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今日練習：判斷一個自然數是否是素數（質數）

素數（質數）的定義：
一個大于1的自然數，如果除了1和它本身以外，沒有其他正因數，則稱為素數（或質數）。例如，2、3、5、7、11等是素數，而4、6、8、9等不是素數。

方案一：

def is_prime_fast(a):
    if a <= 1:
        return False
    y = 2
    while y * y <= a:    # 相比較而言，while y <= a:  優化循環條件，檢查到sqrt(a)
        if a % y == 0:
            return False
        y += 1
    return True

優化：將 while y <= a ，優化成 while y * y <= a

數學證明

為了更嚴謹，我們可以用數學歸納法證明：

命題：對于任何整數a > 1，如果a不是質數，那么它有一個因數b滿足b <= sqrt(a)。

證明：
假設a不是質數，那么存在兩個整數b和c，b >= 2，c >= 2，使得a = b * c。
假設b > sqrt(a)且c > sqrt(a)：
那么b * c > sqrt(a) * sqrt(a) = a。
但b * c = a，矛盾。
因此，至少有一個因數（b或c）滿足<= sqrt(a)。

性能比較

對于a = 1000000：

while y <= a ：需要約100萬次循環。
while y * y <= a：最多需要約1000次循環。

其他應用
這種優化不僅用于質數檢查，還用于：

因數分解：尋找所有因數時，只需檢查到sqrt(a)。
完美平方檢查：判斷a是否為完全平方數，可以檢查int(sqrt(a)) ** 2 == a。

方案二升級版：

# 輸入一個自然數，判斷是否是質因數

def prime(a):
    if a <= 1:
        return False
    if a == 2:
        return False
    if a % 2 == 0:   # 除2以外，所有的偶數都有因子
        return True

    y = 3
    while y**y <= a:
        while a % y == 0:
            return True
        y += 2     #如果一個數能被最小的質因數 3,5,7整除，再進行循環
    return False

a = int(input("請輸入一個自然數："))
print(prime(a))

進一步，減少循環判斷

跳過偶數：除了2，所有偶數都不是素數，因此可以跳過對偶數的檢查；
此外，針對奇數，可以先判斷被最小的質因數 3,5,7整除，再進行循環。
即檢查步長設為2（即檢查3, 5, 7, ...）。