概念
AOE網(wǎng)對(duì)應(yīng)研究實(shí)際問題是工程的工期問題：（1）完成一項(xiàng)工程至少需要多少時(shí)間？（2）哪些活動(dòng)是影響整個(gè)工程進(jìn)度的關(guān)鍵？
如果在有向圖中用頂點(diǎn)表示事件，用弧表示活動(dòng)，用弧上的權(quán)表示活動(dòng)持續(xù)時(shí)間，則稱該帶權(quán)有向圖(即有向網(wǎng))為邊表示活動(dòng)的網(wǎng)(activity on edge network)，簡稱AOE網(wǎng)。如下圖所示：
AOE網(wǎng)中的事件與活動(dòng)有如下兩個(gè)重要性質(zhì)：
1、只有在某頂點(diǎn)所代表的事件發(fā)生后，從該頂點(diǎn)出發(fā)的各活動(dòng)才能開始；
2、只有在進(jìn)入某頂點(diǎn)的各活動(dòng)都結(jié)束，該頂點(diǎn)所代表的事件才能發(fā)生。
由于一個(gè)工程只可能有一個(gè)開始點(diǎn)和一個(gè)完成點(diǎn)，故正常情況（無環(huán)）下，網(wǎng)中只可能有一個(gè)入度為0的節(jié)點(diǎn)（稱為源點(diǎn)）和一個(gè)出度為0的節(jié)點(diǎn)（稱為匯點(diǎn)）。
通常在一個(gè)工程中一些活動(dòng)可以并行地進(jìn)行，另一些活動(dòng)則需要等待前面所有的活動(dòng)完成后才能開始（因此，這里還涉及到事件的拓?fù)渑判颍酝瓿烧麄€(gè)工程的最短時(shí)間應(yīng)該是從開始點(diǎn)到結(jié)束點(diǎn)的最長路徑的長度（指的是活動(dòng)持續(xù)時(shí)間之和，而非弧的數(shù)目）。路徑長度最長的那條路徑叫做關(guān)鍵路徑，關(guān)鍵路徑上的活動(dòng)稱為關(guān)鍵活動(dòng)。因此，提前完成非關(guān)鍵活動(dòng)并不能加快工程的進(jìn)度。
與關(guān)鍵活動(dòng)有關(guān)的量
如果我們用e(i)標(biāo)識(shí)活動(dòng)a(i)的最早開始時(shí)間，l(i)表示活動(dòng)a(i)的最遲開始時(shí)間（這是在不推遲整個(gè)工程完成的前提下活動(dòng)a(i)的最遲必須開始的時(shí)間），兩者之差l(i) - e(i)意味著活動(dòng)a(i)的時(shí)間余量。僅當(dāng)活動(dòng)a(i)滿足條件l(i) == e(i)（即活動(dòng)的時(shí)間余量為0）時(shí)表示為關(guān)鍵活動(dòng)。
因此，要獲得工程的關(guān)鍵路徑就是找出滿足條件l(i) == e(i)的所有活動(dòng)（一個(gè)工程中可能存在多條關(guān)鍵路徑）。
為了求得活動(dòng)的e(i)和l(i)，首先應(yīng)求得事件的最早發(fā)生時(shí)間ve(j)，和最遲發(fā)生時(shí)間vl(j)。如果活動(dòng)a(i)由弧<j, k>表示，其持續(xù)時(shí)間記為dut(<j, k>)，則滿足如下關(guān)系式：
e(i) = ve(j)
l(i) = vl(k) - dut(<j, k>)
事件的最早發(fā)生時(shí)間ve(j)：是指從始點(diǎn)開始到頂點(diǎn)（事件）j的最大路徑長度。這個(gè)長度決定了所有從頂點(diǎn)j出發(fā)的活動(dòng)能夠開工的最早時(shí)間。
從開始點(diǎn)往后遞推求取：
ve(0) = 0; ve(j) = Max{ve(i) + dut(<i, j>) }, 其中<i, j>∈T, j = 1, 2, ..., n -1; T為節(jié)點(diǎn)j的入度邊集合。
事件最遲發(fā)生時(shí)間vl(j)：是指在不推遲整個(gè)工期的前提下,事件j允許的最晚發(fā)生時(shí)間。
從結(jié)束點(diǎn)往前遞推求取：
vl(n - 1) = ve(n - 1); vl(i) = Min{vl(j) - dut(<i, j>)},其中<i, j>∈S, i = n - 2, ..., 0; S為節(jié)點(diǎn)i的出度邊集合。
示例
利用Guava的graph數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)求得如下所示工程圖的關(guān)鍵路徑。graph的使用相關(guān)介紹請(qǐng)參考：圖論（2）：Guava中Graph模塊(wiki翻譯)
1、構(gòu)建示例圖AOE網(wǎng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：
MutableValueGraph<String, Integer> graph = ValueGraphBuilder.directed()
.nodeOrder(ElementOrder.insertion())
.expectedNodeCount(10)
.build();
graph.putEdgeValue(V1, V2, 6);
graph.putEdgeValue(V1, V3, 4);
graph.putEdgeValue(V1, V4, 5);
graph.putEdgeValue(V2, V5, 1);
graph.putEdgeValue(V3, V5, 1);
graph.putEdgeValue(V4, V6, 2);
graph.putEdgeValue(V5, V7, 9);
graph.putEdgeValue(V5, V8, 7);
graph.putEdgeValue(V6, V8, 4);
graph.putEdgeValue(V7, V9, 2);
graph.putEdgeValue(V8, V9, 4);
Log.i(TAG, "graph: " + graph);
輸出：
nodes: [v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9],
edges: {<v1 -> v4>=5, <v1 -> v2>=6, <v1 -> v3>=4,
<v2 -> v5>=1, <v3 -> v5>=1, <v4 -> v6>=2, <v5 -> v8>=7,
<v5 -> v7>=9, <v6 -> v8>=4, <v7 -> v9>=2, <v8 -> v9>=4}
2、獲取該有向圖的拓?fù)渑判蛄斜恚?/p>
/**
* 利用Traverser接口將graph進(jìn)行拓?fù)渑判騮opologically，此處返回的逆拓?fù)渑判? */
Iterable<String> topologicallys = Traverser.forGraph(graph)
.depthFirstPostOrder(startNode);
Log.i(TAG, "topologically: " + format(topologicallys));
輸出：
topologically: {v9,v8,v6,v4,v7,v5,v2,v3,v1} //這里是逆序
3、遞推求得ve(j)值：
//獲取ve(i)
Map<String, Integer> ves = getVeValues(graph, topologicallys);
Log.i(TAG, "ves: " + format(ves));
/**
* ve(j) = Max{ve(i) + dut(<i,j>) }; <i,j>屬于T，j=1,2...,n-1
* @param graph
* @param topologicallys
* @return
*/
private static Map<String, Integer> getVeValues(ValueGraph<String, Integer> graph,
Iterable<String> topologicallys) {
List<String> reverses = Lists.newArrayList(topologicallys.iterator());
Collections.reverse(reverses); //將逆拓?fù)渑判蚍聪? Map<String, Integer> ves = new ArrayMap<>(); //結(jié)果集
//從前往后遍歷
for (String node : reverses) {
ves.put(node, 0); //每個(gè)節(jié)點(diǎn)的ve值初始為0
//獲取node的前趨列表
Set<String> predecessors = graph.predecessors(node);
int maxValue = 0;
//找前趨節(jié)點(diǎn)+當(dāng)前活動(dòng)耗時(shí)最大的值為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的ve值
for (String predecessor : predecessors) {
maxValue = Math.max(ves.get(predecessor) +
graph.edgeValueOrDefault(predecessor, node, 0), maxValue);
}
ves.put(node, maxValue);
}
return ves;
}
輸出：
ves: {v1:0, v2:6, v3:4, v4:5, v5:7, v6:7, v7:16, v8:14, v9:18}
4、遞推求得vl(j)值：
/**
* vl(i) = Min{vl(j) - dut(<i,j>}; <i,j>屬于S，i=n-2,...,0
* @param graph
* @param topologicallys
* @param vels
* @return
*/
private static Map<String, Integer> getVlValues(ValueGraph<String, Integer> graph,
Iterable<String> topologicallys, Map<String, Integer> vels) {
Map<String, Integer> vls = new ArrayMap<>(); //結(jié)果集
//從后往前遍歷
for (String node : topologicallys) {
//獲取node的后繼列表
Set<String> successors = graph.successors(node);
int initValue = Integer.MAX_VALUE; //初始值為最大值
if (successors.size() <= 0) { //表示是結(jié)束點(diǎn)，賦值為ve值
initValue = vels.get(node);
}
vls.put(node, initValue);
int minValue = initValue;
//找后繼節(jié)點(diǎn)-當(dāng)前活動(dòng)耗時(shí)最少的值為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的vl值
for (String successor : successors) {
minValue = Math.min(vls.get(successor) -
graph.edgeValueOrDefault(node, successor, 0), minValue);
}
vls.put(node, minValue);
}
return vls;
}
輸出：
vls: {v1:0, v2:6, v3:6, v4:8, v5:7, v6:10, v7:16, v8:14, v9:18}
5、根據(jù)前面求取的ve(j)和vl(j)來找出關(guān)鍵活動(dòng)（判斷條件：ve(j) == vl(k) - dut(<j,k>)）：
/**
* 判斷條件：ve(j) == vl(k) - dut(<j,k>)
*/
//關(guān)鍵活動(dòng)結(jié)果集
List<EndpointPair<String>> criticalActives = new ArrayList<>();
//返回圖中所有活動(dòng)(邊)
Set<EndpointPair<String>> edgs = graph.edges();
//遍歷每一條邊（活動(dòng)），過濾出：ve(j) == vl(k) - dut<j, k>
for (EndpointPair<String> endpoint : edgs) {
final int dut = graph.edgeValueOrDefault(endpoint.nodeU(), endpoint.nodeV(), 0);
//ve(j) == vl(k) - dut<j, k>
if (vls.get(endpoint.nodeV()) - dut == ves.get(endpoint.nodeU())) {
criticalActives.add(endpoint);
}
}
Log.i(TAG, "critical actives: " + format(criticalActives));
輸出：
critical actives: {<v1 -> v2>, <v2 -> v5>, <v5 -> v8>, <v5 -> v7>,
<v7 -> v9>, <v8 -> v9>}
從輸出可知，圖中存在兩條關(guān)鍵路徑：{<v1 -> v2>, <v2 -> v5>, <v5 -> v8>, <v8 -> v9>} 和 {<v1 -> v2>, <v2 -> v5>, <v5 -> v7>, <v8 -> v9>}(在示例圖中使用紅色線段標(biāo)注)。因此，縮短這兩條路徑上活動(dòng)的工期，將能有效的縮短整個(gè)工程的工期。
關(guān)鍵路徑詳細(xì)代碼參見Demo：GH-Demo-CriticalPath。
