模擬退火算法是一種通用概率演算法，用來在一個大的搜索空間內找出最優解。相比于二分、三分等算法，模擬退火更加注意整體的情況，而非死磕在局部的變化。
可以拿爬山做例子：我們要找到山脈的最高峰，但是我們只知道眼前的點，哪邊是下降的，但看不到遠處的點是否上升。所以每次移動，我們隨機選擇一個方向。如果這個方向是上升的的（更優），那么就決定往那個方向走；如果這個方向是下降的（更差），那么“隨機地接受”這個方向，接受就走，不接受就再隨機一次。
模擬退火算法（流程）
- 隨機產生一個初始解x0，令xbest＝ x0 ，并計算目標函數值E(x0);
- 設置初始溫度T(0)=To，迭代次數i = 1;
- Do while T(i) > Tmin
① for j = 1~k
② 對當前最優解xbest按照某一鄰域函數，產生一新的解xnew。計算新的目標函數值E(xnew) ，并計算目標函數值的增量ΔE = E(xnew) - E(xbest) 。
③ 如果ΔE ＜0，則xbest = xnew；
④ 如果ΔE ＞0，則p = exp(- ΔE /T(i));
（如果c = random[0,1] < p， xbest = xnew; 否則xbest = xbest）
⑤End for - i = i ＋ 1；
- End Do
-
輸出當前最優點，計算結束。
Simulated Annealing
要注意的是，實際題目中exp(- ΔE /T(i))這個概率并不是必要情況，所以有時可以忽略（有點像貪心）
步驟：
①對于循環的判定可以設定為精度的判定，當步長STEP>EPS（EPS=1e-6）的時候執行循環，否則退出。
②在周圍搜索出新的一個點（注意判定這個點是否滿足規定范圍）
③判定這個點是否為最優點
如果是則更新當前點
如果不是就以一定概率更新當前點（可忽略）
④縮小步長STEP
一、對于1維坐標尋找Y的最小值，可以先規定一個起點（這里是原點），和每次前進/后退的長度（STEP）。每次按照這個STEP前進/后退，一旦發現更優的點就更新。并且每次都按一定的比例縮小前進/后退的距離（降低再次搜索的范圍）。當步數長度STEP小于規定精度時就可以退出搜索了。
const double EPS=1e-6;
const double r = 0.99;
const int dx[]= {-1,1};
…………………
double step=1;//規定初始步長長度
double x=0;//規定起始點
while(step > EPS)//設置精度范圍
{
for(int i=0; i<2; i++)//分別前進和后退
{
double next_x = x+dx[i]*step;//確定下一個點的坐標x
if(F(next_x)<F(x))//判斷是否為更優解
{
x=next_x;//更新坐標
}
}
step*=r;//降低再次搜索的范圍
}
例題：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2899
F(x) = 6 * x7+8*x6+7x^3+5x^2-y*x (0 <= x <=100)
Can you find the minimum value when x is between 0 and 100.
輸入Y值，求F（x）的最小值
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
using namespace std;
const double EPS=1e-6;
const double r = 0.99;
const int dx[]= {-1,1};
double y;
double F(double x)
{
return 6*pow(x,7)+8*pow(x,6)+7*pow(x,3)+5*pow(x,2)-y*x;
}
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%lf", &y);
double step=1;
double x=0;
while(step > EPS)
{
for(int i=0; i<2; i++)
{
double next_x = x+dx[i]*step;
if(F(next_x)<F(x))
{
x=next_x;
}
}
step*=r;
}
printf("%.4lf\n", F(x));
}
return 0;
}
二、對于2維坐標尋找Z的最小值
同樣可以先規定一個起點（這里還是原點），和每次行進的長度（STEP）。每次按照這個STEP向東、南、西、北、東南、西南、東北、西北八個方向行進，一旦發現更優的點就更新。并且每次都按一定的比例縮小行進的距離（降低再次搜索的范圍）。當步數長度STEP小于規定精度時就可以退出搜索了。
const double EPS=1e-6;
const int dx[]= {-1,-1,-1,0,0,1,1,1};
const int dy[]= {-1,0,1,-1,1,-1,0,1};
const double r = 0.99;
……………………
double step=1.0;//規定初始步長長度
double x=0, y=0;//規定初始點
double z=F(x, y);
while(step > EPS)
{
for(int i=0; i<8; i++)//向8個方向分別遍歷
{
double next_x = x + dx[i] * step;
double next_y = y + dy[i] * step;
double next_z = F(next_x, next_y)
//這里還要判斷next_z是否滿足規定區域
if(distance(next_x, next_y, next_z) < distance(x, y, z))//判斷更新最優解的條件
{
x = next_x;//滿足條件就更新坐標
y = next_y;//滿足條件就更新坐標
z = next_z;//滿足條件就更新坐標
}
}
step*=r;//降低再次搜索的范圍
}
例題:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5017
給定橢球公式，求從原點到橢球的最短距離
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const double EPS=1e-6;
const double INF=0x3f3f3f3f;
const int dx[]= {-1,-1,-1,0,0,1,1,1};
const int dy[]= {-1,0,1,-1,1,-1,0,1};
const double r = 0.99;
double a, b, c, d, e, f, x, y, z;
double dis(double x, double y, double z)
{
return sqrt(x*x+y*y+z*z);
}
double F(double x, double y)
{
double aa, bb, cc;
aa=c;
bb=d*y+e*x;
cc=a*x*x+b*y*y+f*x*y-1;
if(bb*bb-4*aa*cc<0) return -INF;//點Z不在橢球面上
if( dis(x,y,(sqrt(bb*bb-4*aa*cc)-bb))/(2*aa)>dis(x,y,(-sqrt(bb*bb-4*aa*cc)-bb))/(2*aa))//判斷一元二次方程到底取哪個解
return (-sqrt(bb*bb-4*aa*cc)-bb)/(2*aa);
else
return (sqrt(bb*bb-4*aa*cc)-bb)/(2*aa);
}
int main()
{
while(~scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &a, &b, &c, &d, &e, &f))
{
double step=1.0;
double x=0, y=0;
double z=F(x, y);
while(step > EPS)
{
for(int i=0; i<8; i++)
{
double next_x = x + dx[i] * step;
double next_y = y + dy[i] * step;
double next_z = F(next_x, next_y);
if(next_z >= INF) continue;//點Z不在橢球面上
if(dis(next_x, next_y, next_z) < dis(x, y, z))
{
x = next_x;
y = next_y;
z = next_z;
}
}
step*=r;
}
printf("%lf\n", dis(x, y, z));
}
return 0;
}
當然在一定情況下，上面的搜索并不能滿足要求，首先是對于初始點的位置，一個初始點可能會限定搜索的范圍，最后無法找出最優解。其次是方向的選擇，8個方向也并不是最優的方向。對于改進方式，就是在規定的區域內，隨機分布多個點，并且在每個點附近尋找最優解的時候，采取任意方向搜索。
三、對于二維規定區域找出滿足條件的最優解（坐標）
思路和上面大致相同，只是將原來的單點逐步搜索改為多點逐步搜索，搜索方向也變為任意方向搜索。
規定區域內找隨機分布的點
for(i=0; i<num; i++)
{
m[i].x=(rand()%1000+1)/1000.0*x0;
m[i].y=(rand()%1000+1)/1000.0*y0;
}
初始步長的長度
double step=sqrt(x0*x0+y0*y0)/2;
任意方向的處理
double angle=(rand()%1000+1)/1000.0*2*PI;
還要注意判定每次新發現的點（最優解）是否在規定區域內部喔~
例題：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3932
題目大意：在平面中的已知點中，找到一個點A，這個點要求是到其他所有最長點的最短情況。（求出距離最遠的那個點到A的長度,并且這個長度是情況中最短的長度）輸出A的坐標和A到最遠點的距離。
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const double EPS=1e-6;
const double PI=acos(-1);
const double INF=0x3f3f3f3f;
const double r=0.8;
typedef struct st
{
double x, y;
} ST;
ST a[10005];
ST m[10005];
int n;
double d[10005];
double dis(ST A, ST B)
{
return sqrt((A.x-B.x)*(A.x-B.x)+(A.y-B.y)*(A.y-B.y));
}
double MAX(ST t)
{
int i;
double maxx=0;
for(i=0; i<n; i++)
{
maxx=max(maxx,dis(t,a[i]));
}
return maxx;
}
int main()
{
double x0, y0;
srand(time(NULL));
int init_num=15;
while(~scanf("%lf%lf%d", &x0, &y0, &n))
{
int i, j;
for(i=0; i<n ;i++)
{
scanf("%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y);
}
for(i=0; i<init_num; i++)
{
m[i].x=(rand()%1000+1)/1000.0*x0;
m[i].y=(rand()%1000+1)/1000.0*y0;
d[i]=MAX(m[i]);
}
double step=sqrt(x0*x0+y0*y0)/2;
ST next, temp;
while(step>EPS)
{
for(i=0; i<init_num; i++)
{
temp.x=m[i].x;
temp.y=m[i].y;
for(j=0; j<50; j++)
{
double angle=(rand()%1000+1)/1000.0*2*PI;
next.x=temp.x+cos(angle)*step;
next.y=temp.y+sin(angle)*step;
if(next.x<0 || next.x>x0 || next.y<0 || next.y>y0) continue;
if(MAX(next)<d[i])
{
m[i].x=next.x;
m[i].y=next.y;
d[i]=MAX(next);
//printf("ok\n");
}
}
}
step*=r;
}
int flag;
double ans=INF;
for(i=0; i<init_num; i++)
if(d[i]<ans)
{
ans=d[i];
flag=i;
}
printf("(%.1lf,%.1lf).\n",m[flag].x,m[flag].y);
printf("%.1lf\n",ans);
}
return 0;
}
