定義：對于任意矩陣A，都有一個確定的實數(shù)與之對應，并且這個實數(shù)滿足下面4條性質(zhì)：

• 非負性：除了零矩陣，其他任意矩陣的；
• 齊次性：對任意矩陣A和實數(shù)k，都有：；
• 三角不等性：對于任意兩個矩陣，都有：；
• 乘法不等性：對于任意兩個矩陣，都有：；

說明：任意矩陣都有范數(shù)，長方形、正方形、零值、復值矩陣都有范數(shù)！但都要滿足上面4條。

常用的矩陣范數(shù)

本文使用的是長方形矩陣：

下面常用的矩陣范數(shù)有3種，下面直接給出定義：

（1）無窮范數(shù)/行范數(shù)：各行絕對值求和，取最大那個

（2）1范數(shù)/列范數(shù)：各列絕對值求和，取最大那個

（3）2范數(shù)：與轉(zhuǎn)置陣相乘后，取最大特征值的開根號

其中表示的最大特征值；我們知道：一個矩陣的轉(zhuǎn)置與它自己想乘，就會得到一個對稱正定陣！并且對稱正定陣的特征值都是非負的！所以2范數(shù)根號里的東西不可能是負數(shù)，2范數(shù)的結(jié)果也不可能是復數(shù)，故仍滿足上面的4個條件。

注意：矩陣x哪怕只是個行向量或列向量，所有的范數(shù)它也是擁有的！

最后對范數(shù)的說明：對于矩陣而言沒必要考慮范數(shù)的區(qū)別，因為有限維空間的范數(shù)都等價(Minkowski定理)。后面要根據(jù)范數(shù)做判斷時，既然范數(shù)沒區(qū)別，那么意思就是各種范數(shù)都要滿足條件。

譜半徑

譜半徑只針對"方陣"而言！設為n階方陣A的全部特征值。則稱：

為方陣A的譜半徑，含義為：絕對值最大的那個特征值(方陣自己的特征值是可以有正有負的)。

注意：方陣A的譜半徑不超過其任何一種范數(shù)！即：

補充1

上述各種范數(shù)，對應matlab中的函數(shù)是norm，已親測norm函數(shù)和上文說的內(nèi)容是一致的。

給一個2范數(shù)的例子：(轉(zhuǎn)置*原矩陣)的最大特征的開根號

clear ; clc

a = [1 3 9;2 8 -3;2 0 1];
[x y] = eig(a'*a);  % y矩陣的對角元素是特征值

% 最大特征值開根號:
% 手動實現(xiàn)f2_sd
f2_sd = sqrt( max( diag(y) ) )
% 自帶函數(shù)f2_sd, 默認也是2范數(shù)
f2_zd = norm(a,2)

結(jié)果：一致

f2_sd =

    9.6142


f2_zd =

    9.6142