樣的公式，即圖3a和圖3b中間的方程，解決了最速落徑問題。
伯努利兄弟的你爭我斗推動(dòng)了變分法和泛函分析的發(fā)展。沒過幾年，哥哥雅各布就去世了。看來，約翰是過不了沒有競爭對手的日子，他繼而又把對雅各布的嫉妒心轉(zhuǎn)移到了自己的天才兒子丹尼爾?伯努利的身上。
恩怨情仇之父子鬧翻
丹尼爾?伯努利是約翰次子。他幼時(shí)對數(shù)學(xué)有特別的愛好。他13歲入大學(xué)學(xué)習(xí)哲學(xué)與邏輯，后來想進(jìn)修數(shù)學(xué)，但他的父親勸他說數(shù)學(xué)掙不到錢，建議他經(jīng)商。不過丹尼爾的脾氣很執(zhí)著，后來父親不得不讓步，也像其父一樣先習(xí)醫(yī)，1721年獲巴塞爾大學(xué)醫(yī)學(xué)博士學(xué)位，但在其家族的熏陶感染下，不久便轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)，在父兄指導(dǎo)下從事數(shù)學(xué)研究，并且成為這個(gè)家族中成就最大者。
1724年，他赴意大利威尼斯，其間在哥特巴赫協(xié)助下，發(fā)表《數(shù)學(xué)練習(xí)》。書的第二部分是關(guān)于流體力學(xué)的，說明從那時(shí)起他已經(jīng)對流體力學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。這本書立即引起學(xué)術(shù)界關(guān)注，并被邀請到俄國圣彼得堡科學(xué)院工作。同年，他還用變量分離法解決了微分方程中的“里卡蒂”方程的求解問題。第二年，25歲的丹尼爾受聘為圣彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)教授，并被選為該院名譽(yù)院士。
1734年，他返回巴塞爾，教授解剖學(xué)和植物學(xué)和自然哲學(xué)．丹尼爾的貢獻(xiàn)集中在微分方程、概率和數(shù)學(xué)物理，被譽(yù)之為數(shù)學(xué)物理方程的開拓者和奠基人。他曾10次獲得法國科學(xué)院頒發(fā)的獎(jiǎng)金，能與之相媲美的只有大數(shù)學(xué)家歐拉。丹尼爾于1747年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士，1748年當(dāng)選巴黎科學(xué)院院士，1750年當(dāng)選英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員．他一生獲得多項(xiàng)榮譽(yù)稱號(hào)。
1734年丹尼爾回到巴塞爾之后，父子兩個(gè)鬧翻了。起因是，那一年丹尼爾提供了一篇關(guān)于天文學(xué)的論文去應(yīng)征巴黎科學(xué)院的大獎(jiǎng)，不巧的是他的父親約翰也提交了應(yīng)征那次大獎(jiǎng)的論文，結(jié)果是兩個(gè)人都獲獎(jiǎng)來分享那次大獎(jiǎng)。這件事激怒了約翰，認(rèn)為是兒子預(yù)先設(shè)計(jì)了一個(gè)圈套要與他平起平坐。事后丹尼爾回到他父親的家時(shí)被拒之門外。后來一直到死，約翰也沒有諒解他的兒子。這件事有可能影響后來丹尼爾沒有在數(shù)學(xué)上的學(xué)術(shù)進(jìn)取，再也沒有他在彼得堡時(shí)對嚴(yán)格數(shù)學(xué)的那種激情。他說過：“如果地球上沒有數(shù)學(xué)家，真實(shí)的物理也許會(huì)更好。”
如果說，在父子反目之后，丹尼爾有意回避他父親約翰的研究領(lǐng)域，對數(shù)學(xué)的熱情降低了許多。而相反約翰卻有意去進(jìn)入丹尼爾所熟悉的流體力學(xué)領(lǐng)域。
在大約1739年或稍后，約翰出版了一本《水力學(xué)》（hydraulics），不過注明的出版時(shí)間有意放在丹尼爾的《流體動(dòng)力學(xué)》出版日期1738年之前的1732年。他這樣做的目的是要人相信似乎丹尼爾的書是抄襲他的書而來的。后人評論約翰的書是一本典型的抄襲之作。
在約翰的書中，他是想盡量從牛頓的原理直接進(jìn)行推演，以說明他的獨(dú)立著作，不過書中有相當(dāng)多的部分是取自丹尼爾書的內(nèi)容。大部分結(jié)果也并沒有超出丹尼爾的書。
約翰雖然在家族爭斗中很牛逼，但是也還是有被人坑的時(shí)候。
恩怨情仇之發(fā)明之爭
約翰與另一位數(shù)學(xué)家洛必達(dá)之間也有一段紛爭，因?yàn)楸娝苤摹奥灞剡_(dá)法則”，實(shí)際上是約翰·伯努利發(fā)現(xiàn)的。這是怎么回事呢？
原來，洛必達(dá)是一個(gè)貴族，業(yè)余時(shí)間喜歡搞一些數(shù)學(xué)，幾乎到了上癮的地步。甚至不惜花重金聘請當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家伯努利兄弟給他長期輔導(dǎo)。
可惜他的才氣遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如他的財(cái)氣。雖然十分用功，但他在數(shù)學(xué)上仍然沒有什么建樹。貝努利兄弟當(dāng)時(shí)正與萊布尼茲這樣的大數(shù)學(xué)家交流合作，所以總有最新成果教給洛必達(dá)。這些最新成果嚴(yán)重地打擊了他的自信心。一些他自己感到很得意，廢寢忘食搞出來的結(jié)果，與伯努利兄弟教給他的最新結(jié)果比起來只能算是一些簡單練習(xí)題，沒有絲毫創(chuàng)意。
另一方面，這些新結(jié)果又更激起了他對數(shù)學(xué)的著迷。他繼續(xù)請伯努利兄弟給他輔導(dǎo)。甚至當(dāng)他們離開巴黎回到瑞士以后，他還繼續(xù)通過通信方式請他們輔導(dǎo)。
如此持續(xù)了一段時(shí)間，他的“練習(xí)題”中仍沒有什么可以發(fā)表的東西。他內(nèi)心深處越來越喪氣，卻又不甘心。心想，我對數(shù)學(xué)如此熱心，一定要想辦法在數(shù)學(xué)上留下一點(diǎn)東西讓人記住我的名字。
終于有一天，他給伯努利兄弟之一的約翰寫了一封信，信中說： 很清楚，我們互相都有對方所需要的東西。我能在財(cái)力上幫助你，你能在的才智上幫助我。因此我提議我們做如下交易：我今年給你三百個(gè)里弗爾（注：一里弗爾相當(dāng)于一磅銀子）。并且外加兩百個(gè)里弗爾作為以前你給我寄的資料的報(bào)答。這個(gè)數(shù)量以后還會(huì)增加。
作為回報(bào)，我要求你從現(xiàn)在起定期抽出時(shí)間來研究一些固定問題，并把一切新發(fā)現(xiàn)告訴我。并且，這些結(jié)果不能告訴任何別的人，更不能寄給別人或發(fā)表……
約翰收到這封信開始感到很吃驚。但這三百里弗爾確實(shí)很吸引人。他當(dāng)時(shí)剛結(jié)婚，正是需要用錢的時(shí)候。而且?guī)椭灞剡_(dá)，還可以增加打入上流社會(huì)的機(jī)會(huì)。約翰想，洛必達(dá)最多不過就是拿這些結(jié)果到他的朋友那里去顯示一下，沒什么大不了的。算盤打下來，這筆交易還是比較化算的。于是，他定期給羅畢塔寄去一些研究結(jié)果。
洛必達(dá)都細(xì)心地研究它們，并把它們整理起來。一年后，洛必達(dá)出了一本書，題目叫《無窮小量分析》（就是現(xiàn)在的微積分）。其中除了他的“練習(xí)題”外，大多數(shù)重要結(jié)果都是從約翰寄來的那些資料中整理出來的。他還用了一些萊布尼茲的結(jié)果。他很聰明地在前言中寫到：我書中的許多結(jié)果都得益于約翰·伯努利和萊布尼茲，如果他們要來認(rèn)領(lǐng)這本書里的任何一個(gè)結(jié)果，我都悉聽尊便。
伯努利拿了人家的錢當(dāng)然不好意思再出來認(rèn)領(lǐng)這些定理。這書中就包括了大家熟知的定理洛必達(dá)法則。伯努利眼睜睜看著自已的結(jié)果被別人用卻因與人有約在先而說不出來。洛必達(dá)花錢買了個(gè)青史留名，這比后來的人花錢到某某大學(xué)買個(gè)學(xué)位劃算多了。
當(dāng)然伯努利不愿就此罷了。洛必達(dá)死后他就把那封信拿了出來，企圖重認(rèn)那越來越重要的洛必達(dá)法則。現(xiàn)在大多數(shù)人都承認(rèn)這個(gè)定理是他先證明的了。可是人們心中先入為主的定理名字恐怕是再也變不回來了。
小結(jié)
聽完這個(gè)故事，下次見到各種伯努利定理，就倍感熟悉了。
參考資料：
