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二叉查找樹(shù)（英語(yǔ)：Binary Search Tree），也稱二叉搜索樹(shù)、有序二叉樹(shù)（英語(yǔ)：ordered binary tree），排序二叉樹(shù)（英語(yǔ)：sorted binary tree）。是一種特殊類型的二叉樹(shù)（每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)的樹(shù)），它執(zhí)行插入和刪除，以使樹(shù)始終排序。

屬性：“始終排序”

下面是一個(gè)二叉搜索樹(shù)的例子：

注意每個(gè)左邊的子節(jié)點(diǎn)是小于它的父節(jié)點(diǎn)的，并且每個(gè)右邊的子節(jié)點(diǎn)都是大于它的父節(jié)點(diǎn)的。這是二叉搜索樹(shù)的關(guān)鍵特征。

例子中，2 小于 7 ，所以它在左邊； 5 大于 2 ，所以它在右邊。

插入新節(jié)點(diǎn)

當(dāng)執(zhí)行插入時(shí)，我們首先將新值與根節(jié)點(diǎn)進(jìn)行比較。如果新值較小，我們把它放到左分支；如果新值較大，我們把它放到右分支。我們以這種方式在樹(shù)種一直尋找，直到找到一個(gè)合適的位置插入新值。

假設(shè)我們要插入新值 9 ：

• 我們從樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)（值為 7 的節(jié)點(diǎn)）開(kāi)始，并將其與新值 9 進(jìn)行比較。
• 9 > 7 ，所以我們沿著右分支并重復(fù)相同的過(guò)程，但這次在節(jié)點(diǎn)10上。
• 因?yàn)?9 < 10，所以我們走左分支。
• 我們已經(jīng)沒(méi)有值可以比較了，新值 9 應(yīng)該插入在這里。

新元素插入到樹(shù)中的位置只有一種可能。找到這個(gè)位置通常很快。他需要的 O(h) 的時(shí)間，其中h是樹(shù)的高度。

注意: 節(jié)點(diǎn)的 高度 是從該節(jié)點(diǎn)到其最低葉所需的步驟數(shù)。整個(gè)樹(shù)的高度是從根到最低葉的距離。二叉搜索樹(shù)上的許多操作都是用樹(shù)的高度表示的。

遵循這個(gè)簡(jiǎn)單的規(guī)則 -- 左側(cè)的值較小，右側(cè)的值較大 -- 我們保持樹(shù)的排序方式，這樣每當(dāng)查詢時(shí)，可以快速檢查一個(gè)值是否在樹(shù)中。

搜索樹(shù)

為了在樹(shù)中找到一個(gè)值，我們執(zhí)行與插入基本上相同的步驟：

• 如果值小于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，則取左側(cè)分支。
• 如果值大于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，則取右側(cè)分支。
• 如果值等于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，我們就找到了！

像大多數(shù)樹(shù)操作一樣，這是遞歸執(zhí)行的，直到我們找到要查找的值，或者遍歷完整個(gè)樹(shù)。

如果我們?cè)诶又胁檎抑?5 ，它將如下所示：

由于樹(shù)的結(jié)構(gòu)，搜索真的很快。它的運(yùn)行時(shí)間是 O(h) 。如果你有一個(gè)有100萬(wàn)個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡樹(shù)（well-balanced tree），它只需要大約20個(gè)步驟來(lái)找到這棵樹(shù)中的任何東西。（這個(gè)想法非常類似于數(shù)組中的二分搜索。）

遍歷樹(shù)

有時(shí)你不只想看一個(gè)節(jié)點(diǎn)，而是想看所有的節(jié)點(diǎn)。

有三種方法來(lái)遍歷二叉樹(shù)：

1. 按順序（或深度優(yōu)先）：首先查看節(jié)點(diǎn)的左子節(jié)點(diǎn)，然后查看節(jié)點(diǎn)本身，最后查看其右子節(jié)點(diǎn)。
2. 按節(jié)點(diǎn)：先看一個(gè)節(jié)點(diǎn)，然后看它的左右子節(jié)點(diǎn)。
3. 反序: 先看左右子節(jié)點(diǎn)，最后處理節(jié)點(diǎn)本身。

這里再一次發(fā)生遞歸。

如果按順序遍歷二叉搜索樹(shù)，它會(huì)查看所有節(jié)點(diǎn)，就好像它們從低到高排序一樣。遍歷示例中的樹(shù)，它會(huì)打印 1, 2, 5, 7, 9, 10 ：

刪除節(jié)點(diǎn)

刪除節(jié)點(diǎn)有點(diǎn)棘手。刪除葉節(jié)點(diǎn)很容易，你只需要將它與父節(jié)點(diǎn)斷開(kāi)：

如果要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)子節(jié)點(diǎn)，我們可以將該子節(jié)點(diǎn)鏈接到父節(jié)點(diǎn)。 所以我們只需拉出節(jié)點(diǎn)：

棘手部分是，當(dāng)刪除節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)。為了保持樹(shù)排序正確，我們必須用大于節(jié)點(diǎn)的最小子節(jié)點(diǎn)替換這個(gè)節(jié)點(diǎn)：

這總右子樹(shù)里的最左邊的子節(jié)點(diǎn)。需要額外搜索，最多耗時(shí) O(h) 來(lái)找到這個(gè)孩子。

其他涉及二叉搜索樹(shù)的代碼相當(dāng)簡(jiǎn)單(如果你理解遞歸),但刪除節(jié)點(diǎn)有點(diǎn)棘手。

代碼(方案1)

有如此多的理論。讓我們看看如何能迅速實(shí)現(xiàn)二叉搜索樹(shù)。你可以用不同的方法。首先，我將向您展示如何創(chuàng)建一個(gè)基于類的版本，但我們還將介紹如何使用枚舉創(chuàng)建一個(gè)版本。

這是第一次嘗試 BinarySearchTree 類:

public class BinarySearchTree<T: Comparable> {
    private(set) public var value: T
    private(set) public var parent: BinarySearchTree?
    private(set) public var left: BinarySearchTree?
    private(set) public var right: BinarySearchTree?
    
    public init(value: T) {
        self.value = value
    }
    
    public var isRoot: Bool {
        return parent == nil
    }
    
    public var isLeaf: Bool {
        return left == nil && right == nil
    }
    
    public var isLeftChild: Bool {
        return parent?.left === self
    }
    
    public var isRightChild: Bool {
        return parent?.right === self
    }
    
    public var hasLeftChild: Bool {
        return left != nil
    }
    
    public var hasRightChild: Bool {
        return right != nil
    }
    
    public var hasAnyChild: Bool {
        return hasLeftChild || hasRightChild
    }
    
    public var hasBothChildren: Bool {
        return hasLeftChild && hasRightChild
    }
    
    public var count: Int {
        return (left?.count ?? 0) + 1 + (right?.count ?? 0)
    }
}

這個(gè)類只描述了一個(gè)節(jié)點(diǎn),而不是整個(gè)樹(shù)。這是一個(gè)泛型類型,因此,節(jié)點(diǎn)可以存儲(chǔ)任何類型的數(shù)據(jù)。它還引用其左、右子節(jié)點(diǎn)和父節(jié)點(diǎn)。

這樣創(chuàng)建它：

let tree = BinarySearchTree<Int>(value: 7)

count 屬性決定了樹(shù)和子樹(shù)有多少節(jié)點(diǎn)。這不僅僅計(jì)算節(jié)點(diǎn)的直接子節(jié)點(diǎn)，而且計(jì)算他們的子節(jié)點(diǎn)和他們的子節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)，等等。

如果這個(gè)特定對(duì)象是根節(jié)點(diǎn)，則它計(jì)算整個(gè)樹(shù)中有多少個(gè)節(jié)點(diǎn)。 最初，count = 0。

注意：因?yàn)?left，right 和 parent 是可選的，所以我們可以很好地利用 Swift 的可選鏈接 (?) 和 nil-coalescing運(yùn)算符（??）。你也可以用 if let ，但是不那么簡(jiǎn)潔。

插入節(jié)點(diǎn)

一個(gè)樹(shù)節(jié)點(diǎn)本身毫無(wú)用處,這是如何將新節(jié)點(diǎn)添加到樹(shù):

    public func insert(value: T) {
        insert(value: value, parent: self)
    }
    
    private func insert(value: T, parent: BinarySearchTree) {
        if value < self.value {
            if let left = left {
                left.insert(value: value, parent: left)
            } else {
                left = BinarySearchTree(value: value)
                left?.parent = parent
            }
        } else {
            if let right = right {
                right.insert(value: value, parent: right)
            } else {
                right = BinarySearchTree(value: value)
                right?.parent = parent
            }
        }
    }

像許多其他樹(shù)操作一樣，插入是最簡(jiǎn)單的遞歸實(shí)現(xiàn)。我們將新值與現(xiàn)有節(jié)點(diǎn)的值進(jìn)行比較，并決定是將其添加到左側(cè)分支還是右側(cè)分支。

如果沒(méi)有更多的左、右子節(jié)點(diǎn)要查看，我們?yōu)樾鹿?jié)點(diǎn)創(chuàng)建一個(gè)BinarySearchTree對(duì)象，并通過(guò)設(shè)置其父節(jié)點(diǎn)屬性將其連接到樹(shù)。

注意： 因?yàn)槎嫠阉鳂?shù)的在左邊的節(jié)點(diǎn)較小，在右邊的節(jié)點(diǎn)較大，你應(yīng)該總是在根節(jié)點(diǎn)插入元素，以確保這是一個(gè)有效的二叉樹(shù)！

根據(jù)例子建立完整的樹(shù):

let tree = BinarySearchTree<Int>(value: 7)
tree.insert(value: 2)
tree.insert(value: 5)
tree.insert(value: 10)
tree.insert(value: 9)
tree.insert(value: 1)

注意： 以后就會(huì)明白這么做的原因，你應(yīng)該插入隨機(jī)的數(shù)字。如果你按順序插入，樹(shù)不會(huì)有正確的形狀。

為了方便起見(jiàn)，我們添加一個(gè) init 方法，為數(shù)組中的所有元素調(diào)用 insert() ：

    public convenience init(array: [T]) {
        precondition(array.count > 0)
        self.init(value: array.first!)
        for v in array.dropFirst() {
            insert(value: v, parent: self)
        }
    }

現(xiàn)在你可以這樣做：

let tree = BinarySearchTree<Int>(array: [7, 2, 5, 10, 9, 1])

數(shù)組中的第一個(gè)值成為樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)。

調(diào)試輸出

當(dāng)使用像這樣的有些復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)時(shí)，有人類可讀的調(diào)試輸出是很有用的。

extension BinarySearchTree: CustomStringConvertible {
    public var description: String {
        var s = ""
        if let left = left {
            s += "(\(left.description)) <- "
        }
        s += "\(value)"
        if let right = right {
            s += " -> (\(right.description))"
        }
        return s
    }
}

當(dāng)你調(diào)用 print(tree) ，輸出如下：

((1) <- 2 -> (5)) <- 7 -> ((9) <- 10)

根節(jié)點(diǎn)在中間。想象一下，你應(yīng)該看到這確實(shí)對(duì)應(yīng)于以下樹(shù)：

順便說(shuō)一下，你可能想知道當(dāng)你插入重復(fù)項(xiàng)目會(huì)發(fā)生什么？ 我們總是將它們插入到正確的分支中。 試試看！

搜索

我們現(xiàn)在做什么，我們?cè)跇?shù)中有一些值？搜索他們！能夠快速找到項(xiàng)目是二叉搜索樹(shù)的整個(gè)目的。 :-)

這是 search() 的實(shí)現(xiàn)：

    public func search(value: T) -> BinarySearchTree? {
        if value < self.value {
            return left?.search(value: value)
        } else if value > self.value {
            return right?.search(value: value)
        } else {
            return self // 找到了！
        }
    }

我希望邏輯清晰：這在當(dāng)前節(jié)點(diǎn)（通常是根節(jié)點(diǎn)）處開(kāi)始，并比較這些值。如果搜索值小于節(jié)點(diǎn)的值，我們?cè)谧蠓种е欣^續(xù)搜索；如果搜索值更大，我們?cè)谟曳种е欣^續(xù)搜索。

當(dāng)然，如果沒(méi)有更多的節(jié)點(diǎn)可查看 -- 當(dāng)左子節(jié)點(diǎn)或右子節(jié)點(diǎn)為空，那么我們返回 nil 以指示搜索值不在樹(shù)中。

注意： 在Swift中，使用可選鏈接非常方便；當(dāng)你寫(xiě)下 left?.search(value) 時(shí)，如果 left 是 nil ，它將自動(dòng)返回 nil 。 沒(méi)有必要使用 if 語(yǔ)句顯式檢查這一點(diǎn)。

搜索是一個(gè)遞歸過(guò)程，但您也可以使用簡(jiǎn)單的循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)：

    public func search(value: T) -> BinarySearchTree? {
        var node: BinarySearchTree? = self
        while case let n? = node {
            if value < n.value {
                node = n.left
            } else if value > n.value {
                node = n.right
            } else {
                return node
            }
        }
        return nil
    }

驗(yàn)證一下，你明白這兩個(gè)實(shí)現(xiàn)是等價(jià)的。就個(gè)人而言，我喜歡使用迭代代碼而不是遞歸代碼，但你的意見(jiàn)可能不同。 ;-)

以下是測(cè)試搜索的方法：

tree.search(value: 5)
tree.search(value: 2)
tree.search(value: 7)
tree.search(value: 6) // nil

前三行都返回相應(yīng)的 BinaryTreeNode 對(duì)象。 最后一行返回 nil ，因?yàn)闆](méi)有值為 6 的節(jié)點(diǎn)。

注意： 如果樹(shù)中有重復(fù)項(xiàng)，search() 總是返回“最高”節(jié)點(diǎn)。 這是有道理的，因?yàn)槲覀冮_(kāi)始從根節(jié)點(diǎn)向下搜索。

遍歷

記得有3種不同的方法來(lái)查看樹(shù)中的所有節(jié)點(diǎn)嘛？ 他們是：

    public func traverseInOrder(process: (T) -> Void) {
        left?.traverseInOrder(process: process)
        process(value)
        right?.traverseInOrder(process: process)
    }
    
    public func traversePreOrder(process: (T) -> Void) {
        process(value)
        left?.traversePreOrder(process: process)
        right?.traversePreOrder(process: process)
    }

    public func traversePostOrder(process: (T) -> Void) {
        left?.traversePostOrder(process: process)
        right?.traversePostOrder(process: process)
        process(value);
    }

他們都做同樣的事情，但順序不同。 再次注意，所有的工作都是遞歸完成的。 由于Swift可選鏈接的特性，當(dāng)沒(méi)有左或右子節(jié)點(diǎn)時(shí)，對(duì) traverseInOrder() 等的調(diào)用會(huì)被忽略。

要打印從低到高排序的樹(shù)中的所有值，可以這樣寫(xiě)：

tree.traverseInOrder{ value in print(value) }

這將打印以下內(nèi)容：

1
2
5
7
9
10

你還可以向樹(shù)中添加 map() 和 filter() 。 例如，下面是一個(gè)map的實(shí)現(xiàn)：

    public func map(formula: (T) -> T) -> [T] {
        var a = [T]()
        if let left = left { a += left.map(formula: formula) }
        a.append(formula(value))
        if let right = right { a += right.map(formula: formula) }
        return a
    }

這個(gè)閉包將調(diào)用樹(shù)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的公式，并將結(jié)果收集到數(shù)組中。 map() 按順序來(lái)遍歷樹(shù)。

一個(gè)非常簡(jiǎn)單的使用 map() 的例子：

    public func toArray() -> [T] {
        return map { $0 }
    }

這將樹(shù)的內(nèi)容變?yōu)榕藕眯虻臄?shù)組。 在 playground 上試試：

tree.toArray() // [1, 2, 5, 7, 9, 10]

作為練習(xí)，看看你是否可以實(shí)現(xiàn) filter 和 reduce 。

刪除節(jié)點(diǎn)

您已經(jīng)看到刪除節(jié)點(diǎn)可能很棘手。 我們可以通過(guò)定義一些輔助函數(shù)使代碼更具可讀性。

    private func reconnectParentToNode(node: BinarySearchTree?) {
        if let parent = parent {
            if isLeftChild {
                parent.left = node
            } else {
                parent.right = node
            }
        }
        node?.parent = parent
    }

對(duì)樹(shù)進(jìn)行更改涉及更改一系列 parent 和 left 和 right 節(jié)點(diǎn)。這個(gè)功能有助于，它需要當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)（即 self ），并將其連接到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)。通常，另一個(gè)節(jié)點(diǎn)是 self 的孩子之一。

我們還需要一個(gè)返回節(jié)點(diǎn)最左邊的后代的方法：

   public func minimun() -> BinarySearchTree {
        var node = self
        while case let next? = node.left {
            node = next
        }
        return node
    }

要了解這是如何工作的，請(qǐng)看下面的樹(shù)：

例如，如果我們看節(jié)點(diǎn) 10 ，其最左邊的子節(jié)點(diǎn)是 6 。我們通過(guò)跟隨所有的左子節(jié)點(diǎn)到達(dá)那里，直到?jīng)]有更多的左子節(jié)點(diǎn)。根節(jié)點(diǎn) 7 的最左邊的子孫是 1。因此，1 是整個(gè)樹(shù)中的最小值。

我們不需要它刪除，但為了完整性，這里是相反的 minimum() ：

    public func maximum() -> BinarySearchTree {
        var node = self
        while case let next? = node.right {
            node = next
        }
        return node
    }

它返回節(jié)點(diǎn)的最右邊的后代。我們通過(guò)跟隨右子節(jié)點(diǎn)找到它，直到結(jié)束。在上面的例子中，節(jié)點(diǎn) 2 的最右邊的后代是 5 。整個(gè)樹(shù)中的最大值為 11 ，因?yàn)檫@是根節(jié)點(diǎn) 7 的最右邊的后代。

最后，我們可以編寫(xiě)從樹(shù)中刪除節(jié)點(diǎn)的代碼：

    public func remove() -> BinarySearchTree? {
        let replacement: BinarySearchTree?
        
        if let left = left {
            if let right = right {
                replacement = removeNodeWithChildren(left: left, right: right) // 1
            } else {
                replacement = left // 2
            }
        } else if let right = right { // 3
            replacement = right
        } else {
            replacement = nil // 4
        }
        
        reconnectParentToNode(node: replacement)
        
        parent = nil
        left = nil
        right = nil
        
        return replacement
    }

它看起來(lái)不那么可怕。 ;-) 有四種情況要處理：

1.此節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)。
2.此節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)左子節(jié)點(diǎn)。 左子節(jié)點(diǎn)替換該節(jié)點(diǎn)。
3.此節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)右子節(jié)點(diǎn)。 右子節(jié)點(diǎn)替換該節(jié)點(diǎn)。
4.此節(jié)點(diǎn)沒(méi)有子節(jié)點(diǎn)。 我們只是斷開(kāi)它和父節(jié)點(diǎn)的聯(lián)系。

首先，我們確定哪個(gè)節(jié)點(diǎn)將替換我們要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)，然后我們調(diào)用reconnectParentToNode() 來(lái)更改左，右和父指針，使之發(fā)生。 由于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)不再是樹(shù)的一部分，我們通過(guò)將其指針設(shè)置為nil來(lái)清除它。 最后，我們返回已替換已刪除節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)（如果這是葉節(jié)點(diǎn)，則返回nil）。

這里唯一棘手的是情況1，這個(gè)邏輯有自己的幫助方法：

    private func removeNodeWithTwoChildren(left: BinarySearchTree, right: BinarySearchTree) -> BinarySearchTree {
        let successor = right.minimun()
        let _ = successor.remove()
        
        successor.left = left
        left.parent = successor
        
        if right !== successor {
            successor.right = right
            right.parent = successor
        } else {
            successor.right = nil
        }
        
        return successor
    }

如果要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)，則必須由大于此節(jié)點(diǎn)值的最小子節(jié)點(diǎn)替換。 這恰好總是是右子節(jié)點(diǎn)的最左邊的子節(jié)點(diǎn)，即 right.minimum() 。 我們將該節(jié)點(diǎn)從樹(shù)中的原始位置取出，放到要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)的位置。

試試看：

    if let node2 = tree.search(value: 2) {
        print(tree) // 刪除前
        let _ = node2.remove()
        print(tree) // 刪除后
    }

首先，要使用 search() 找到要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)，然后在該對(duì)象上調(diào)用 remove() 。 在刪除之前，樹(shù)打印如下：

((1) <- 2 -> (5)) <- 7 -> ((9) <- 10)

在 remove() 之后，你將得到：

((1) <- 5) <- 7 -> ((9) <- 10)

正如你所看到的，節(jié)點(diǎn) 5 取代了 2。

注意：如果刪除根節(jié)點(diǎn)會(huì)發(fā)生什么？ 在這種情況下，remove() 告訴你哪個(gè)節(jié)點(diǎn)已經(jīng)成為新的根。 試試看：調(diào)用 tree.remove() 并看看會(huì)發(fā)生什么。

深度和高度

回想一下，節(jié)點(diǎn)的高度是到其最低葉的距離。 我們可以用以下函數(shù)計(jì)算：

    public func height() -> Int {
        if isLeaf {
            return 0
        } else {
            return 1 + max(left?.height() ?? 0, right?.height() ?? 0)
        }
    }

我們看看左右分支的高度，取最高的一個(gè)。 同樣，這是一個(gè)遞歸過(guò)程。 因?yàn)榻Y(jié)果看起來(lái)像遍歷節(jié)點(diǎn)的所有子節(jié)點(diǎn)，性能是 O(n) 。

注意： Swift的空合并運(yùn)算符(??)可以快速處理 值為 nil 的左或右節(jié)點(diǎn)。 你可以用這個(gè)，或者用 if let，但這是一個(gè)更簡(jiǎn)潔。

試試看：

print(tree.height())  // 2

您還可以計(jì)算節(jié)點(diǎn)的深度，這是到根的距離。 這里是代碼：

    public func depth() -> Int {
        var node = self
        var deges = 0
        while case let parent? = node.parent {
            node = parent
            deges += 1
        }
        return edges
    }

它向上遍歷樹(shù)，順找父節(jié)點(diǎn)，直到我們到達(dá)根節(jié)點(diǎn)（其父節(jié)點(diǎn)為nil）。 這需要 O(h) 時(shí)間。 例：

    if let node9 = tree.search(value: 9) {
        print(node9.depth())  // 2
    }

前任和后繼

二叉搜索樹(shù)總是“排序”，但這并不意味著連續(xù)的數(shù)字在樹(shù)中彼此相鄰。

注意，你只看左子節(jié)點(diǎn)的話，是找不到 7 的。 左子節(jié)點(diǎn)是 2 ，而不是 5 。同樣不是 7 后面的數(shù)字。

predecessor() 函數(shù)以順序返回其值在當(dāng)前值之前的節(jié)點(diǎn)：

    public func predecessor() -> BinarySearchTree<T>? {
        if let left = left {
            return left.maximum()
        } else {
            let node = self
            while case let parent? = node.parent {
                if parent.value < value {
                    return parent
                }
            }
            return nil
        }
    }

如果我們有一個(gè)左子樹(shù)很容易。 在這種情況下，直接調(diào)用 predecessor() 是該子樹(shù)中的最大值。 你可以在上面的圖片中驗(yàn)證 5 確實(shí)是 7 的左分支中的最大值。

然而，如果沒(méi)有左子樹(shù)，那么我們必須查看我們的父節(jié)點(diǎn)，直到我們找到一個(gè)較小的值。 因此，如果我們想知道節(jié)點(diǎn) 9 的前任是什么，我們繼續(xù)向上，直到我們找到具有較小值的第一個(gè)父節(jié)點(diǎn)，即 7 。

successor() 的代碼工作方式完全相同：

    public func successor() -> BinarySearchTree<T>? {
        if let right = right {
            return right.minimum()
        } else {
            var node = self
            while case let parent? = node.parent {
                if parent.value > value {
                    return parent
                }
                node = parent
            }
            return nil
        }
    }

這兩個(gè)方法的時(shí)間復(fù)雜度都是 O(h) 。

注意： 有一個(gè)很酷的變體稱為“螺紋”二叉樹(shù)，其中“未使用”的左和右指針被重用以在前任節(jié)點(diǎn)和后繼節(jié)點(diǎn)之間建立直接鏈接。 非常聰明！

搜索樹(shù)是否有效？

如果你想搞破壞，你可以通過(guò)調(diào)用 insert() 在一個(gè)不是根的節(jié)點(diǎn)，將二叉搜索樹(shù)變成一個(gè)無(wú)效樹(shù)，像這樣：

    if let node1 = tree.search(value: 1) {
        node1.insert(value: 100)
        print(tree)
    }

根節(jié)點(diǎn)的值為 7 ，因此值為 100 的節(jié)點(diǎn)應(yīng)該在樹(shù)的右分支中。 但是，你不是在根的插入，而是在樹(shù)的左側(cè)分支的葉節(jié)點(diǎn)。 所以新的 100 節(jié)點(diǎn)在樹(shù)的錯(cuò)誤的地方！

結(jié)果，tree.search(100) 返回 nil 。

您可以使用以下方法檢查樹(shù)是否是有效的二叉搜索樹(shù)：

    public func isBST(minValue: T, maxValue: T) -> Bool {
        if value < minValue || value > maxValue {
            return false
        }
        
        let leftBST = left?.isBST(minValue: minValue, maxValue: value) ?? true
        let rightBST = right?.isBST(minValue: value, maxValue: maxValue) ?? true
        return leftBST && rightBST
    }

這驗(yàn)證左分支確實(shí)包含小于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值，并且右分支僅包含較大的值。

調(diào)用如下：

    if let node1 = tree.search(value: 1) {
        print(tree.isBST(minValue: Int.min, maxValue: Int.max))   // true
        node1.insert(value: 100)  //破壞!!!
        print(tree.search(value: 100))  // nil
        print(tree.isBST(minValue: Int.min, maxValue: Int.max)) // false
    }

代碼（解決方案2）

我們已經(jīng)將二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)為類，但也可以使用枚舉。

區(qū)別在于參考語(yǔ)義與價(jià)值語(yǔ)義。 對(duì)基于類的樹(shù)進(jìn)行更改將更新內(nèi)存中的同一個(gè)實(shí)例。 但是基于枚舉的樹(shù)是不可變的 - 任何插入或刪除都會(huì)給你一個(gè)全新的樹(shù)的副本。 哪一個(gè)最好完全取決于你想要使用哪個(gè)。

這里是如何使用枚舉二叉搜索樹(shù)：

public enum BinarySearchTreeEnum<T: Comparable> {
    case Empty
    case Leaf(T)
    indirect case Node(BinarySearchTreeEnum<T>, T, BinarySearchTreeEnum<T>)
}

枚舉有三種情況：

• Empty 空標(biāo)記分支的結(jié)束（基于類的版本為此使用了 nil 引用）。
• Leaf 葉為沒(méi)有孩子的葉節(jié)點(diǎn)。
• Node 具有一個(gè)或兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)。 這是使用關(guān)鍵字 indirect，以便它可以保存 BinarySearchTree 值。 沒(méi)有 indirect，你不能使遞歸枚舉。

注意： 此二叉樹(shù)中的節(jié)點(diǎn)沒(méi)有對(duì)其父節(jié)點(diǎn)的引用。 這不是一個(gè)重要的障礙，但它會(huì)使某些操作略為繁瑣。

像往常一樣，我們將遞歸地實(shí)現(xiàn)大多數(shù)功能。 我們將對(duì)每個(gè)枚舉的情況略有不同。 例如，這是如何計(jì)算樹(shù)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)和樹(shù)的高度：

    public var count: Int {
        switch self {
        case .Empty:
            return 0
        case .Leaf:
            return 1
        case let .Node(left, _, _right):
            return left.count + 1 + _right.count
        }
    }

插入新節(jié)點(diǎn)如下所示：

    public func insert(newValue: T) -> BinarySearchTreeEnum {
        switch self {
        case .Empty:
            return .Leaf(newValue)
        case .Leaf(let value):
            if newValue < value {
                return .Node(.Leaf(newValue), value, .Empty)
            } else {
                return .Node(.Empty, value, .Leaf(newValue))
            }
        case .Node(let left, let value, let right):
            if newValue < value {
                return .Node(left.insert(newValue: newValue), value, right)
            } else {
                return .Node(left, value, right.insert(newValue: newValue))
            }
        }
    }

在 playground 里試試看：

var tree = BinarySearchTreeEnum.Leaf(7)
tree = tree.insert(2)
tree = tree.insert(5)
tree = tree.insert(10)
tree = tree.insert(9)
tree = tree.insert(1)

注意，每次插入后，你會(huì)得到一個(gè)全新的樹(shù)對(duì)象。這就是為什么你需要將結(jié)果賦值給 tree 。

這里是最重要的搜索功能：

  public func search(x: T) -> BinarySearchTreeEnum? {
      switch self {
      case .Empty:
          return nil
      case .Leaf(let y):
          return (x == y) ? self : nil
      case let .Node(left, y, right):
          if x < y {
                return left.search(x)
          } else if y < x {
              return right.search(x)
          } else {
             return self
          }
      }
  }

如你所見(jiàn)，這些函數(shù)中的大多數(shù)具有相同的結(jié)構(gòu)。

在 playground 中試試看：

tree.search(10)
tree.search(1)
tree.search(11)   // nil

要打印樹(shù)以進(jìn)行調(diào)試，可以使用以下方法：

extension BinarySearchTreeEnum: CustomDebugStringConvertible {
    public var debugDescription: String {
        switch self {
        case .Empty: return "."
        case .Leaf(let value): return "\(value)"
        case .Node(let left, let value, let right):
            return "(\(left.debugDescription) <- \(value) -> \(right.debugDescription))"
        }
    }
}

當(dāng)你調(diào)用 print(tree) 時(shí)，將會(huì)看到這樣的輸出：

((1 <- 2 -> 5) <- 7 -> (9 <- 10 -> .))

根節(jié)點(diǎn)在中間； . 表示在該位置沒(méi)有子節(jié)點(diǎn)。

當(dāng)樹(shù)變得不平衡...

當(dāng)二叉搜索樹(shù)的左和右子樹(shù)包含大致相同數(shù)量的節(jié)點(diǎn)時(shí)，它是平衡的。 在這種情況下，樹(shù)的高度是 log(n)，其中 n 是節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。 這是理想的情況。

然而，如果一個(gè)分支比另一個(gè)分支長(zhǎng)得多，搜索將變得非常慢。 我們最終檢索比我們理想情況下更多的值。 在最壞的情況下，樹(shù)的高度可以變?yōu)?n 。 這樣的樹(shù)比二叉搜索樹(shù)更像鏈表，性能降級(jí)到 O(n) 。 這可不好！

使二叉搜索樹(shù)平衡的一種方法是以完全隨機(jī)的順序插入節(jié)點(diǎn)。 平均來(lái)說(shuō)，應(yīng)該可以保持樹(shù)平衡。 但它不保證成功，也不總是實(shí)用。

另一個(gè)解決方案是使用自平衡二叉樹(shù)。 此類型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)會(huì)在插入或刪除節(jié)點(diǎn)后調(diào)整樹(shù)以保持平衡。 有關(guān)示例，請(qǐng)參閱AVL樹(shù)和紅黑樹(shù)。

也可以看看

維基百科上的二叉搜索樹(shù)

由 Nicolas Ameghino 和 Matthijs Hollemans 寫(xiě)的Swift算法俱樂(lè)部。