博主剛寫了一篇Luogu T1125的解題報告，里面涉及到歐拉篩法。本篇博文會介紹一些素數篩法和素數驗證法。

博主的數論并不是特別好，各路大神輕點噴

素數篩法

1. Eratosthenes篩法

又名:埃拉托斯特尼篩法
時間復雜度：$O(nlog_{2}{log_{2}n})$
難度：☆

具體代碼：

memset(check,false,sizeof(check));
int tot=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
    if(!check[i])
    {
        prime[++tot]=i;
        for(int j=i*2;j<=n;j+=i)//i的倍數都不是素數
            check[j]=true;
    };

2. Euler篩法

又名：歐拉篩法、線性篩法
時間復雜度：$O(n)$
難度：★

具體代碼：

for(int i=2;i<=m;i++)
{
    if(!check[i])prime[++tot]=i;
    for(int j=1;j<=tot;j++)
    {
        if(i*prime[j]>m)break;//超了范圍就不做了，減少運行時間
        check[i*prime[j]]=true;//一個數乘另一個數所得到的數一定不是素數
        if(i%prime[j]==0)break;//此時i是一個合數，退出
    };
};

驗證素數

普通驗證素數法

時間復雜度：$O(\sqrt n)$
難度：☆

bool flag=true;
for(int i=1;i<=trunc(sqrt(prime));i++)
    if(prime%i==0)flag=false;//置不是素數標志

Miller-Rabin

時間復雜度：$O(k*log_{2}n)$ k是次數(見下文)
難度：★★★

這里只說明一下原理，關于代碼，自行百度吧。

• 根據費馬小定理，隨機選一個數$a\in(1,p)$，若$a^{p-1}\equiv1$(mod p)則很有可能是素數。多次嘗試（嘗試k次）若都成立若都成立則判定為素數。
• 但是合數也有可能能通過這一測試：Carmichael數
• Carmichael概念：
  　　卡邁克爾數是一種合數，使得對于所有跟n互質的整數a：$a^{n-1}\equiv1$(mod n)
• 這種數用此方法測試時，除非random出其因子，不然都無法判斷為合數。例如：6。
• 二次探測定理：若n為素數，方程$x^2\equiv1$(mod n)小于n的正整數解只有$x=1$和$x=n-1$。
• 先計算出m、j，使得$n-1=m*2^j$且j盡可能大。
• 隨機選一個數$a\in(1,n)$
• 計算x=$a^m$mod n
• 然后將x不斷平方j次，重復如下步驟：
  　　1. 計算y=$x^2$mod n
  　　2. 如果y=1并且$x\neq1,n-1$，此時一定不是素數，退出測試
  　　3. x=y；
  　　4. 如果y=1，暫時認為是素數，回到2.繼續下一輪
  若上述計算中沒有滿足2.和4.而正常退出，即不滿足$a^{n-1}\equiv1$(mod n)，一定不是質數

Ps.此方法參考了陳淙靚在清北學堂的課件

原文請查看我的博文
此博文到此結束，感謝惠讀