1. 形式系統（Formal system）
在邏輯學與數學中，一個形式系統由兩部分組成，一個形式語言加上一套推理規則。
一個形式系統也許是純粹抽象地制定出來的，只是為了研究其自身。
也可能是為了描述真實現象或客觀事實而設計的。
2. λ演算（λ-caculus）
λ演算用于研究函數定義、函數應用和遞歸，它是一些形式系統的總稱，
配備不同的推理規則集，就會得到不同的演算系統。
λ演算由Alonzo Church和Stephen Cole Kleene在20世紀三十年代引入，
Church在1936年證明了，兩個λ表達式是否等價的問題，是不可判定的。
這是第一個被證明的不可判定問題，甚至早于停機問題。
λ演算對函數式編程有巨大的影響。
1.1 λ項（λ-terms）
采用BNF，λ項的文法可以描述如下，
M ::= x | MM | λx.M
注：為行文簡便，這里省略了(和)。
它表明，合法的表達式，要么是一個變量：x，
要么是一個函數調用（application）：MM，
要么是一個函數抽象（lambda abstraction）：λx.M。
例如：這些表達式是合法的，x，(λx.x)5，λx.y。
1.2 α轉換（α-conversion）
α轉換是一種推理規則，它基于以下事實，
函數的形參只是占位符，替換形參和函數體中相應的符號，所產生的新表達式與原表達式等價。
例如，經過α轉換之后，
λxy.x(xy) ≡ λuv.u(uv)
易見，α轉換是一個等價關系（自反的，對稱的，傳遞的）。
1.3 β歸約（β-reduction）
函數調用表達式，可以化簡，結果為函數體中的形參替換成實參后的表達式。
例如，(λx.x(xy))N可以一步β歸約為N(Ny)，
(λx.(λy.yx)z)v可以兩步β歸約為zv，
而(λx.xx)(λx.xx)可以無限制的進行β歸約。
通常我們把一步或者多步β歸約，簡稱為β歸約。
如果某一λ項不可再進行β歸約，就稱該項為β范式（β-normal form）。
如果某一λ項可以β歸約為兩個不同的項，
那么，這兩項必定可以再β歸約為同一項，這種性質稱為匯聚性（confluence）。
2. 惰性求值
大多數編程語言采用的策略是嚴格求值（strict evaluation），
即，求值子表達式總是在復合表達式之前進行，
或者說，在進入函數體之前，實參需要先求值。
例如：
head [3+2, 7*5] => head [5, 35] => 5
如果采用了這種求值策略，列表的長度就必須是有限的，
調用函數head之前，必須先確定列表中的每一個元素。
Haskell的實現ghc，并沒有采用這種求值策略，它希望求值一個表達式越晚越好。
在這個例子中，ghc并不會先確定列表元素的值，
而是直接調用head，得到一個尚未被求值的列表元素3+2。
而后，因為我們要在屏幕上顯示結果，所以迫使3+2必須被求值，顯示為5，
這種求值方式，被稱為惰性求值（lazy）。
2.1 WHNF（weak head normal form）
data MyList a = Empty | Prepend a (MyList a)
deriving Show
infiniteNumbers :: MyList Int
infiniteNumbers = createInfiniteNumbers 1
where
createInfiniteNumbers n = Prepend n (createInfiniteNumbers (n + 1))
myHead :: MyList a -> a
myHead Empty = error "empty list"
myHead (Prepend x _) = x
現在我們來計算myHead infiniteNumbers。
『希望求值一個表達式越晚越好』并不是一件簡單的事情，
因為即使infiniteNumbers不事先求值，在帶入myHead之后，還是不得不求值它，
仍然會導致createInfiniteNumbers無限遞歸。
其實，ghc在求值表達式時，并不會一次性的求值到底，
而是每次只將一個表達式求值到它的WHNF（weak head normal form），
即，求值到最外層的值構造器或者λ抽象為止。
值構造器以及λ抽象內部，就不會被求值了，
未被求值的部分用占位符來表示，稱為thunk。
ghc會記錄多個相同thunk的不同引用，使得這些相同thunk只會被求值一次。
2.2 求值過程
myHead infiniteNumbers
我們來看上式的求值過程：
（1）myHead infiniteNumbers這個表達式是一個thunk，由于我們要在屏幕上顯示它的值，所以不得不求值它。
（2）我們需要將上述thunk求值為WHNF，于是，將infiniteNumbers保存為另外一個新的thunk，調用函數myHead。
（3）myHead會對參數進行模式匹配，因此參數不得不被求值。
（4）infiniteNumbers求值會導致createInfiniteNumbers 1被求值。因為，只需求值到WHNF，所以不會引起無限遞歸。
（5）結果為Prepend 1 (createInfiniteNumbers (1 + 1))，它是一個WHNF。其中，Prepend可被用于模式匹配，而1和createInfiniteNumbers (1 + 1)都是thunk。
（6）現在myHead就可以對參數進行匹配了，myHead (Prepend x _) = x滿足匹配條件，x匹配到了1，于是myHead返回了1，注意1還是一個thunk。
（7）為了把1這個thunk顯示出來，繼續求值，結果為數字1。
注：
只有infiniteNumbers的值被需要的時候，才會調用createInfiniteNumbers 1，
也就是說，thunk可以不是weak head normal form，
但是如果thunk被求值，其結果一定是weak head normal form。
因此，在這個例子中，調用myHead infiniteNumbers之前，
infiniteNumbers是未求值的，
即使是，它所對應的createInfiniteNumbers 1不是一個weak head normal form。
2.4 seq
為了對求值進行控制，ghc內置了seq函數。
ghci> :t seq
ghci> seq :: a -> b -> b
它首先將第一個參數求值為WHNF，然后返回第二個參數。
例如：
ghci> let x = 1 + 2 :: Int
ghci> let y = (x, x)
ghci> let u = 1 + 2 :: Int
ghci> let v= seq u (u, u)
ghci> let f (_, _) = 0
ghci> f y
ghci> f v
ghci> :sprint x
x= _
ghci> :sprint u
u = 3
注：
:sprint是ghci提供的功能，用于顯示表達式的結果，但不會對它求值。
3. 參考
形式系統
Lambda-Calculus and Combinators
Beginning Haskell
Parallel and Concurrent Programming in Haskell
:sprint for polymorphic values
GHCi :sprint has odd/unhelpful behavior for values defined within the REPL
