前情概要

我們先來回顧上一篇談到的“風險分攤”，我們通過調整收益變化的概率分布，使其波動范圍逐步向中間“靠攏”，來達到降低風險的目的（如下圖所示，想要了解具體內容的小伙伴，點此跳轉至上一篇文章）。事實上，這種“向中靠攏”的實現，我們也稱為方差最小化（或者標準差最小化）。

現代投資組合理論

現代投資組合理論(Modern Portfoilio Theory) 的核心思想，正是以“最小化收益率變化方差，并最大化期望收益”為目標來配置資產，也被叫做均值-方差 (Mean-Variance) 分析，是金融領域的重要基礎理論。

我們“設計”了一個投資組合，假設它由這兩只股票組成，且這兩只股票的收益率服從正態分布（均值為0），我們通過程序模擬來模擬一下：

可以看到，藍綠兩線代表“股票”的收益率變化。接下來，我們再定義兩個函數：

1、權重函數：用于為2只股票分配隨機權重。

2、投資組合配置函數：調用權重函數生成不同的投資組合，并計算這些組合下的期望收益和方差：

至此，數據已經準備完畢。我們從中隨機挑選出500個投資組合（注意，組成投資組合的這兩只股票，本身的平均收益率是可以計算得到的固定值，在合成投資組合時，由于配置的權重不同，引起了投資組合的收益率以及方差的不同）。

現在讓我們通過圖形化來觀察一下投資組合有哪些特性。為了更直觀地分析，我們對效用-收益坐標軸進行變換：橫軸為收益率的標準差，縱軸為期望收益率。

通過可視化之后，你將觀察到它們形成了特征像“子彈”那樣的拋物線，位于線上的每一個藍色點，都代表了不同權重配比下的一個投資組合。我們把拋物線上的半部分稱作有效邊界。對于擁有相同風險（方差）的兩個點，投資者會追求更高的期望收益率。

實際上，隨著構成投資組合的股票數量不斷增加，子彈區域會被逐漸填充滿，下圖是有4只股票組合按不同權重組成的投資組合特征圖形。

此時有效邊界仍然有效，因為在其他位置的所有點，都能在有效邊界找到一個風險相同，確有更高收益的對應點。

關于如求解有效邊界，涉及到向量計算、拉格朗日乘子與二次規劃問題。幸運的是，Python的第三方庫已經包含了現成的方法可供調用。我們下面將略作簡單說明。

首先根據已知條件，我們有了（或者我們可以通過簡單計算得到）以下數據：

1、股票均價向量 P：（p1,p2 ,...,pn），記錄著n只股票指定交易日內的各自均價；

2、股票方差向量 S2：記錄著n只股票各自收益率的離散程度

3、n * n 的協方差矩陣 C：記錄著n只股票相互收益率變化趨勢之間的相關程度。

另外，我們假設一個帶求解的可變向量 w：（w1,w2 ,...,wn），記錄著股票的配置比例（權重）。

由此我們得到：

投資組合的期望收益R = wT · P（按w對各股票期望收益加權平均）

投資組合的方差V = w · C ·wT，之所以不使用 wi2Si2 ，是因為簡單的加權平方，只考慮了資產本身的離散程度，而遺漏了資產相互間的相關影響，因此我們引入C 這個 N x N 的協方差矩陣：

等價于：

它的對角線的值代表每個資產的自身的方差，而對角線以外的值則是代表資產之間的方差。

那么結合我們剛才說到的投資組合圖形，我們需要找的，就是圖中方差最小的那個點，也即最左側的那一點，也就是使投資組合方差 w · C · wT 最小化。

這里我假設各位都已經把那些大學里艱澀難懂的線性代數，微積分等數學知識以往的差不多了，因此并不做具體推導，后續我可能會把具體推導過程掛在網盤上供有興趣的同學下載。在這里不做展開。

代碼實現

我們可以利用Cvxopt庫來求解得到最左側的紅點所對應的權重分配，具體代碼如下：

通過該方法，我們得到了最小方差的權重分配參數 w 向量：

在下一章中，我們將會展示如何在量化交易回測中應用上述方法。本篇首發于微信公眾號“數據夕拾”，趕快搜索一下關注吧。