題目

字符串APPAPT中包含了兩個單詞“PAT”，其中第一個PAT是第2位(P),第4位(A),第6位(T)；第二個PAT是第3位(P),第4位(A),第6位(T)。
現給定字符串，問一共可以形成多少個PAT？
輸入格式：
輸入只有一行，包含一個字符串，長度不超過105
，只包含P、A、T三種字母。
輸出格式：
在一行中輸出給定字符串中包含多少個PAT。由于結果可能比較大，只輸出對1000000007取余數的結果。
輸入樣例：APPAPT
輸出樣例：2

具體內容可訪問PAT網站：題目鏈接。

算法分析

如果使用暴力破解算法，時間復雜度為O(n^3)，顯然不是最優的方法。
可以使用遞推的思想來解決該問題。
已知一個長度為n的字符串中“PAT”的個數為sum，如果在這個字符串后添加一個字符后組成的新的字符串中“PAT”的個數會是多少呢？
如果添加的字符為‘P’，新字符串的“PAT”個數不發生變化。
如果添加的字符為‘A’，新字符串的“PAT”個數不發生變化。
如果添加的字符為‘T’，新字符串的“PAT”個數可能發生變化。而發生變化的數量是因為添加的‘T’構成了新的“PAT”。想要知道新構成的“PAT”的數量，則需要知道舊字符串中“PA”的數量，因為舊字符串中“PA”的數量等于新構成的“PAT”的數量。即新字符串的“PAT”個數=舊字符串中“PA”的數量+舊字符串中“PA”的數量。
想要知道舊字符串中“PA”的數量只需要使用上述的方法就可以得到，筆者就不再贅述，下文中將會用形式化方法展示算法的具體實現。

算法實現

令輸入的字符串為string，其下標為[1...n]。
string[x]為string中第x位的字母，x ∈ [1, n]。
pattern為連續的字符串模式，pattern={P, PA, PAT}。在本題中，關心的字符串模式只有上述3種。
sum(x, pattern)定義：對于子字符串string[1...x]，對應字符串模式pattern的總數。其中x ∈ [0, n]，且sum[0, patter] = 0。

1. 當string[x] = 'T'時：
   sum(x, P) <- sum(x - 1, P)
   sum(x, PA) <- sum(x - 1, PA)
   sum(x, PAT) <- sum(x - 1, PAT) + sum(x - 1, PA)
2. 當string[x] = 'A'時：
   sum(x, P) <- sum(x - 1, P)
   sum(x, PA) <- sum(x - 1, PA) + sum(x - 1, P)
   sum(x, PAT) <- sum(x - 1, PAT)
3. 當string[x] = 'P'時：
   sum(x, P) <- sum(x - 1, P) + 1
   sum(x, PA) <- sum(x - 1, PA)
   sum(x, PAT) <- sum(x - 1, PAT)
   對于一個長度為n的字符串string而言，其中PAT的數量也就是sum(n, PAT)。只需要從1-n遞推地計算sum值，即可得到最終結果。因此，該算法的時間復雜度為O(n)。

代碼實現

代碼是由C++實現的，如下所示。

#include <stdio.h>
#include <string.h>

const int maxStringLength = 100100;
const int module = 1000000007;
char inputArr[maxStringLength] = {0};
int length = 0;

void getInput();
void output(long long result);
long long calcSum();

int main() {
    long long result;
    getInput();
    if (length > 0) {
        result = calcSum();
        output(result);
    } else {
        output(0);
    }
    return 0;
}

void getInput() {
    scanf("%s", inputArr);
    length = strlen(inputArr);
}

void output(long long result) {
    printf("%lld", result % module);
}

long long calcSum() {
    long long sumP, sumPA, sumPAT;
    sumP = sumPA = sumPAT = 0;
    for (int i = 0; i < length; i ++) {
        if (inputArr[i] == 'P') {
            sumP ++;
        } else if (inputArr[i] == 'A') {
            sumPA += sumP;
        } else {
            sumPAT += sumPA;
        }
    }
    return sumPAT;
}