前言：本篇文章只是記錄王爭的數據結構與算法之美的學習筆記，寫下來能強迫自己系統的再過一遍，加深理解。這門課以實際開發中遇到的問題為例，引入解決問題涉及到的的數據結構和算法，但不會講的太細，最好結合一本實體書進行學習。

二叉查找樹是一種特殊的二叉樹，支持動態數據集合的快速插入、刪除、查找操作。

1. 二叉查找（搜索）樹

特點：

• 任意節點的左子樹中節點的值，都要小于這個節點的值
• 任意節點的右子樹中節點的值，都要大于這個節點的值

如下圖所示：

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2. 二叉查找樹的操作

2.1 查找操作

具體操作：

• 先取根節點
• 如果它等于要查找的數據，就返回
• 如果它比要查找的數據大，就從左子樹中繼續查找
• 如果它比要查找的數據小，就從右子樹中繼續查找

如下圖所示：

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代碼也很好理解，如下圖所示：

public class BinarySearchTree {
  private Node tree;

  public Node find(int data) {
    Node p = tree;
    while (p != null) {
      if (data < p.data) p = p.left;
      else if (data > p.data) p = p.right;
      else return p;
    }
    return null;
  }

  public static class Node {
    private int data;
    private Node left;
    private Node right;

    public Node(int data) {
      this.data = data;
    }
  }
}

2.2 插入操作

新插入的數據是在葉子節點上，所以要從根節點開始，依次比較要插入的數據和節點的大小關系。

• 如果要插入的數據比節點的數據大，并且節點的右子樹為空，就插入到右子節點的位置；如果不為空，則遍歷右子樹，查找插入的位置
• 如果插入的數據比節點數據小，并且節點的左子樹為空，就將數據插入到左子節點的位置；如果不為空，則遍歷左子樹，查找插入位置

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代碼如下：

public void insert(int data) {
  if (tree == null) {
    tree = new Node(data);
    return;
  }

  Node p = tree;
  while (p != null) {
    if (data > p.data) {
      if (p.right == null) {
        p.right = new Node(data);
        return;
      }
      p = p.right;
    } else { // data < p.data
      if (p.left == null) {
        p.left = new Node(data);
        return;
      }
      p = p.left;
    }
  }
}

2.3 刪除操作

需要分三種情況去處理：

• 如果要刪除的節點沒有子節點，只需要將其父節點中指向要刪除節點的指針置為 null
• 如果要刪除的節點只有一個子節點，只需要將父節點中指向要刪除節點的指針，指向要刪除節點的唯一的子節點
• 如果要刪除的節點有兩個子節點，需要找到這個節點的右子樹中的最小節點，把它替換到要刪除的節點上，然后再刪除掉這個最小節點，因為最小節點肯定沒有左子節點

如下圖：

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代碼如下：

public void delete(int data) {
  Node p = tree; // p指向要刪除的節點，初始化指向根節點
  Node pp = null; // pp記錄的是p的父節點
  while (p != null && p.data != data) {
    pp = p;
    if (data > p.data) p = p.right;
    else p = p.left;
  }
  if (p == null) return; // 沒有找到

  // 要刪除的節點有兩個子節點
  if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子樹中最小節點
    Node minP = p.right;
    Node minPP = p; // minPP表示minP的父節點
    while (minP.left != null) {
      minPP = minP;
      minP = minP.left;
    }
    p.data = minP.data; // 將minP的數據替換到p中
    p = minP; // 下面就變成了刪除minP了
    pp = minPP;
  }

  // 刪除節點是葉子節點或者僅有一個子節點
  Node child; // p的子節點
  if (p.left != null) child = p.left;
  else if (p.right != null) child = p.right;
  else child = null;

  if (pp == null) tree = child; 
  else if (pp.left == p) pp.left = child;
  else pp.right = child;
}

2.4 其他操作

比如：

• 快速查找最大節點和最小節點
• 查找前驅節點和后繼節點

中序遍歷二叉查找樹，可以輸出有序的數據序列，時間復雜度是 O(n)，所以又稱為二叉排序樹。

3. 支持重復數據的二叉查找樹

實際應用中，二叉查找樹中存儲的，是一個包含很多字段的對象。可以利用對象的某個字段值（key）來構建二叉查找樹，對象中其他字段叫作衛星數據。

對于包含相同鍵值的數據的二叉查找樹，有兩種解決方法：

• 可以通過鏈表或者支持動態擴容的數組等結構，將值相同的數據都存儲在同一個節點上
• 每個節點仍然只存儲一個節點，在插入時，將要插入的數據，放到相同數據節點的右子樹，把這個新插入的數據當作大于這個節點的值來處理。

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在查找數據的時候，遇到值相同的節點之后，繼續在其右子樹中查找，直到遇到葉子節點，才停止。這樣就可以把鍵值等于要查找值的所有節點都找出來。

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對于刪除操作，我們也需要先查找到每個要刪除的節點，然后再按前面的刪除操作的方法，依次刪除。

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4. 時間復雜度分析

對于不同類型的二叉查找樹，執行效率是不同的，比如下圖：

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比如第一種，已經退化成鏈表了，查找的時間復雜度就是 O(n)了。

最理想的情況就是二叉查找樹是一棵完全二叉樹或者滿二叉樹，插入、刪除、查找的時間復雜度都是跟樹的高度成正比，也就是 O(height)。

樹的高度 height = 最大層數 - 1，完全二叉樹的層數小于等于 log2n + 1，也就是完全二叉樹的高度小于等于 log2n。平衡二叉查找樹的高度接近logn，所以插入、刪除、查找操作的時間復雜度也比較穩定，是O(logn)。

5. 有了散列表之后為啥還需要二叉查找樹？

• 散列表中的數據是無序的，輸出時需要先排序，對于二叉查找樹，只需要中序遍歷即可
• 散列表擴容耗時，遇到散列沖突時，性能不穩定，平衡二叉查找樹的性能非常穩定，時間復雜度穩定在 O(logn)。
• 散列表涉及因素較多
• 散列表裝載因子不能太大，會浪費內存

6. 練習

• 二叉查找樹的插入、刪除、查找操作（包含相同數據）
• 獲取二叉樹的高度
• 快速查找最大節點和最小節點
• 查找前驅節點和后繼節點